Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Задачи по физике конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
8. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.
ПОЛУПРОВОДНИКИ
Теоретическая часть
Модель свободных электронов не дает ответа, почему одни химические элементы в кристаллическом состоянии оказываются хорошими проводниками, другие – изоляторами или полупроводниками,
электрические свойства которых резко зависят от температуры.
По удельной электропроводности все твердые тела делятся на
три группы: металлы, диэлектрики и полупроводники. Металлы являются прекрасными проводниками электрического тока. Их удельная электропроводность при комнатной температуре колеблется от
104 до 106 Ом–1·см–1. Диэлектрики, наоборот, практически не проводят
ток – их используют как изоляторы. Удельная электропроводность их
меньше, чем 10
Ом
·см
. Твердые тела, имеющие промежуточные
значения σ относятся к классу полупроводников. Различие между металлами, с одной стороны, и диэлектриками и полупроводниками,
с другой, проявляется достаточно четко в ходе температурных зависимостей удельной электропроводности.
Для металлов удельная электропроводность уменьшается с ростом температуры и перестает изменяться, принимая некоторое конечное значение, при температурах, близких к 0 К. Для полупроводников
и диэлектриков σ возрастает с температурой по экспоненциальному
закону и при Т → 0 К обращается в нуль.
Квантовая теория свободных электронов довольно успешно
объясняет многие свойства металлов. Однако не дает ответа на ряд
вопросов, например: почему проводимость различных твердых тел
изменяется в столь широких пределах; почему одни вещества являются хорошими проводниками электрического тока, а другие диэлектриками; почему в некоторых твердых телах при низких температурах возникает сверхпроводимость? Отсутствие ответа на эти вопросы
связано с чрезмерными упрощениями, которые положены в основу
модели свободных электронов.
Учет взаимодействия электронов с кристаллической решеткой
и между собой сделан в зонной теории твердых тел. Дальний порядок
в кристаллах приводит к тому, что в твердых телах существует электрическое поле, которое является периодической функцией коорди-
91
нат. В металле, например, где положительные ионы расположены
0
U
в узлах решетки в строгом порядке, потенциальная энергия электрона
изменяется вдоль некоторого направления ОХ так, как показано
на рис. 8.1. Минимумы энергии соответствуют местам, где расположены положительные ионы. Периодическое электрическое поле в
кристалле любого типа существенно изменяет энергетические состояния электронов в твердом теле по сравнению с их состоянием в изолированных атомах. В изолированных атомах электроны находятся в
дискретных энергетических состояниях. В твердом теле энергетические состояния электронов определяются как взаимодействием их с
ядром своего атома, так и с электрическим полем кристаллической
решетки, т. е. взаимодействием с другими атомами. В результате этого взаимодействия энергетические уровни электронов расщепляются.
Вместо дискретного энергетического уровня, характерного для изолированного атома, в твердом теле, содержащем N взаимодействующих атомов, возникает N близко расположенных друг от друга
энергетических уровней, которые образуют энергетическую полосу
(энергетическую зону). В кристаллах образуется зонный энергетиче-
ский спектр электронов.
X
Рис. 8.1. Зависимость потенциальной энергии электрона
от расстояний в кристалле
Взаимодействие атомов при образовании кристаллической решетки приводит к расширению энергетических уровней атомов и
превращению их в кристалле в энергетические зоны. В случае изотропной трехмерной решетки в модели сильной связи, когда учиты-
92
ваются только перескоки электронов к ближайшим соседним ионам,
W
∆
τ
ℏ
закон дисперсии будет иметь вид
Е = E0 – 2Acos kxax – 2Acos kyay – 2Acos kzaz. (8.1)
В этом выражении константа А определяет ширину зоны проводимости.
В изолированном атоме ввиду конечности времени τ жизни
электрона в возбужденном состоянии (τ ~ 10–8 с) ширина ∆W энерге-
тического уровня (естественная ширина энергетического уровня) составляет
7
−
~
≈
эВ.10
(8.2)
Величина
1
−
2
dk
Ed
(8.3)
2
m
2*
=
ℏ
играет роль массы для электрона при его движении в кристалле и называется эффективной массой электрона. Эффективная масса электрона в кристалле – это масса такого свободного электрона, которую
он должен был бы иметь для того, чтобы под действием внешней
силы приобрести такое же ускорение, как и электрон в кристалле под
действием той же силы.
