Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
в одной ветви равно N/2, а не N). Энергия, связанная с оптическими
ω
ℏ
ℏ
ℏ
ω
ℏ
ℏ
(
)
колебаниями, определяется по формуле
E
опт
N
n
ℏ
N
=ω=
22
тогда теплоемкость будет равна
ℏ
B
( )
k
ℏ
B
ω
Tk
B
Так как
ω
k
B
опт
θ
C
C
V
опт
V
опт
=
M
m
=
∂
E
опт
∂
T
3
==
,
∂
E
опт
∂
T
V
а
N
=
k
2
опт
Tk
B
N
2
V
>>=
опт
,
(5.10)
ℏ
B
,
то:
exp
ω
Tk
exp
1exp
−
ω
Tk
ω
Tk
B
−
2
1exp
.
(5.11)
ω
опт
.
Tk
B
(5.12)
ℏ
B
−ω≈
2
130
2
Для одномерной цепочки (учитывая, что L = Nа / 2)
∞
xdx
Интеграл
x
∫
−
e
0
и, соответственно,
=
=
π
C
6
V
C
2
2
π
, тогда
61
опт
≈
ак
V
θ
опт
E
∞
2
TkL
θ
=
ω
π
опт
π
B
ℏ
2
12
v
k
B
2
k
=
ак
ак
C
v
k
B
2
xdx
.
x
∫
−π
12
e
0
T
N
2
exp6
T
B
ℏ
−
(5.13)
θ
ω
BB
опт
TkTk
=
ℏℏ
−
θ
ω
B
опт
TkTЕ
10
−
105exp
⋅≈
.
(5.14)
61
Пример 5.2.
ℏ
ℏ
Фононы рассеиваются в кристалле на примесных
центрах с поперечным сечением рассеяния σ порядка геометрического (10
–15
см2). Оценить фононную теплопроводность кристалла при
температуре T = 30 К, если концентрация примесей в нем п = 1021 м–3,
а скорость звука vзв = 3 ‧ 103 м/с. При какой толщине кристалла нач-
нет сказываться рассеяние фононов на границах?
Решение
Длина пробега фононов, определяемая рассеянием на примесях,
l ≈ 1 / (пσ) = 1 см, т. е. при меньших толщинах длина рассеяния будет
определяться уже размерами кристалла. Фононная теплоемкость
C
ф
и теплопроводность определяются следующими соотношениями:
342
Tk
B
;
33
v
зв
зв
6
К). с Дж/(м10
⋅⋅=
(5.15)
1
3
Пример 5.3.
2
=
π
5
342
lvTk
B
33
v
зв
C
ф
2
π
==χ
Сlv
фзв
15
Вычислить теплоемкость единицы объема кристал-
ла бромистого алюминия AlBr3 по классической теории теплоемкости, если плотность этого кристалла ρ = 3,01 103 кг/м3, µ
µ
= 27 г/моль. Определить теплоту, необходимую для нагревания
Al
= 80 г/моль;
Br
кристалла AlBr3 массой 10 г на ∆Т = 5 К.
Решение
Темплоемкость единицы объема кристалла можно определить
по формуле
С = Сµ/Vµ,
где С
– теплоемкость одного моля вещества; Vµ – объем одного моля
µ
вещества.
Молярная теплоемкость определяется по закону Неймана–Коппа
равна
Сµ = 3nR,
где n – число атомов в соединении; для AlBr3 n = 4.
Объем Vµ можно выразить через плотность кристалла: Vµ = µ/ρ.
Масса моля AlBr3 составляет µ = 3µ
+ µAl. Подставим эти выражения
Br
в расчетную формулу для теплоемкости:
С = 12Rρ / (3µ
62
+ µAl). (5.16)
Br
С учетом значений теплоемкость составит
+
⋅
27803
1
−
θ
e
С =
Теплота ∆Q, необходимая для нагревания тела от Т1 до Т2, может
быть вычислена по формуле
33
⋅⋅⋅⋅
1001,31031,812
3
=⋅
К)Дж/(м
336
(5.17)
К).мДж/(м12,1К)Дж/(м1012,1
⋅=⋅⋅=
Q
T
2
m
dtC
=∆
µ
T
1
=
m
µ
T
2
dTC
∫∫
T
1
=
m
µ
,
TC
∆
µµµ
(5.18)
поскольку по классической теории молярная теплоемкость не зависит
от температуры. Тогда окончательно
Q
m
=∆
TR
−
µ
32
=⋅⋅⋅⋅=∆
Дж.7,18267/51031,8101212
(5.19)
Пример 5.4.
Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, оп-
ределить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла
при нагревании его от Т1 = 0 до Т2 = 0,1θЕ. Характеристическую температуру Эйнштейна θЕ принять для данного кристалла равной 300 К.
Решение
Внутренняя энергия одного атома кристалла в квантовой теории
теплоемкости Эйнштейна может быть определена по формуле
Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле
Для низких температур (Т ≪ θЕ) теплоемкость определяется по
формуле
Подставим это выражение в выражение для внутренней энергии,
получим
E
3
+=
RUU
µ
T
2
T
1
С
= 3R(θЕ / T)2exp(–θЕ / T). (5.22)
µ
0
T
dUU
µµ
∫ ∫∫
T
63
2
1
dU
dT
θ
T
µ
. (5.20)
E
T
2
===∆
T
1
. (5.21)
dTCdT
µ
T
λ
2
=∆
3
RU
µ
∫
T
1
2
θ−
θ
E
T
E
T
dTe
. (5.23)
Введем новую переменную х = θЕ / Т. Тогда dx = –(θЕ / T)2dT,
температура Т1 соответствует х1 → ∞, Т2 – x2 = θЕ / 0,1θЕ = 10.
Окончательно получим
∞
−
x
µ
E
∫
10
33 eRdxeRU
103
−
=⋅⋅⋅⋅
e
−
10
E
=θ=θ=∆
. (5.24)
Дж3403001031,83
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.1.
скорости продольных и поперечных волн равны соответственно
5 850 и 3 230 м/с.
Ответ: θ = 470 К.
Вычислить температуру Дебая железа, в котором
Задача 5.2.
Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 К, а скорость звука в нем v = 6
Ответ:
= 10,2 Å.
D
103 м/с.
Задача 5.3.
Какова максимальная энергия фононов, эВ, в кри-
сталле свинца, если его температура Дебая θ = 94 К?
Ответ: E = 8,2 · 10–2 эВ.
Задача 5.4.
Германий и кремний кристаллизуются в решетки
с близкими параметрами и имеют почти равные модули упругости.
Оценить отношение их дебаевских температур.
Ответ: θ1/θ2 = 1,6.
Задача 5.5.
Оценить максимальные значения энергии и импульса фононов в алюминии, у которого температура Дебая θ = 375 К,
а элементарной ячейкой его кристаллической решетки является гранецентрированный куб с ребром r0 = 4,04 Å.
Ответ: Е
= 5,16 · 10
max
–23
Дж, р
max
= 10
–24
(кг · м)/с.
64
Задача 5.6.
К.
Найти температурную зависимость решеточной теп-
и двумерных С2 кристаллов в области низ-
1
ких температур.
Ответ: C1 ∞ Т, C2 ∞ Т
2
.
Задача 5.7.
(одной из модификаций углерода) зависит от температуры как Т
а не как Т
3
, что обычно имеет место для твердых тел. Что можно ска-
Удельная теплоемкость решетки пирографита
2
зать о структуре этой специфичной фазы углерода?
Ответ: квадратичная зависимость теплоемкости свидетельствует о том, что кристалл является двумерным; в данном конкретном
случае углеродные плоскости разделены большими промежутками.
Задача 5.8.
В кристалле поваренной соли NaCl при температуре
Т = 10 К теплоемкость единицы объема СV = 830 · 10–4 Дж/(м3 · К).
Оценить скорость звука в кристалле и его дебаевскую температуру
Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.
Ответ:
3
м/5,310 ; 520
сv = θ =
,
Задача 5.9.
Температура Дебая у алмаза равна 2 000 К. Какова
его удельная теплоемкость при температуре Т = 30 К?
Ответ: C
= 0,385 Дж/(кг · К).
v
Задача 5.10.
Какова удельная теплоемкость цинка при 100 °С?
Температура Дебая θ = 330 К.
Ответ: C
= 380 Дж/(кг · К).
v
Задача 5.11.
Одинаковые массы свинца
207
Рb и кремния 28Si
охлаждают с помощью жидкого гелия (температура кипения гелия
равна при нормальном давлении равна 4,2 К) от температуры
T1 = 20 К до Т2 = 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны: θ(Рb) = 95 К и θ(Si) = 645 К. Теплоемкостью электронов пренебречь.
m
m
Pb
Si
≈
.42
Ответ:
Задача 5.12.
Определить в дебаевской модели отношение тепло-
емкостей образцов Be и Сu одинакового объема при Т = 300 К. Плот-
65
ности бериллия и меди соответственно равны 1,8 · 103 и 8,9 · 103 кг/м3,
=
λ
=
λ
температуры Дебая – 1 440 и 340 К.
