Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Примеры решения задач
−
2
2
314/3
a
3
3
4
Пример 1.1. Найти объем примитивной элементарной ячейки и
определить углы между ее ребрами для ОЦК и ГЦК решеток.
Решение
1. ОЦК решетка. Объем элементарной ячейки равен модулю оп-
ределителя, построенного на векторах элементарных трансляций a1,
a2, a3:
aaa
a
1
]),[,(
=aaa
321
,
2
2
−
;
−=
,
2
−
a
2
aaa
aaa
,
2
2/2/2/
aaa
2/2/2/
2/2/2/
aaa
,
2
a
;
3
,
V == aaa
−=
2
−=
a
−=
3
2
2
aaa
. (1.8)
,2,
2
a
]),[,(
321
3
.
(1.9)
Длины векторов элементарных трансляций имеют равные значения:
3
a
=== aaa
321
.
Косинусы углов между соответствующими векторами равны:
2
4/
/)(/),()cos(
aaaaaa
zzyyxx
aaaaaa
21212121212112
a
2
−=−=++==ϕ
;
Следовательно,
2. ГЦК решетка:
a
1
]),[,(
321
= 0,
,
2
2
aa
,
aa
1
/)(/),()cos(
aaaaaa
zzyyxx
32323232323223
; (1.10)
−=++==ϕ aaaaaa
1
/)(/),()cos(
aaaaaa
zzyyxx
,
,
V == aaa
.5,109
=
a
3
,0
2
≈ϕ=ϕ=ϕ
231312
aa
=
a
2
2
02/2/
2/02/
aa
,0,
2
3
a
−==aaa
4
2/2/0
aa
31313131313113
aa
. (1.11)
,
2
a
]),[,(
321
.
−=++==ϕ aaaaaa
3
. (1.12)
11
Следовательно,
)
Найти коэффициент упаковки для простой, объе
ноцентрированной и гранецентрированной кубических решеток.
Коэффициентом упаковки называется доля объема элемента
ной ячейки, занимаемая соприкасающимися шарами с
лах соответствующей решетки
необходимо вычислить долю объема элементарной
ячейки, которую занимает вписанный в нее шар (
радиус шара в этом пр
а
Модель вписанных
Объемноцентрированная решетка
рассматривать расширенную элементарную ячейку (
центрами в у
простой кубич
1.4
, то для коэффицие
:
В этом случае будет удобнее
ис.
2
a
===
aaa
321
,
2
(1.13)
cos(12ϕ
Пример 1.2.
Решение
ской решетки
та упаковки получаем
)cos()cos(
2313
≈ϕ=ϕ=ϕ
231312
.60
(рис. 1.4). В случае
остейшем случае равен a/2
3
4
α
ш
= a
Ω
0
π
=
aV
/
83
π
3
=
≈
6
2
a
2
a
1
4/
2/
,
==ϕ=ϕ=
(1.14)
2
м-
р-
з-
е-
рис.
, а). Так как
н-
.52,0
(1.15)
Рис. 1.4.
б
шаров для решеток
а – ПЦК; б – ОЦК; в – ГЦК
.
в
р
1.4, б), объем
12
которой в два раза больше объема примитивной ячейки. Шары сопри-
4
i
3
π
a
. Из рис. 1.4 видно,
3
(1.16)
≈
.68,0
8
касаются по телесной диагонали куба длиной
3
Ω
ш
a
, следовательно,
3
4
π
2
=
0
3
3
aV
4
3
/
=
что их радиусы равны
=α a
Гранецентрированная кубическая решетка
(на рис. 1.4, в изо-
бражены не все атомы, а только три видимые грани):
V
ш
Ω
=
0
=α
π
2
74,0
≈
.
6
Таким образом, наиболее плотной из рассмотренных является
ГЦК решетка.
Пример 1.3. Найти векторы обратной решетки для решеток,
принадлежащих ромбической сингонии.
Решение
К ромбической сингонии относятся четыре решетки Бравэ: простая P, базоцентрированная C, объемноцентрированная I, гранецентрированная F.