В кристалле валентные электроны атомов слабее, чем внутренние электроны, связанные с ядрами, могут с помощью туннельного
эффекта переходить от одного атома к другому. Происходит просачивание электронов сквозь потенциальный барьер, разделяющий атомы
в кристалле. Вместо естественной ширины ∆W ≈ 10–7 эВ электронного
энергетического уровня в изолированном атоме в кристалле возника-
ет зона дозволенных значений энергии ∆W ≈ 1 эВ. Для внутренних
электронов частота просачивания электрона сквозь потенциальный
барьер и перехода его к другому атому ничтожно мала. Это связано
с ростом высоты барьера U0 – W ≈ 103 эВ и возрастанием ширины
барьера L ~ 3 · 10
–10
м. Расчеты дают τ ~ 1020 лет. Уширение энерге-
тических уровней внутренних электронов несущественно, и внутренние электроны атомов в кристаллах ведут себя практически так же,
как в изолированных атомах. Если N есть общее число атомов твердого тела, то энергетическая зона, образовавшаяся из электронного
энергетического уровня валентного электрона атома, состоит из N
близко расположенных друг к другу уровней. Соседние энергетиче-
93
ские уровни в зоне отстоят друг от друга приблизительно на 10
–22
эВ.
Разрешенные энергетические зоны разделены областями – зонами запрещенных значений энергии электронов. Ширина запрещенных зон
соизмерима с шириной разрешенных зон. С увеличением энергии
ширина разрешенных энергетических зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Разрешенные энергетические зоны в твердом теле могут быть различным образом заполнены электронами.
В предельных случаях они могут быть целиком заполнены или совершенно свободны. Электроны в твердых телах могут переходить из
одной разрешенной зоны в другую. Для перехода электрона из нижней зоны в соседнюю верхнюю зону необходимо затратить энергию,
равную ширине запрещенной зоны, расположенной между ними
(энергию порядка нескольких эВ). Для внутризонных переходов электронов необходима весьма малая энергия (10–4–10–8 эВ). Под действием теплового возбуждения электронам может быть сообщена различная энергия, достаточная как для внутризонных, так и для межзонных
переходов.
Различия в электрических свойствах твердых тел объясняются
в зонной теории различным заполнением электронами разрешенных
энергетических зон и шириной запрещенных зон. Эти два фактора
определяют отнесение данного твердого тела к проводникам электрического тока или к диэлектрикам. Чтобы тело было проводником,
необходимо наличие свободных энергетических уровней, на которые
электрическое поле сторонних сил могло бы перенести электроны.
Это поле может вызвать лишь внутризонные переходы электронов.
Если зона не полностью занята валентными электронами, то твердое
тело всегда является проводником электрического тока (рис. 8.2).
Рис. 8.2. Заполнение зон электронами:
Еv – граница валентной зоны; Ес – граница зоны проводимости;
Еg – ширина запрещенной зоны
94
В кристаллах возможна гибридизация разрешенных энергетических зон. Зона, возникшая при расщеплении верхнего возбужденного
уровня, может перекрываться с зоной, возникшей за счет расщепления нижнего состояния валентных электронов. При этом образуется
более широкая гибридная зона, в которой размещаются валентные
электроны, заполняя ее лишь частично, поэтому гибридная зона
является зоной проводимости. Кристаллы с частично и полностью
заполненной валентной зоной хорошо проводят электрический ток,
т. е. являются металлами. Когда валентная зона заполнена электронами полностью и отделена от следующей за ней свободной зоны широкой (больше 2–3 эВ) запрещенной зоной (энергетической щелью),
то внешнее поле не может создать электрический ток и вещество
представляет собой диэлектрик. Если ширина запрещенной зоны
меньше 2–3 эВ, то кристалл называют полупроводником. В полупроводниках за счет тепловой энергии kBТ заметное число электронов
оказывается переброшенным в свободную зону, называемую зоной
проводимости. При очень низких температурах любой полупроводник становится хорошим диэлектриком.
Таким образом, между металлами и диэлектриками существует
качественное различие, а между диэлектриками и полупроводниками –
только количественное.
Полупроводники. Электропроводность химически чистых полупроводников называется собственной проводимостью. Электронная проводимость (проводимость n-типа) возникает при перебросе
электронов из валентной зоны в зону проводимости. Для этого нужно
затратить энергию, не меньшую, чем ширина запрещенной зоны ∆W0.
Величина ∆W
называется энергией активации собственной проводи-
0
мости. С повышением температуры полупроводника растет число
электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят из
валентной зоны в зону проводимости и участвуют в электропроводности. Перевод электрона из валентной зоны в зону проводимости
свидетельствует о том, что какой-либо из валентных электронов одного из атомов в решетке покидает свое место и на оставленном месте
возникает избыток положительного заряда – положительная дырка.
