Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
в определении тепловых свойств кристаллов – теплоемкости, тепло-
M
m
+
проводности, термического расширения и т. д. Колебания называются
оптическими, когда соседние атомы колеблются в противоположных
фазах. Они играют основную роль в процессах взаимодействия света
с кристаллом.
При малых значениях k(ka ≪ 1) выражения для акустической
и оптической частот колебаний приобретают вид
2
( ) ( )
=ω
1
ka
′
C
22
,
′
( )
2
2
2
C
=ω
.
µ
(4.6)
Если в примитивной ячейке имеются р-атомы, то дисперсионный закон для фононов будет иметь три акустические фононные ветви и (3р – 3) оптические фононные ветви. В двухатомном кристалле
имеется запрещенный интервал частот между ωТ (частота поперечных
оптических колебаний) и ωL (частота продольных оптических колеба-
ний) для связанных фонон-фотонных колебаний. Поперечные волны,
имеющие частоты, заключенные в этом интервале, не будут распространяться в кристалле.
Связь величин ω
и ωТ с диэлектрическими проницаемостями,
L
измеренными на низких и высоких частотах, осуществляется с помощью соотношения Лиддейна – Сакса – Теллера:
ω
ω
2
L
=
2
T
)0(
ε
. (4.7)
)(
∞ε
Нули диэлектрической функции ε(ω) связаны с продольными
колебаниями, а полюсы функции – с поперечными колебаниями.
Примеры решения задач
Пример 4.1. В кристалле поваренной соли максимум поглоще-
ния света приходится на длину волны λ = 61 мкм. Показать, что этот
максимум соответствует возбуждению фонона в центре зоны Бриллюэна. Для NaCl упругая константа (жесткость цепочки) С = 15 Н/м.
Решение
Так как NaCl образует при кристаллизации гранецентрированную кубическую решетку, то можно считать, что ее фононный спектр
описывается моделью одномерной двухатомной цепочки. Это означает, что в этом кристалле могут возбуждаться как акустические, так и
оптические колебания. В центре зоны Бриллюена, т. е. при k = 0,
51
частота акустических колебаний равна нулю, а оптических –
2 /
µ
C
2
−
м/с.
ω=ε
ℏ
С
,
и эта частота является максимальной частотой колебаний для двухатомной линейной цепочки. Для NaCl приведенная масса равна
µ = тМ / (т + М) = 14 а. е. м. Длина волны оптических колебаний при
k = 0 равна
c
2 µ
π
c
2
=λ
π=
ω
= 60 мкм, (4.8)
что и требовалось показать.
Пример 4.2. Из экспериментов по неупругому рассеянию ней-
тронов на кристалле KВr известно, что максимальная частота фононов, соответствующих акустическим поперечным колебаниям атомов
ребер его кубической решетки, составляет ω = 7,85 · 1012 с–1. Оценить
в рамках модели колебаний одномерной цепочки скорость поперечных звуковых колебаний вдоль этого направления. Плотность кристалла ρ = 2,75 · 103 кг/м3.
Решение
В одномерной цепочке с двумя различными атомами (тяжелым
M1 = МBr и легким М2 = Мk) частота колебаний равна
2
M
C
,
1
)0(
=ω
MM
+
24
106,11204
⋅⋅⋅
=→
,
ka
(4.9)
)(2
21
8
−
105,6
⋅=
см. (4.10)
74,2
C
π
ρ
+
ω=ω
a
MMa
max
1
= a
3
4
=
21
Поэтому скорость звука
ω 4 210
v M M M a= + =
max 1 1 2
( )
3
Пример 4.3. Период решетки а одномерного кристалла
(т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с другом) равен 3 Å. Определить максимальную энергию
фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Скорость
звука в кристалле равна 5 000 м/с.
Решение
Энергия фонона может быть найдена по формуле
. Часто-
та ω выражается через скорость фонона и его волновое число таким
52
образом: ω = vΚ (так как v = ε /
λ
π
1032
2
⋅
⋅
a
π
v
ω
ω
.
C
m
2
==ε
vvk ℏℏ
. Энергия будет максимальна при минимально воз-
Ρ =
ω / Κ). Тогда энергия будет равна
можном значении длины волны. Для одномерной цепочки λ
min
= 2а.
Тогда
34
E
max
hv
−
==
00051063,6
⋅⋅
10
−
21
−
⋅=
.Дж105,5
Пример 4.4. Определить число собственных колебаний струны
длиной I в интервале частот (ω, ω + dω), если скорость распространения колебаний равна v.
