Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
−
x
=
−
=
x
() ()
Sx Sx
02
Sx Sx
() ()
11
32 2
2 3 2
xx x x
−+ −
32
xx x
( )
−− −
x
=++ ,
αβ
11
211
339
1
2
2
x
−+
3
12
( )
−− +
2
xx
39
2 ( )
−+=−
9
2
2
Sx x
() 2
2
− .
9
2
() 1 1
Sx
0
() 3 9 ()
Sx Sx
11
x
=−+ ,
−+
9
2
xx x
3 2 2
−−
Sx Sx
Sx Sx
2
2
x
9
2
(3 27 )
xx x
−− +
27 225
22
25
(25 225)
225 ( )
x
x
−−
=−
Sx
2
() ()
13
() ()
22
αβ
x
=++ ,
22
−
Sx
3
Sx
( ) 27 225 225
1
() 2 2
Sx
2
x
=++
2
,
2
x
( ) 225Sx
3
−
.
9
Определим последовательность полиномов Штурма при нижнем
и верхнем пределах (0, )
322
000
xx==∞:
( ) 225, (0) 225, ( ) 225Sx S S=− =− ∞ =−
() 2, (0) 2, ( )Sxxx S S=−+ = ∞=∞,
32
21
Введение в синтез пассивных цепей
=
=
F
p
+
+
A
p
A
A
=
( ) 3 2 , (0) 0, ( )Sx x x S S=− = ∞=∞,
111
2
Sx x S S=− =− ∞=∞
222
( ) 225, (0) 225, ( ) 225Sx S S=− =− ∞ =−
322
Таким образом, число перемен знака
довательно, функция
Пример 3. Определить, является ли положительной вещественной
функция
Решение. Составим выражение
( ) (2 5 1)(2 6 4) (3 5 )(2 2 )
ppp pp pppp=++ ++−+ +=
При ω
При
ωx=
42 42 3 3
416 2416 4pp pp=+ + + +.
j=
2
() 2, (0) 2, ( )
2
9
,
1
n
a
()
p
является положительной вещественной.
432
()
Fp
=
2( 3 2)
86 42
286 42
(ω )4ω 16ω 24ω 16ω 4A =− + − +
23551
()41624164Axxxxx=− + −+.
43 2
ppp
+++
43 2
pp pp
+++
mm nn−.
12 12
n
b
.
.
,
.
,
1
nn−=
ab
. Сле-
0
Известно, что на любом этапе любые из полиномов Штурма могут
быть умножены на положительную постоянную, что не влияет на результаты проверки. Умножим ()
() () 4 6 4 1
xSxx x x x==−+−+.
() () 4 12 12 4Sx S x x x x
10
Чтобы получить
4 6 4 1 4 12 12 4
xxxx x x x
(33 )
xxxx x
−− + − −
2
432 3 2
−+−+ − +−
432
x на 0,25, получим
0
′
==−+−.
()Sx, осуществим деление
432
32
01
11
()/ ()Sx Sx:
44
3 3 1
( 3 3 1)
32
xxx
−+ −+
32
xxx
−− + − +
,
0
() 1 1
Sx
0
() 4 4
Sx
1
− .
x
22
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
=
x
=
A
F
Процесс образования полиномов Штурма заканчивается преждевременно. Таким образом,
() 4( 3 3 1)Sx x x x
1
32
−+−
представляет собой общий множитель
32 2 2 3
331[(21)(21)](1)xxx xxx xx x−+−= −+−−+=−.
Это значит, что
ние
полином ()
а функция
() 0Sx= имеет корень кратности 3 при 1
0
x не является неотрицательным в интервале 0x≤≤∞,
()
p
(1)x − является сомножителем 0()Sx, т. е. уравне-
не является положительной вещественной.
3
в правой полуплоскости,
23
M
M
=
Z
H
=
H
p
=
p
=
=
Введение в синтез пассивных цепей
3. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
3.1. Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции
Убедившись, что заданная функция ()Fp удовлетворяет условиям
физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника,
входной функцией которого она является. К настоящему времени разработано большое количество методов синтеза пассивных цепей, чаще всего
используются два из них: первый − метод разложения входной функции на
сумму простейших составляющих (метод последовательного выделения
полюсов
и постоянной) и второй − метод представления входной функции
в виде непрерывной дроби.
1. Метод последовательного выделения полюсов и постоянной
Сущность метода состоит в разложении функции ()Fp на простые
составляющие, реализацию которых можно определить непосредственно
по их виду.