Простая ромбическая решетка
. Векторы элементарных транс-
ляций имеют следующие координаты:
a1 = (a, 0, 0), a2 = (0, b, 0), a3 = (0, 0, c). (1.17)
Вычислим произведения [ai, aj] и (a1, [a2, a3]):
kj
aa bc
32
b ==
00],[
c
00
i
,
aa ca
13
00],[
a
kji
aa ab
a ==
21
b
a
]),[,(
321
13
00],[
00
00
00
b
00
c
.
k
.
abc
==aaa
(1.19)
kji
c ==
j
,
00
(1.18)
Следовательно,
a
π
a
π
a
π
b
a
π+π
b
a
π−π
a
π
−
=
b
a
π+π
c
a
π+π
c
b
π+π
2
,
=
1
ib
Базоцентрированная ромбическая решетка
2
,
=
2
jb
2
=
3
kb
. Векторы элемен-
тарных трансляций имеют следующие координаты:
a1 = (a/2, b/2, 0), a2 = (a/2, –b/2, 0), a3 = (0, 0, c). (1.21)
Вычислим произведения [ai, aj] и (a1, [a2, a3]):
kji
acbc
aa
32
ba −−=−=
00
02/2/],[
22
c
kji
acbc
aa
13
00],[
c +−==
22
ba
02/2/
kji
. (1.20)
,
ji
,
ji
(1.22)
aa ab
=
21
ba −=
ba
−
a
]),[,(
321
02/2/],[
02/2/
00
00
b
00
c
−==aaa
abc
,)2/(
k
.2/
(1.23)
Следовательно,
22
,
=
1
jib
=
2
22
,
jjb
2
=
3
kb
Объемноцентрированная ромбическая решетка
ментарных трансляций имеют следующие координаты:
a1 = (a/2, b/2, –c/2), a2 = (a/2, –b/2, c/2), a3 = (–a/2, b/2, c/2). (1.24)
Следовательно,
aaa
321
abc
2/]),[,(
. Из расчетов, аналогичным
предыдущим, получим:
.
. Векторы эле-
22
,
=
1
jib
=
2
22
,
kib
=
3
22
.
kjb
(1.25)
14
Гранецентрированная ромбическая решетка.
−
=
cba
π−π+π
cba
π+π−π
cba
π+π+π
(
)
Ω
[
]
~
[
]
(
)
тарных трансляций имеют следующие координаты:
a1 = (a/2, b/2, 0), a2 = (a/2, 0, c/2), a3 = (0, b/2, c/2). (1.26)
Смешанное произведение
Векторы элемен-
aaa
321
abc
4/]),[,(
.
Тогда основные векторы обратной решетки определяются как
222
,
=
1
kjib
=
2
222
,
kjib
222
.
−=
3
kjib
(1.27)
Таким образом, для простой и базоцентрированной ромбических
решеток обратные решетки также являются простой и базоцентрированной соответственно, тогда как для объемноцентрированной и гранецентрированной ромбических решеток обратные решетки, наоборот, имеют симметрию гранецентрированной и объемноцентрированной решеток соответственно.
Пример 1.4. Показать, что объем первой зоны Бриллюэна
3
2
~
0
π
=Ω
Ω
0
, где
– объем элементарной ячейки решетки Бравэ.
0
Решение
Объем зоны Бриллюэна, или элементарной ячейки обратной
решетки, определяется как
ведения
b,b
воспользуемся свойством двойного векторного про-
32
0
. Для вычисления произ-
)(
b,b,b=Ω
321
изведения [A, [B, C]] = B(A, C) – C(A, B) для векторов A = [a3, a1],
B = a1, C = a2. Тогда
2
2
=
Ω
π
]][[
=
a,[a],a,ab,b
2
0
2
( ) ( ) ( )
2
)(
π
==Ω⇒
Ω
2
211332
)}([){
=−
a],a,aaa],a,([aa
11322131
2
2
π
)(
=
a,bb,b,ba
11321
Ω
2
2
(1.28)
3
2
π
Ω
.
2
0000
=π⋅
=
( )
2
π
2
Ω
[ ]
2
( )
2
π
=
2
~
Ω
01
2
0
[ ]
15
Пример 1.5. Показать, что решетка, обратная к обратной, совпа-
π
дает с исходной решеткой Бравэ.