Она ведет себя как положительный заряд, равный по величине заряду
электрона. Электропроводность полупроводника, обусловленная перемещением дырок, называется дырочной проводимостью, или проводимостью р-типа.
Концентрация электронов п
в зоне проводимости (дырок в ва-
п
лентной зоне пр) определяется выражением
95
,
E k T
n Q e
−
B
k T
−∆
,
k T
2
.
n p i
n n n
=
n p n p
( ) ( )
где ∆ – ширина запрещенной зоны.
Величина
/
g B
(8.4)
2/3
Tkm
(8.5)
Q
2
=
)(
pn
3
ℏ
)(
Bpn
2
π
*
определяет эффективное число уровней в зоне проводимости
(валентной зоне) и носит название статистического фактора зоны.
Произведение концентраций электронов и дырок равно
n n Q Q Qe
= . (8.6)
n p n p
/
Проводимость, обусловленную процессом теплового возбуждения исходной (без примесей) кристаллической решетки, называют
собственной, поскольку она определяется свойствами самого кристалла. Соответственно, и концентрацию носителей n в зоне проводимости, возникающих за счет переходов из валентной зоны, называют концентрацией собственных носителей. В беспримесном полупроводнике концентрация собственных носителей n, равная как концентрации электронов, так и дырок, которые рождаются парами, может
быть записана в виде
/2
−∆
B
n n n Q Q e
= = =
i n p n p
(8.7)
откуда следует соотношение
= (8.8)
В полупроводнике без примесей (собственном полупроводнике)
уровень Ферми расположен практически посредине запрещенной зоны. В примесных полупроводниках n-типа (полупроводниках с донорными примесями) уровень Ферми при T = 0 будет равен половине
энергии донорного уровня Ed, отсчитанной от дна зоны проводимости. Аналогично у полупроводника p-типа (с акцепторными уровнями)
уровень Ферми при нулевой температуре равен Еа / 2 (Еа – энергия
акцепторного уровня). По мере увеличения температуры в примесных
полупроводниках уровень Ферми смещается к значению ∆ / 2.
Если пропустить ток вдоль проводника, находящегося в магнитном поле, перпендикулярном движению тока, то в поперечном на-
96
правлении возникает ЭДС (ЭДС Холла), причем ее направление пер-
µ
=
[
]
−
=
[
]
=
−
пендикулярно магнитному полю (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Возникновение холловской
разности потенциалов
Пусть носителями заряда являются электроны. Электрическое
поле ускоряет электрон, и он приобретает дрейфовую скорость:
. На частицу, движущуюся с этой скоростью, действует сила
d
Лоренца:
и В. Под действием сил –еE и
Eυ
, направленная перпендикулярно векторам
BυF
e
Л
d
электрон движется по траектории,
F
Л
υ
d
образующейся в результате сложения двух видов движения: перемещения вдоль образца и вращения (обусловленного действием силы
Лоренца). Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к боковой поверхности образца, в результате чего на ней создается избыток отрицательного заряда. На противоположной стороне возникает
недостаток отрицательного заряда, т. е. избыток положительного.
Распределение зарядов происходит до тех пор, пока сила, действующая на электроны со стороны возникшего электрического поля
E
,
H
направленного от одной боковой поверхности к другой, не скомпенсирует силу Лоренца. Поле
получило название поля Холла, а само
E
H
явление возникновения в образце с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля называется
эффектом Холла. Разделение зарядов прекратится при условии:
Отсюда можно найти разность потенциалов между
ee EBυ
Hd
.0
гранями, называемую ЭДС Холла. Если ширина образца равна b, то
97
=
=
Определим
−
=
ne
ne
µ=σ
Ak
E
=
dk
dk
ℏ
ℏ
ℏ
−
ℏ
.bb
BυEU
dHH
, подставим ее в выражение для ЭДС Холла:
enυj
d
.1bRb
jBjBU
H
=−=
Коэффициент пропорциональности R называ-
из выражения для плотности тока:
υ
d
ется постоянной Холла:
R
1
−=
. Если носителями заряда являются
дырки, то сила Лоренца, действующая на них, отклоняет их в ту же
сторону, куда отклоняются электроны. При этом постоянная Холла
1
R
=
. Произведение постоянной Холла на проводимость определя-
pe
ет подвижность носителей заряда (холловскую подвижность):
Измерение эффекта Холла совместно с измерениями прово-
R
.
