Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
4. Синтез четырехполюсников
Z
Z
Z
Z
Z
)
p
R
R
−
(
)
K
K
(
)
K
K
ppR
R
α
Мостовой четырехполюсник обладает интересными свойствами
в том случае, когда элементы
a
и
реактивны и имеют разные знаки.
b
Характеристическое сопротивление при этом оказывается вещественным:
CM a b a b C
ZZ X X R==⋅=
.
Коэффициент передачи по напряжению реактивного мостового четырехполюсника при согласованной нагрузке
Kj
CM
ω= =
()
CM a C a
CM a C a
Отсюда видно, что модуль коэффициента передачи
jX R jX
−−
.
jX R jX
++
Kjω=
(
CM
1
а значит, такой четырехполюсник пропускает все частоты без изменения
их амплитуд.
Фазовый сдвиг напряжений на входе и выходе определяется из формулы
2
XR
ϕ=
arctg
M
aC
22
XR
aC
−
и, следовательно, является функцией частоты. Такие цепи называются четырехполюсниками чисто фазового сдвига.
Замена
дает для коэффициента передачи
j=ω
,
Kp
()
C
ca
=
ca
Zp
+
()
()
Zp
Из последнего выражения следует:
−
1
=
()
Zp R
aC
+
1
p
C
p
()
C
,
Zp R
=
()
bC
Можно показать, что коэффициент передачи фазового контура второго порядка имеет вид
2
pp
Kp
()
C
−α +β
=α>β>
2
pp
+α +β
(0; 0)
В ветвях мостового фазового контура второго порядка должны быть
включены двухполюсники с сопротивлениями:
==
α
()
Zp R
ac
β+
p
2
αα
1
,
Zp
β
+
pR
cc
()
b
.
+
1
−
1
p
C
p
()
C
.
.
2
ccc
==+
Zp p
()
a
RRp
β
α
.
81
Введение в синтез пассивных цепей
β
β
Рис. 60
а
β>α б
2
2
=α в
Рис. 61
Рис. 62
2
<α
82
Z
R
α=β
R
α
Z
R
α
R
α
β
β
M
ϕ
ω
Функция ()
у которого
4. Синтез четырехполюсников
p описывает параллельный колебательный контур,
a
L
a
Сопротивлению ()
p соответствует последовательный колебатель-
b
c
;
C
1
=
a
.
c
ный контур с параметрами
L =
c
;
C
b
=
b
.
c
На рис. 60 показана схема фазового контура второго порядка.
Основные недостатки мостовых четырехполюсников:
1) мостовой четырехполюсник − уравновешенная структура, невоз-
можно заземление выводов входа и выхода;
2) очень большое число элементов в схеме.
С целью преодоления указанных недостатков широко применяются
неуравновешенные схемы фазовых контуров, эквивалентных мостовым
(рис. 61).
На рис. 62 приведена фазочастная характеристика
фазового корректора второго порядка, а также частотная зависимость группового времени
запаздывания, представляющего собой производную от фазы коэффициен-
та передачи фазового контура при
2
>α (рис. 61, а).
4.6. Лестничные цепи с элементами двух типов
За основу для синтеза принята передаточная функция по напряжению:
Следует отметить, что реализация получается только с точностью до
постоянного множителя.
Структура цепи изображена на рис. 63.
Для лестничных цепей характерны два вида нулей передачи; это час-
тоты, при которых:
d
t
=
Г
UZp
Kp
() |
12 0
XX I
212
==.
UZp
111
.
d
()
=
2
()
83
Введение в синтез пассивных цепей
K
Z
Z
1) функция полного сопротивления последовательной ветви равна ∞
(х.х.− сигнал на выход не проходит);
Рис. 63
2) функция полного сопротивления параллельной ветви равна 0
(к. з. − сигнал шунтируется на общую шину).
4.6.1. Лестничные RC-цепи
Поскольку нули и полюсы входной функции RC-двухполюсника
лежат на отрицательной вещественной оси, то нули передаточной функции
()
12
p могут также лежать только на вещественной отрицательной оси.