Решение
Построим решетку, которая определяется векторами трансляций
(c1, c2, c3), пользуясь два раза формулами для векторов трансляций
обратной решетки. Тогда
2
Ωπ
0
2
π
[ ]
3
=
1
( )
=
2
( )
2
π
2
Ωπ
π
0
3
Ω
2
π
],[
Ω
00
][
a,aa,ab,bc
=
211332
(1.29)
1
]].[[
=
Ω
0
a,[a],a,a
2113
Используя свойства двойного векторного произведения аналогично предыдущей задаче, получим
=
Ω
1
)}],,([)],,([{
aaaaaaaaaaaa
=−
11322131
0
(1.30)
Ω
1
]],[],,[[
2113
0
1
.)],([
aaa,aa
=
Ω
13
0
=
121
Для остальных векторов аналогичный результат получается
заменой индексов 1 на 2, 2 на 3 в полученной формуле. Таким образом,
ci = ai, i = 1, 2, 3.
Пример 1.6. Зная постоянную а кубической решетки, найти
межплоскостное расстояние для семейства плоскостей
ОЦК и ГЦК решеток.
Решение
Наименьшее расстояние
d
между плоскостями семейства (
hkl
определяется по формуле
d
где b
hkl
– вектор обратной решетки, b
hkl
= 2π/|b
|,
hkl
= hb1 + kb2 + lb3.
hkl
Найдя векторы обратной решетки для ПК, ГЦК и ОЦК решеток,
получим:
а) ПКР:
2
32
=−+= bkjibbbb
π
321
142
312
=
a
a
16
a
d
=⇒
312
14
)32(
312
.
=⇒−+
)312(
– ПК,
(1.31)
hkl
)
б) ОЦК:
π
π
21121
2
∠=α
∠=β
∠=γ
в) ГЦК:
Пример 1.7. Определить угол между двумя плоскостями (h1k1l1)
и (h2k2l2).
Решение
Семейству плоскостей (h1k1l1) перпендикулярен любой вектор
=
2
=
312
( )
)
)](3(2[
2
=+−+++
aa
)23(
⇒−−
kjikjkijib
(1.32)
142
π
=⇒
b
a
2
π
=
312
a
d
312312
a
=⇒
.
14
)](3)(2)([
=++−−+−+−+
kjikjikjib
(1.33)
2
π
)246(
=⇒−−
bkji
π
562
d
aa
312312
a
56
.
=⇒
обратной решетки, пропорциональный вектору gl = h1b1 + k1b2 + l1b3,
где b1, b2, b3 – основные вектора обратной решетки. Аналогично всем
плоскостям семейства (h2k2l2) перпендикулярны векторы, пропорциональные g2 = h2b1 + k2b2 + l2b3. Следовательно, угол между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) равен углу между векторами g1 и g2. Скалярное
произведение этих векторов (g1, g2) = |g1||g2|cos φ, где φ – искомый
угол.
Следовательно,
1),(
==ϕ
lkhlkh
232111
),(
2
4
π
{
dd
lkhlkh
232111
2
121
2
221
bbhllhbbkllk
311212321212
=
gg
21
),(
lkhlkhdd
2
+++
bllbkkbhhdd
321
`cos)(`cos)(
+β++α++
=++++
bbbbbb
322212312111
(1.34)
=
gg
cos
1
2
4
π
1
=
2
4
π
21
gg
21
lkhlkh
232111
где
),(`
bb
,
32
bb
13
векторами обратной решетки.
`},cos)(
bbhkkh
γ++
),(`
,
17
),(`
bb
– углы между основными
21
Наиболее простое выражение получается для ПК решетки.
a
π
a
π
a
π
2
π
+
+
Основные вектора ПКР определяются как a1 = (a, 0, 0), a2 = (0, a, 0),
a3 = (0, 0, a), отсюда для b1, b2, b3 получаем следующие выражения:
Таким образом, обратная решетка также является ПКР, поэтому
щается:
Задача 1.1. Сколько атомов приходится на одну примитивную
2
,
=
1
ib
2
,
=
2
jb
2
.
=
3
kb
(1.35)
a
,
```
=γ=β=α
d
=
hkl
++
),(
gg
cos
21
==ϕ
gg
21
и полученная выше формула упро-
222
lkh
llkkhh
212121
2
2
1
1
222
++++
221
2
))((
lkhlkh
2
.
(1.36)
Задачи для самостоятельного решения
ячейку в кристаллах с простой, объемноцентрированной и гранецентрированной кубической структурой?
Ответ: 1; 2; 4.
Задача 1.2. Какие плоскости в кубической решетке являются
эквивалентными в кристаллографическом и физическом смысле
плоскости (100)?