Be
C
C
v
v
Cu
=
Ответ: .1,1
Задача 5.13.
При комнатной температуре средняя длина свободного пробега фононов в кристалле хлористого натрия в 4 раза больше
постоянной его решетки d = 5,64 Å. Вычислить коэффициент теплопроводности этого кристалла, если скорость звука в нем v = 5 · 103 м/с.
Ответ: χ = 6,7 Дж/(м · с · К).
Задача 5.14.
Вычислить среднюю длину свободного пробега
фононов в кристалле серебра при Т = 300 К, если коэффициент теплопроводности серебра χ = 418 Вт/(м · К), а скорость распространения
звука v = 3 700 м/с.
Ответ:
15 нм.
Задача 5.15.
Оценить длину свободного пробега фононов в германии при температуре 300 К, используя следующие данные: дебаевская температура германия θ = 360 К, коэффициент теплопроводности
χ = 80 Вт/(м · К), атомный вес равен 72,6, плотность ρ = 5 500 кг/м3,
средняя скорость звука vзв = 4 500 м/с. Считать, что перенос тепла
осуществляется только фононами.
Ответ:
30 нм.
Задача 5.16.
Дебаевская температура алмаза θ = 2 000 К. Вычислить отношение теплопроводности алмаза при температуре Т = 50 К
к теплопроводности при 4 К, предполагая, что в обоих случаях преобладающим процессом рассеяния фононов является рассеяние на границах кристалла.
Ответ: χ (T = 50 К) : χ (T = 4 К) = 1 953 : 1.
Задача 5.17.
Рассчитать коэффициент теплопроводности при
T = 1 К кристаллического стержня диаметром 3 мм из синтетического
корунда (Al2O3). Скорость звука в корунде v = 5 000 м/с, его плотность ρ = 4 000 кг/м3, дебаевская температура θ = 1 000 К.
Ответ: χ = 1,9 Вт/(м · К).
66
6. УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
σ
σσσ
Теоретическая часть
Механические свойства твердого тела отражают его реакцию на
воздействие некоторых внешних факторов. В простейшем случае
такими внешними факторами являются механические воздействия:
сжатие, растяжение, изгиб, удар, кручение. Механические свойства
определяются в первую очередь силами связи, действующими между
атомами или молекулами, составляющими твердое тело. При действии на кристалл внешней растягивающей нагрузки расстояние между
атомами увеличивается, и равновесное расположение их в кристалле
нарушается. Это приводит к нарушению равенства сил притяжения и
отталкивания, характерного для равновесного состояния атомов в решетке, и возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы
в первоначальные положения равновесия. Величину этих сил, рассчитанную на единицу площади поперечного сечения кристалла, называют напряжением и рассчитывается по формуле
где F
σ = F
– внешняя сила; S – площадь поперечного сечения кристалла.
вн
вн
/ S,
При однородном напряжении (одинаковом во всех точках тела)
при равновесии силы, действующие на противоположные грани, равны. Поэтому рассматриваются только силы, действующие на три
взаимно перпендикулярные грани. Каждое из напряжений, действующих на три непараллельные грани куба, раскладывается на одну
нормальную составляющие и две касательные, т. е. лежащие в рас-
сматриваемой грани. Нормальные напряжения σ11, σ22, σ33 – растягивающие или сжимающие, касательные σ12, σ21, σ23 и т. д. – скалываю-
щие или сдвиговые. Касательные напряжения способствуют развитию
пластической деформации, а нормальные – разрыву межатомных связей, хрупкому разрушению твердого тела. Существует девять компонент тензора механических напряжений:
131211
ij
Так как элементарный куб находится в состоянии равновесия и
напряжение однородно, то σ
=
= σ32; σ31 = σ13; σ12 = σ21. Таким обра-
23
67
σσσ
. (6.1)
232221
σσσ
333231
зом, из девяти компонент тензора напряжений только шесть являются
ε
εεε
независимыми и тензор оказывается симметричным: σij = σji.
Деформация – это изменение объема или формы твердого тела
без изменения его массы под действием внешней силы. Это процесс,
при котором изменяется расстояние между какими-либо точками те-
ла. Относительная деформация тела ε = (l
– l0) / l0, где l0 – начальная
к
длина тела; lк – длина после приложения растягивающей силы. Деформация в любой точке есть производная смещения по координате
(это безразмерная величина): ε = du / dx. Тензор деформации определяет деформированное состояние в данной точке тела. Он содержит
девять компонент, шесть из которых независимые, и является симметричным:
1
)(
2
)(
eeeee
++
3113211211
1
)(
eeeee
++
2
)(
eeeee
3323321331
. (6.2)
3223221221
131211
1
=
ij
εεε
=
232221
εεε
333231
2
1
2
Диагональные компоненты ε
1
2
)(
1
)(
++
2
описывают удлинение или сжа-
ii
тие, компоненты εij являются компонентами деформации сдвига.