Решение
Из условия l = nλ / 2, где λ – длина волны; п = 1, 2, 3, ... – число
полуволн, укладывающихся на длине l, получим, что n = lω / πν. Таким образом, каждому значению n отвечает определенная частота ω,
а значит, в интервале частот dω число колебаний dZ = dn или
dZ
= d
.1ω
(4.11)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.1. Найти фазовую и групповую скорости волн как
функции волнового числа k в одномерной цепочке, состоящей из атомов массой m, среднее расстояние между которыми равно а. Атомы
взаимодействуют с ближайшими соседями по закону
C(xn + 1 – хп)2 / 2,
где хп – координата n-го атома.
Ответ:
v =
=
k
2
v
ka
зв
sin
ka
,
2
d
u =
=
dk
ka
cos
v
зв
2
Задача 4.2. Одномерное дисперсионное уравнение для фононов
имеет вид ω = С|sin (ka / 2)|. Чему равна константа C, если скорость
звука равна 5 000 м/с? Каковы величины фазовой v и групповой и
,
где
v a
зв
=
скоростей для величин волнового вектора k = π / 2а, –π / 2а, π / а,
53
3π / 2а? Какие из приведенных значений волнового вектора соответ-
2
2
2
2
2
2
ω
ствуют эквивалентным фононам?
Ответ: С = 3,3 · 1013 с–1; v =
aС / 3π; и = аС / 2
, –аС / 2
аС / π, –
, 0, –аС / 2
аС / π, аС / π,
; эквивалентными
являются фононы, соответствующие k = –π / 2а и 3π / 2а.
Задача 4.3. Каково относительное изменение частоты колебаний
одномерной цепочки, построенной из одинаковых атомов, если сдвиг
фазы между колебаниями соседних атомов изменился от π/3 до π?
Ответ: в 2 раза.
Задача 4.4. В одномерной цепочке, составленной из одинаковых
атомов, скорость звука равна v = 2 ⋅ 103 м/с, а постоянная решетки
а = 0,3 нм. При какой частоте колебаний ω сдвиг фаз между двумя
атомами, находящимися на расстоянии 10а, составит π/2?
Ответ: ω ~ 1,05 · 1012 с–1.
Задача 4.5. Найти максимальную частоту фонона, который
может родиться в жидкости под действием света с длиной волны
λ = 4 000 Å. Показатель преломления среды п = 1,5, скорость звука
в жидкости v = 5 ⋅ 103 м/с.
Ответ: ω = 2,5
1011 с–1.
Задача 4.6. Спектрометром анализируется свет от лазера с дли-
ной волны λ = 6 328 Å, рассеянный под углом φ = 90° в воде (n = 1,5).
Какова должна быть разрешающая способность спектрометра, чтобы
различить линии, соответствующие неупругому рассеянию света
с рождением или поглощением фонона? Скорость звука в воде
v = 1,5 ⋅ 103 м/с.
Ответ: N = 105.
Задача 4.7. Статические диэлектрические проницаемости ион-
ных кристаллов NaF и NaBr, обусловленные поляризацией решетки,
равны 5,1 и 6,4, а их плотности – 2,84
103 и 3,18
103 кг/м3. Оценить
отношение частот оптических фононов этих кристаллов.
ω
1
=
2
.2,2
Ответ:
54
Задача 4.8. Какова максимальная энергия фононов в кристалле
свинца, если его характеристическая температура равна 94 К?
Ответ: Е
= 8,1 ⋅ 10–3 эВ.
max
Задача 4.9. Определить максимальную энергию фононов,
распространяющихся вдоль цепочки атомов с периодом решетки
а = 2,84 Å со скоростью звука в кристалле 3 000 м/с.
Ответ: Е
= 3,5 ⋅ 10
max
–21
Дж.
Задача 4.10. Определить величину квазиимпульса фонона, соот-
ветствующего частоте ω = 0,4ω
Усредненное значение скорости
max.
звука в кристалле <v> = 2 000 м/с, характеристическая температура
Дебая θ = 150 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь.
Ответ: Р = 4,14 ⋅ 10
–25
Н⋅с.
Задача 4.11. Одномерный моноатомный гармонический кри-
сталл является частным случаем двухатомной модели, в которой два
атома идентичны. Для доказательства этого показать, что выражение
для двухатомного гармонического кристалла может быть преобразовано в выражение, подобное случаю моноатомного кристалла.
Задача 4.12. Построить формы оптических и акустических вет-
вей для четырех соотношений масс: 10, 5, 2 и 1. Показать, что в случае двух идентичных атомов будет только одна акустическая ветвь,
а оптические ветви будут отсутствовать.