Ответ: (010), (001), (100), (0,
1
,0), (0,0,
1
) и т. д. Кристаллографическая эквивалентность их проявляется в том, что эти плоскости
совмещаются друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90°; физическая их эквивалентность – в том,
что все эти плоскости обладают одинаковой структурой в расположении узлов решетки, а следовательно, и одинаковыми физическими
свойствами.
Задача 1.3. Показать графически, как пересекают атомную
плоскость кристалла (001) системы плоскостей (110), (100), (120),
(110), (120), (320).
Ответ: см. рис. 1.5.
18
Перечислить элементы симметрии (с указанием их
числа), присущие простым решеткам следующих кристаллографич
ских систем: 1) кубической
, 4С
Определить постоянную кристаллической решетки
алюминия, образующего гранецентрированный куб.
Å.
Альфа
= 2
с центрированными гранями (
железа при переходе его из
величится на 4
Определить плотность кристалла стронция, если и
вестно, что кристаллическая решетка
ской сингонии, а период решетки равен 0
10
Сильвин (
,
соседними атомами и минимальное расстояние между атомами одн
Å;
Ионные кристаллы хорошо описываются моделью
соприкасающихся шаров. Вычислить на основе этой модели период
гранецентрированой кубической
исходя из ее плотности
64 Å.
3) гексагональной.
C
железо имеет кубическую объемноцентрир
кубическую структуру
Как изменится плотность
гранецентрированной кубич
Сl) представляет собой кубичес
. Найти расстояние между двумя
решетки поваренной соли NaCl,
и молекулярного веса
Задача 1.4.
Ответ: 1) 3С
4
Задача 1.5.
Ответ: a = 4,04
Задача 1.6.
ванную структуру (а
Ответ: у
Задача 1.7.
Ответ: ρ = 2,6
Задача 1.8.
сталл с плотностью 1
го сорта.
Ответ: r = 3,14
Задача 1.9.
Рис. 1.5. К задаче 1.3
; 2) тетрагональной;
, 5С2, 9Р, I; 2) С4, 4С2, 5Р, I; 3)
3
,86 Å), гамма-железо –
а = 3,56 Å).
α- в γ-модификацию?
%.
,43 нм.
3
·
кг/м3.
K
98 ⋅ 103 кг/м
3
r = 6,28 Å.
е-
, 6С2, 7Р, I.
6
о-
зе-
кий кри-
о-
ρ = 2,17 ⋅ 103 кг/м3
µ = 58,45 кг/кмоль.
Ответ: d = 5,
19
Задача 1.10. Написать индексы Миллера для плоскостей, со-
211
1
10
24
1
держащих узлы с кристаллографическими индексами [[111]], [[
[[
]]. Найти также отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях
]],
координат.
Ответ: (
); отрезки на осях: 4а; 2b; 1c.
Задача 1.11. Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий
структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами r
и rb. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если
rr /
больше, чем 1,37.
ab
Ответ:
= 0,73;
rr /
ba
rr /
= 1,37.
ab
или
rr /
ba
Задача 1.12. Даны грани (320) и (110). Найти символы ребра их
пересечения.
Ответ: [001].
Задача 1.13. Элементарная ячейка магния принадлежит к гекса-
a
гональной системе и имеет параметры а = 3,20 Å и с = 5,20 Å. Определить векторы обратной решетки.
Ответ: A = 0,75 Å–1; B = 0,75 Å–1; C = 0,40 Å–1.
Задача 1.14. Получить формулы для вычисления межплоскост-
ных расстояний кристаллов ромбической, гексагональной, тетрагональной, кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний кристаллов триклинной системы.
Ответ: в ромбической системе
в гексагональной –
2
1
d
hkl
=
22
kh
+
2
a
+
2
2
d
hkl
2
l
в кубической –
;
2
c
=
41
3
kkhh
++
2
a
1
d
hkl
22
l
+
c
2
1
d
hkl
h
=
a
2
в тетрагональной –
;
2
=
k
+
2
a
+
b
222
++
lkh
.
222
l
c
;
Задача 1.15. Определить угол между плоскостями (201) и (310)
в ромбической сере с параметрами решетки: а = 10,44 Å , b = 12,84 Å,
c = 24,37 Å.
Ответ: ϕ = 17°.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]