()
Пусть
деления ()/ ()
()
Fp
=
pNp дает
p
()
Np
имеет полюс в бесконечности. Тогда один шаг
() ()Fp H p F p
⋅+
, где H− положительная
1
вещественная величина. Таким образом, выделяется полюс в бесконечности.
Если () ()Fp Zp= − сопротивление двухполюсника, то
() ()
pHpZp=⋅+
() ()Fp Yp= − проводимость, то
и
1
p⋅ − сопротивление индуктивности; а если
() ()Yp H p Yp
⋅+ и
1
p⋅ − проводи-
мость емкости.
Если знаменатель функции ()Fp имеет корень 0
, то в разложе-
нии на простые дроби имеется член
Mp k
() ()
Fp F p
==+
Np p
где
k – вычет функции ()Fp в полюсе 0
0
При () ()Fp Zp= = сопротивлению член
последовательно включенную емкость, при () ()Fp Yp
/kp − соответствует параллельно включенной индуктивности. Таким об-
0
0
()
()
/kp и
0
,
1
.
представляет собой
/kp
0
− проводимости
разом, выделяется полюс в начале координат.
24
3. Синтез двухполюсников
p
=
p
=
=
R
−
Если ()Fp имеет простой полюс на мнимой оси ω
j
± , то
k
() () ()
Fp Fp Fp
k − вычет в полюсе ω
где
k
=++=+
pj pj
−+
При () ()Fp Zp= − сопротивлении
− сопротивление параллельно соединенных
При () ()Fp Yp= − проводимости
− проводимость последовательно включенных
Если число пар сопряженных полюсов функции ()Fp q , то и парал-
kk kp
kk k
ωω
kk
j=± .
k
21
kp
k
22 2 2
pp
+
=
ωω
kk
11
+
22
kp kp
kk
2
22
ω
p
+
k
−
1
C
= и
k
2
k
k
21
kp
k
22 2 2
pp
+
=
ωω
kk
22
+
kp kp
kk
−
1
L
= и
k
2
k
k
,
2
L = .
k
ω
2
C = .
k
ω
k
k
2
k
k
k
2
k
лельных или последовательных контуров также q .
После выделения из функции ()Fp полюсов на мнимой оси остается
функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости в зависимости от того, что представляет собой
()Fp − сопротивление или проводимость.
В частном случае может остать-
ся положительная постоянная величина, которая реализуется последовательным активным сопротивлением, если () ()Fp Zp
активным сопротивлением, если () ()Fp Yp
.
, или шунтирующим
Следует отметить, что величина этого сопротивления
kFj=≤ , так как разность
min Re ( ω)
() ()Fp k F p
вещественная функция (если min Re ( ω)kFj> , то
=
Re ( ω)Fj станет отрица-
− положительная
1
1
тельной для некоторых частот, а это значит: ( )Fp не будет положительной
вещественной функцией).
Если же оставшаяся функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости имеет все нули и полюсы, лежащие на вещественной отрицательной полуоси, то двухполюсник,
25
Введение в синтез пассивных цепей
R
обладающий такой входной функцией, реализуется совокупностью
L
или
RC-элементов.
Таким образом, каждое выделение полюса понижает сложность
входной функции, и в конце концов эта функция будет исчерпана полностью, в результате получается одна из двух схем (рис. 3).
а
б
Рис. 3
Схемы рис. 3 называются первой и второй каноническими схемами
Фостера. Любая из них содержит минимальное количество реактивных
элементов, которое необходимо для построения заданной частотной зависимости входного сопротивления или входной проводимости.
2. Метод представления входной функции
в виде непрерывной дроби
Представление входной функции в виде непрерывной дроби дает
возможность построения канонических схем в виде цепной или лестничной схемы (рис. 4).
26
3. Синтез двухполюсников
Z
Z
M
−
+
+
=
p
Z
′
Z
′
p
=
Z
p
′
Очевидно, 1() () ()
pZpZp=+ ,
ab
1
=
()
Zp
ab
Yp
()
2
+
pZp
() ()
3
1
+
cd
и т. д.
1
() ()
Zp Z p
=+
1
Yp
()
2
+
Zp
3
()
+
Yp
4
1
1
++
() ...
1
Yp
()
n
.
Рис. 4
Для построения лестничной схемы следует представить входную
функцию в виде отношения полиномов, не разложенных на множители:
1
110
−
−
++ +
1
−
...
110
++ +
.