XX
Если каждая ветвь лестничной схемы содержит один элемент (R
или C), то нуль передачи может быть только в двух случаях: Р = 0 и Р = ∞,
поскольку конденсатор, включенный последовательно, порождает нуль
при Р = 0, а включенный параллельно, порождает нуль при Р = ∞.
Первая схема Кауэра (рис. 64), реализующая входные RC-функции,
порождает нули передачи при Р = ∞.
Рис. 64
Вторая схема Кауэра (рис. 65) содержит последовательно включенные конденсаторы и потому порождает нули передачи при Р = 0.
()
84
12
XX
()
= , положим
Kp
12
()
11
p
()
Zp
p
11
()
np
11
= ,
()
dp
11
()
Zp
12
= ,
np
12
dp
12
()
()
4. Синтез четырехполюсников
Z
Z
Z
−
K
B
B
p
K
K
p
p
K
K
p
Z
Z
тогда
npdp
12
XX
()
=
dpnp
Kp
12 11
12 11
⋅
() ()
⋅
.
() ()
Ранее было показано, что условие пассивности четырехполюсника
()
заключается в том, что
()
бы у
у
12
p и
11
()dp. (Это следует и из условия для вычетов
()
p , т. е. 11()dp содержит все сомножители, имеющиеся
22
p не может иметь полюса, который не имелся
12
Рис. 65
В этой связи полюсы
12
XX
()
p
простые.
Передаточная функция лестничных RC-схем имеет вид
2
0kk k
11 22 12
≥ ).
− вещественные, отрицательные,
Kp
12
XX
()
==
nn
pbp bpb
++++
где 0 mn≤≤.
p − полином с вещественными отрицательными простыми кор-
()
нями.
При 0
т. е.
12
При
т. е.
12
Следовательно,
nm− нулей передачи при p→∞.
и ()
→ , если 0m ≠
()
p приближается к нулю со скоростью
XX
→∞ и mn≠
()
p приближается к нулю со скоростью
XX
12
lim ( ) lim ( )
pp
lim ( ) lim ( )
Kp kp
pp
→∞ →∞
()
p имеет m нулей передачи при 0
XX
Реализация передаточной функции предполагает, что параметры
()
матрицы сопротивлений
() ()dp dp= .
11 12
11
p и
mm
kp kp
1
−
110
−
n
00
→→
12
XX
...
pp
12
XX
≅ ,
≅ ,
k
m
b
0
m
.
()
mn
−
p
()
,
1
.
()
nmp−
()
p имеют одинаковые знаменатели
22
→
85
Введение в синтез пассивных цепей
p
=
p
=
p
=
p
=
p
+
p
K
Z
Z
p
+
+
Z
p
p
Z
+
Z
+
Таким образом,
np
12
XX
()
=
np
Kp
12
11
, 11() ()np Bp=, а 12()
()
np kp= .
m
()
Возможны три случая:
m = , все нули передачи при
1) 0
∞;
mn= , все нули передачи при 0
2)
3) 0
при
=∞.
Случай 1. 0m
нули передачи при
Реализация
()
p первой формой Кауэра, т. е. разложением
11
дробь при
mn<<, m нулей передачи при 0
,
()
Kp
12
XX
=
nn
bp bpb
110
n
−
=∞.
()
12
p достигается путём реализации выбранной
XX
=∞.
Пример 1. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функ-
цией:
()
12
XX
Zp k
12
Zp
11
()
11
=
(3)(5)
pp
()
()
удовлетворяла всем свойствам входной
p
2
815
pp
()
p при условии, что нули её при
11
Решение.
Kp
12
XX
()
Можно выбрать разные
=− и 5
3
=− , чтобы
Kp
==
функции полного сопротивления.
2
2
pp
Примем
()
Zp
11
(3)(5) 815
pp pp
++ ++
==
(1)( 4)
pp
++
;
k
1
−
++ +
...
k
.
+
.
+
54
+
, nm− нулей передачи
,
()
p в непрерывную
11
,
отсюда
()
Zp
12
=
(1)(4)
pp
++
.
Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра, разложив
k
()
в цепную дробь
11
p .
1
() 1
Zp
11
=+
11
.
p
+
3
91
+
21
4
p
3
1
2
86
p
=
K
Z
Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 66.