H
димости образца позволяет получать информацию о знаке носителей
заряда, концентрации носителей и их подвижности.
Примеры решения задач
Пример 8.1. Предполагая, что дисперсия энергии зоны в полу-
проводнике имеет вид
эффективную массу электрона в этой зоне в единицах массы свободного электрона
m
.
0
Решение
Для расчета эффективной массы используем выражение
m
*
1
1
2
В единицах массы электрона имеем
m
*
2
==
2
Amm
0
0
2
, где A = 84,67 Å2эВ, рассчитать
1
2
Ed
22
⋅
22
Akd
)(1
2
224
)1058054,1(
2
===
. (8.9)
A
2
=
301920
−−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
)10910,0()10602,11067,84(2
.045,0
(8.10)
Пример 8.2. Предполагая, что в кристалле GaAs эффективная
масса электрона m* = 0,067m0, рассчитать число состояний, приходящихся на энергетический интервал от дна зоны проводимости (E
c
до (Ec + 1 эВ) для кристалла GaAs, имеющего объем 1 мм3.
98
)
Решение
ℏ
ℏ
ℏ
(
)
d
d
π+π
...3,2,
1
±±±
=
n
–
d
Число состояний от 0 (дно зоны проводимости) до 1 эВ выше
дна зоны проводимости определяется интегрированием плотности состояний:
2/3
*
Eg
)(
=
2
2
π
mV
2
2
; (8.11)
E
2/3
*
2
=
dEE
1930
−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
2
34
−
2
mV
2
π
3
2/3
)10602,1()1091,0067,0(2
=
10
3
π
1
)(
dEEgN
0
3
3
1
==
∫∫
0
2
mV
2
π
2
2
( )
10054,1
⋅
2/3
*
2
=
16
.1088,7
⋅=
(8.12)
Пример 8.3. Показать, что на границах первой зоны Бриллюэна
волновые функции свободного электрона в одномерной решетке с периодом d вырождены.
Решение
Так как в одномерном случае вектор трансляций определен
как
a
= id, то обратный вектор b1, который находится из условия
1
(a1, b1) = 2π, имеет вид b1 = (2π /d)i. Поэтому границы зон Бриллюэна
определяются выражением
2
,
k
=
n
n
где
.
Для первой зоны Бриллюэна k = ±π / d (рис. 8.4).
π/d 0 π/d 2π/
Рис. 8.4. Схема энергетических зон
99
Рассмотрим пары n (0, –1), (1, –2), (2, –3) и т. д. Так как
m
ℏ
∑
∑
ψk(x) = e
ikx
, то для указанных пар получим
π
π
)0(
)1(
xdi
=Ψ
e
=Ψ
)1(
π
−−xdi
e
−
3
x
i
d
=Ψ
e
. (8.13)
π
3
−
x
i
=Ψ
)2(
d
e
Соответствующие им энергии в силу выражения
22
k2)(
k
=ε
будут одинаковыми. Таким образом, состояния, соответствующие
границе первой зоны Бриллюэна, являются дважды вырожденными.
Пример 8.4. Используя выражение для энергии в методе сильной связи
ik
n
eh
)(
n
k
)(
+ε=ε
0
∑
nn)(
n
, (8.14)
ik
n
es
где n(n1n2n3) = n1a1 + n2a2 + n3a3, а также считая величины h(n), s(n)
параметрами, получить в приближении ближайших соседей явные
выражения для функции ε(k) одноатомного кристалла с ПКР, ОЦК и
ГЦК решеткой.
Решение
1. ПКР: векторы решетки имеют вид
a1 = a (1, 0, 0), a2 = a (0, 1, 0), a3 = a (0, 0, 1). (8.15)
Каждый атом в простой кубической решетке имеет 6 ближайших соседей. Если центральный атом расположен в точке a(0) =
= a (0, 0, 0), то a(1) = a (1, 0, 0), a(2) = a (–1, 0, 0), a(3) = a (0, 1, 0),
a(4) = a (0, –1, 0), a(5) = a (0, 0, 1), a(6) = a (0, 0, –1). Тогда, учитывая
в суммах только слагаемые для указанных узлов, получим
a(n)
ik
)(
n
eh
n
=
(8.16)
)6()5()4()3()2()1( aaaaaa
ikikikikikik
eeeeeehh
++++++=
].)[1()0(
Так как слагаемые здесь попарно группируются в действительные величины, то:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]