При растяжении изотропного тела (для изотропного тела любые
произвольно выбранные направления эквивалентны), когда деформация и напряжения достаточно малы, деформация пропорциональна
напряжению:
ε = Sσ,
где S – константа упругой податливости (податливость); 1 / S = С –
константа упругой жесткости (жесткость, модуль Юнга Е = С). Чем
меньше податливость, тем более жестким является кристалл. Тогда
закон Гука будет иметь вид
σ = Сε = Еε.
Закон Гука для сдвиговой деформации при действии касательных (скалывающих) напряжений
τ = F / S = G∆l / h = Gtg α,
где G – модуль сдвига; tg α – тангенс угла сдвига; F – сила; S – площадь сечения образца в плоскости сдвига.
68
Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии
−
[
]
Е
Е
[
]
Е
Е
[
]
Е
Е
характеризуется коэффициентом Пуассона ν, равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в продольном направлении:
/)(
rrr
001
=ν
−
= –
/)(
lll
001
rdr
0
. (6.3)
//ldl
0
Существует связь между константами упругости и коэффициентом Пуассона: G = E / [2(1 + ν)]. Зная две константы, всегда можно
определить третью.
Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывается
следующим образом:
– для удлинений:
1
[ ]
1
[ ]
1
[ ]
33221111
33112222
22113333
1
)(
,)(
σ+σν−σ=σ+σν−σ=ε=ε
zухх
1
)(
,)(
σ+σν−σ=σ+σν−σ=ε=ε
(6.4)
zхуу
1
)(
;)(
σ+σν−σ=σ+σν−σ=ε=ε
yxzz
– для сдвигов:
ε
12
= ε
xy
= σ
/ G = τ
12
ε
31
= ε
xy
zx
/ G; ε
= σ
23
/ G = τ
31
= ε
yz
= σ
zx
/ G = τ
23
yz
/ G;
/ G. (6.5)
Для монокристаллов любые произвольно выбранные направления по свойствам неэквивалентны. Если деформация бесконечно мала
и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений, и наоборот, каждая
компонента тензора напряжений линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность
для анизотропных тел
:
ε
ij
= S
, (6.6)
ijklσkl
либо
σ
где S
ijkl
и C
= C
ij
– тензоры упругой податливости и упругой жесткости
ijkl
, (6.7)
ijklεkl
соответственно.
69
закона Гука
Так как тензоры деформации и напряжения являются симмет-
+
−
С
~
2
ричными тензорами второго ранга, то независимых компонент S
и C
будет 36. Наличие равенств S
ijkl
ijkl
= S
klij
и C
= C
ijkl
приводит
klij
ijkl
к сокращению независимых компонент до 21. Столько констант имеет
твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для кристаллов
с кубической симметрией полное число упругих констант равно трем,
так как направления ±х, ±y, ±z взаимно перпендикулярны и полностью эквивалентны. Набор постоянных упругой жесткости сводится
к матрице
C
000
000
000
00000
00000
44
CCC
121211
CCC
121112
CCC
С
= . (6.8)
ij
111212
C
44
C
44
00000
Между константами податливости и жесткости в зависимости от
симметрии кристалла имеется определенная форма соотношения. Для
кристаллов кубической сингонии:
С
11
=
SS
1211
SSSS
+−
C
;
)2)((
12111211
=
12
S
12
+−
;
)2)((
SSSS
12111211
1
C44 =
.
S
44
(6.9)
Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформации:
616
U =
1
∑∑
2
=λ =µ
~
C
1
εε
, (6.10)
µλλµ
где индексы от 1 до 6 определяются с помощью соотношений Фохта:
1 = хх; 2 = yy; 3 = zz; 4 = yz; 5 = zx; 6 = xy; коэффициенты
с коэффициентами С: С
αβ
=
1
(
~~
=+ ССС )
. Плотность упругой
βαβααβ
связаны
энергии кубического кристалла записывается в виде
1
11
2
C
12
1
222
)(
CСU
44
2
).(
εε+εε+εε+
yyxxxxzzzzyy
70
222
)(
+ε+ε+ε+ε+ε+ε=
xyzxyzzzyyxx
(6.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]