Очевидно, что при
зует заданные
Для доказательства правильности решения определим
U
12
XX
()
Kp
2
=
U
1
Определим
Заменим генератор ЭДС (рис. 67) на генератор тока (рис. 68).
4. Синтез четырехполюсников
=∞
()
12
XX
p и
()
12
p .
.
U при 1U на входе.
2
Рис. 66
12
XX
() 0
Kp
, следовательно, схема реали-
Рис. 67 Рис. 68
Рис. 69
После замены получим схему, изображенную на рис. 69.
87
Введение в синтез пассивных цепей
=
X
B
p
+
+
Методом узловых потенциалов составим систему уравнений:
I =
1
U
1
1
,
⎧
⎪
⎪
U
1
==++ −
Ip
112
1399
⎨
⎪
0()φ (2)φ .
⎪
⎩
442
=− + + +
993
14 4
(1 ) φ ()φ ,
φ UΔ==
22
12
14
++
1
p
U
p
1
391
4
U
2
==
U
1
14 4
p
++ −
1
9
39 9
442
−++
−
0
U
1
p
2
993
4
U
1
13 22 22 26 2 16
⋅
9( )
+++−
ppp U
2
81 27 27 9 81
===
2
22
815 815
pp pp
++ ++
k
K
12
=
1
.
X
Δ
2
.
Случай 2. mn= ,
Kp
12
XX
все нули передачи при 0
==
pbp bpb
= .
Реализация цепи по второй форме Кауэра приводит к схеме, изображенной на рис. 65.
Пример 2. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функ-
цией
K
==
XX
12
Решение
(2)(4) 68
pp pp
Примем
отсюда
()
Zp
12
=
()
Zp
11
kp
(1)(3)
pp
++
++ ++
==
(1)(3)
pp
++
2
nn
kp kp
nn
++++
n
pp
++
(2)(4)
1
−
110
−
22
kp kp
...
2
pp
68
2
2
43
pp
+
+
,
.
,
p
.
Реализуем лестничную цепь по второй схеме Кауэра.
88
4. Синтез четырехполюсников
p
=
p
B
Z
p
=
p
=
+
+
Таким образом,
13 1
()
Yp
11
==+
() 8
Zp
11
32 1
+
7
p
49 1
+
22 44 1
21
⋅
p
88
+
.
3
44
Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 70.
Рис. 70
Случай 3. 0 mn<<, m нулей передачи при 0
, nm− нулей
передачи при
В этом случае входная функция RC-цепи
тичному разложению в непрерывную дробь при 0
=∞.
Kp
12
XX
()
==
pbp bpb
mm
kp kp
1
nn
++++
−
110
−
n
...
11
.
p
()
()
p подвергается час-
, а затем при
∞.
Начать можно с разложения любой формы. Первое разложение прекращается, когда получены требуемые нули передачи.
Пример 3. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функ-
цией
kp
K
12
=
XX
pp
(2)(5)
.
+
Решение
2
2
54
pp
+
,
Примем
()
Zp
11
(2)(5) 710
pp pp
++ ++
==
(1)(4)
pp
++
kp
Отсюда
Zp
12
=
(1)(4)
pp
++
.
89
Введение в синтез пассивных цепей
Z
p
=
p
p
Z
p
′
+
+
+
Прежде всего разложим 11()
p при
∞ (первая форма Кауэра).
Поскольку при
=∞ имеется один нуль передачи, то, выделив пер-
1
вый шунтирующий конденсатор (
), закончим разложение
2
в цепную дробь и получим цепь, изображенную на рис. 71.
=+
() 1
Zp
11
1
,
′
()
Yp
1
Yp
+
()
24
p
=
26
p
.
2
Оставшаяся часть полной проводимости раскладывается во вторую
форму Кауэра (рис. 72).
′
Yp
()
21
=+
91
3
p
.
1
3
И окончательно получим цепь, изображенную на рис. 73.
()
p
11
Рис. 71 Рис. 72
Следует останавливать первый процесс, как только будет выделено
требуемое число конденсаторов.
90
Рис. 73