55
5. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
=
=
.3T
≈
13−
ω
e
ℏ
Теоретическая часть
Атомы в твердом теле при любой температуре совершают тепловые колебания около своих средних положений равновесия. При
нагревании твердого тела поглощаемая им теплота расходуется на
увеличение интенсивности теплового движения. Основные особенности теплового движения в твердых телах отслеживают по поведению
теплоемкости с изменением температуры.
Теплоемкость
С
твердого тела при постоянном объеме выра-
v
жает изменение тепловой энергии при изменении температуры тела
на 1 °С и находится дифференцированием Е
Тепловая энергия Е
складывается из энергии нормальных колеба-
реш
по Т: Сv = dЕ
реш
реш
/ dT.
ний решетки.
Основным вопросом теории теплоемкости является зависимость
Сv от температуры. Экспериментально известно, что в области высо-
ких температур выполняется закон Дюлонга и Пти:
(5.1)
ВAv
где NA – постоянная Авогадро, NA = 6,022·10
Больцмана, kB = 1,38·10
–23
Дж/К; R – молярная газовая постоянная,
,33 RkNC
–23
моль–1; k
– постоянная
B
R = 8,31 Дж/моль. В области низких температур теплоемкость спадает
до нуля
Cтрогие количественные расчеты, подкрепляющие качественные закономерности изменения Сv(Т), были выполнены в 1907 г.
Эйнштейном, а затем Дебаем в 1912 г.
1. Модель Эйнштейна
Эйнштейн исходил из двух предположений:
1) твердое тело представляет собой совокупность одинаковых
гармонических осцилляторов (атомов), которые колеблются независимо друг от друга с одной и той же частотой ω в трех взаимно пер-
пендикулярных направлениях;
2) энергия осцилляторов квантована по Планку.
Энергия Е системы из NA атомов, определяемая колебаниями
решетки, равна
N
E
=
56
A
ω
ℏ
Тk
B
. (5.2)
Тогда теплоемкость
e
ℏ
=
ω
2
π
v
ω
2
−
ω
ℏ
Тk
B
e
2
ω
ℏ
Тk
B
. (5.3)
1
C
3
=
v
BA
ω
ℏ
Тk
B
e
kN
В области высоких температур формула (5.3) приобретает вид
ω
Тk
закона Дюлонга и Пти. В области низких температур Сv ~
B
.
Ограниченность модели Эйнштейна состоит в его предположении
о равенстве частот всех упругих волн в твердом теле.
2. Модель Дебая
Дебай сохранил идею Эйнштейна о квантованности энергии
гармонических осцилляторов по Планку, пополнив ее предположением о том, что гармонические осцилляторы колеблются с различными
частотами. При этом предполагается, что для фононов линейный закон дисперсии справедлив во всем диапазоне ω:
.
kv
зв
Одним из основных вопросов теории колебаний решетки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам.
Функция, определяющая плотность заполнения спектрального участ-
ки dω нормальными колебаниями, называется функцией плотности
фононных состояний:
3
)( ω
g
=ω
V
2
,
32
где V – объем кристалла.
Так как общее число нормальных колебаний, которое может
возникнуть в решетке, равно 3N, то g(ω) должно удовлетворять сле-
дующему условию нормировки:
ω
D
=ωω
где
∫
0
– дебаевская частота, или максимальная частота, ограничи-
D
вающая спектр нормальных колебаний сверху,
,
Ndg
3)(
3/1
N
6
π=ω
v
D
2
V
.
Температура θ
= ħωD / k
D
называется характеристической тем-
B
пературой Дебая. При температуре Дебая в твердом теле возбуждает-
57
ся весь спектр нормальных колебаний, включая и колебание с макси-
ω
ℏ
ℏ
ℏ
мальной частотой ωD, поэтому дальнейшее повышение температуры
(выше θD) не может уже вызывать появление новых нормальных
колебаний. Действие температуры в этом случае сводится лишь к
увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания,
приводящего к возрастанию их средней энергии. Температуры Т > θ
D
принято называть высокими.
Умножая число нормальных колебаний, приходящихся на спектральный участок dω, равное g(ω)dω, на среднюю энергию нормаль-
ного колебания
баний, заключенных в интервале dω: dE
Е
н.к
=
ω
ℏ
Тk
B
е
, получим энергию нормальных коле-
−
1
Е
реш
=
g(ω)dω. Проинтегри-
н.к
ровав это выражение по всему спектру нормальных колебаний,
т. е. в пределах от 0 до ωD, получим энергию тепловых колебаний ре-
шетки твердого тела:
ω
D
. (5.4)
ЕЕ
н.креш
∫
0
δωω=
)g(
Тогда энергия кристалла в приближении Дебая равна
θ
D
Т
3
dxx
,
x
∫
e
0
(5.5)
−θ
1)/(
где х =
9
=
E
ω
;
D
ω
=θ
D
. Тогда при высоких температурах теплоем-
kТk
BB
ТNk
B
3
Т
D
кость составит Сv = 3R, а при низких
4
12ТNk
C
π
=
v
3
5
θ
D
3
B
. (5.6)
В области низких температур энергия кристалла с повышением
температуры увеличивается вследствие действия двух механизмов:
1) роста средней энергии каждого нормального колебания из-за
повышения степени его возбуждения;
2) роста числа возбужденных нормальных колебаний решетки.
Первый механизм вызывает рост энергии, пропорциональный Т,
3
второй – пропорциональный Т
. Поэтому в целом с повышением тем-
58
пературы энергия решетки растет пропорционально Т
,
2 2
Т RT
а теплоемкость пропорционально Т
3
(закон Дебая).
4
: Е
~ Т 4,
реш
Физическая картина характера изменения температурной зависимости энергии и теплоемкости твердого тела при повышении его
температуры выглядит таким образом. В области низких температур
(Т << θD) энергия тела с увеличением температуры повышается,
во-первых, вследствие роста степени возбуждения каждого нормального колебания, т. е. роста их средней энергии, пропорциональной Т;
во-вторых, вследствие включения в работу все новых и новых нормальных колебаний, вызывающих повышение энергии тела пропорционально Т
3
. По мере приближения к температуре Дебая второй
механизм постепенно из работы выключается, и зависимость Е(Т) ослабляется, что вызывает отступление от закона Дебая.
При температуре Дебая возбуждается уже весь спектр нормальных колебаний решетки, поэтому второй механизм роста энергии
с повышением температуры выключается полностью; работает лишь
первый механизм, вызывая рост энергии, пропорциональный Т, и независимость от Т темплоемкости тела Сv (закон Дюлонга и Пти).
Теплоемкость металлов складывается из теплоемкости решетки С
и теплоемкости электронного газа Се:
реш
Сv = С
+ Се. (5.7)
реш
С классической точки зрения (электронный газ невырожденный)
3 3
(5.8)
теплоемкость С
E N k
= =
A В
кл
= 3R / 2; общая теплоемкость Сv = 9R / 2. В действи-
е
тельности в области высоких температур металлы, как и диэлектрики,
обладают теплоемкостью Сv = 3R, что свидетельствует о том, что
электронный газ не вносит заметного вклада в теплоемкость металлов. В области низких температур теплоемкость решетки падает
3
~Т
и вблизи абсолютного нуля может оказаться столь малой, что
основное значение может приобрести теплоемкость электронного
газа Се, которая с понижением температуры падает значительно медленнее (Се ~ T).
С нагреванием твердого тела средние расстояния между частицами увеличиваются, тело расширяется. Причиной этого является ангармонический характер колебаний частиц твердого тела, обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия
59
частиц от расстояния между ними. Коэффициент линейного теплово-
〉
〈
3
ℏ
ℏ
го расширения
где <x> – среднее расстояние между атомами; х
α равен
31
xd
=α
x
=
dT
gk
B
, (5.9)
2
β
x
00
– положение равно-
0
весия атомов; g – коэффициент ангармоничности; β – коэффициент
квазиупругой силы.
Еще одним эффектом, обусловленным ангармоническим характером колебания атомов, является
теплопроводность
твердых тел.
Коэффициент решеточной теплопроводности равен
1
λ=χ
Cv
,
зв
где С – теплоемкость единицы объема; λ – средняя длина свободного
пробега фононов;
– скорость звука.
v
зв
Длина свободного пробега фононов, которая ограничивается
столкновениями с дефектами на стенках кристалла, с другими фононами, определяется по формуле
λ = 1 / nσ,
где n – концентрация рассеивающих центров; σ – сечение рассеяния
фононов.
Теплопроводность металлов складывается в общем случае из
теплопроводности, обусловленной фононами, и теплопроводности,
обусловленной свободными электронами: χ = χ
металлов χ
эл
/ χ
реш
= 102.
+ χэл, при этом для
реш
Примеры решения задач
Пример 5.1.
Одномерная цепочка состоит из атомов с массами т и М = 9m. Оценить относительный вклад в теплоемкость
оптических колебаний атомов цепочки при температуре Т = θ / 10, где
θ – соответствующая температура Дебая.
Решение
Так как µ ~ m, то оптическая ветвь имеет практически постоян-
ную частоту
опт
=ω
mС /2
(следует иметь в виду, что в одномер-
ной решетке с двумя разными атомами число колебательных мод
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]