+ , то имеется
Если функция () ()Fp Zp= − сопротивление и 1nm
полюс при
nn
nn
mm
bp b p bp b
mm
()
Fp
() ...
papap apa
==
()
Np
=∞, который устраняется одним шагом деления числителя на
знаменатель:
M
1( )
p
()
Np
∞, обратная ей функция
′
()
Yp
1
Функция
1
=
имеет при
′
()
p
1
() ()
pAp ApZp
=+ =+ .
111
обращается в нуль при
()
p
1
=∞ простой полюс и после выделения целой
части может быть представлена в виде суммы двух функций:
′
=+ .
() ()Yp Ap Y p
122
27
Введение в синтез пассивных цепей
Z
′
A
A
A
=
A
=
A
A
A
p
p
p
=
−
B
Поступая аналогично, находим
′
() ()
pApZp
233
1
==+
′
()
Yp
2
Повторяя подобные преобразования
() ()
Zp Ap
=+
1
Ap
()
2
+
Очевидно, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 4),
если
() ()
pZp= ,
11
() ()
pYp=,
22
() ()
pZp
33
() ()
pYp=, …, ( ) ( )
44
Описанный процесс деления и обращения (инверсии) идентичен методу проверки полиномов Гурвица.
Возможен второй вариант разложения в непрерывную дробь по па-
1
раметру
, при котором устраняется полюс функции в точке 0
Ap
()
3
.
n раз, получим
1
1
+
Ap
4
, …,
() ...
1
++
() ()
pZ p
11
nn
−−
pYp=.
nn
1
p
()
n
.
,
= . Раз-
делив числитель и знаменатель функции ()Fp на
получим
()
Fq
21
aaqaq ap aq
++ + +
nn n
=
bq b q bq bq
mm
−−
12 1 0
−−+ −
nm nm n n
++++
−
110
...
11
...
nn
Если () ()Fq Zq= − сопротивление, то разложение в цепную дробь
дает
1
() ()
=+
Zq B q
1
()
2
+
Bq
()
3
+
Bq
1
Bq
() ...
4
++
Как и в первом варианте, двухполюсник эквивалентен приведенной
схеме (рис. 4) при
n
и обозначив
.
1
1
q
()
n
1
,
q
p
.
28
3. Синтез двухполюсников
B
B
B
B
B
B
p
Z
p
R
p
=
Z
R
=
p
B
() ( )
qZp
11
1
== ,
p
() ( )
qZp
33
B
3
== , …,
p
() ( )
nn
−−
11
B
1
n
qZp
−
== ,
p
B
() ( )
qYp
22
2
==
p
,
() ( )
44
B
qYp
4
==
, …,
p
() ( )
qYp
==
nn
Соответствующие двум вариантам разложения цепные схемы называются первой и второй каноническими схемами Кауэра.
3.2. Свойства и реализация входных функций LC-двухполюсников
Функция входного сопротивления двухполюсника без потерь (LC )
записывается в виде
VV
где
0F ≡ − энергетическая функция, характеризующая потери в сопро-
0
тивлениях.
Нули сопротивления ()
Учитывая, что
Zp F pT pT
σω
00 0
p
pj
, получим
j=+
=+ += +
()
00
V
=± находятся на мнимой оси.
0
T
0
,
p
B
n
.
p
VV V
Zp j T T j T
=+ + = + + − =
() (σω)(σ )(ω )
00 0
00 0
j
+
σω
(σ,ω)(σ,ω)
Наибольший интерес представляет случай ω
jjX=, (σ, ω)0
( ω)(ω)
σω
22 22
++
σω σω
jX=+ .
j
( σ 0= )
.
Аналогично для функции входной проводимости () 1/ ()Yp Zp= при
j= :
ω
() (σ,ω)(σ,ω)(ω)Yp G jB jB=+ =.
Таким образом, входные функции LC-двухполюсников являются
реактансными, т. е. имеющими нули и полюсы только на мнимой оси.
Одним из важнейших свойств входных функций является положительный наклон графиков их частотных зависимостей. Действительно, на
основании условий Коши-Римана необходимыми и достаточными усло-
29
Введение в синтез пассивных цепей
+
x
=
∂∂=−∂
Z
B
Z
Z
p
Z
p
=
p
=
M
M
M
M
M
M
виями того, чтобы функция ( )ujvfxjy
=+ была аналитической, явля-
ются
uv
∂∂
,
∂∂
y
uv
,
yx
∂
и чтобы эти частные производные в рассматриваемой области были непрерывны.
Для () (σ,ω)(σ,ω)
Из монотонного нарастания (ω)X и (ω)
люсы функций ()
pR jX=+
(σ,ω)(σ,ω)
RX∂∂
∂∂
XdXdV V
(σ,ω)(ω) ω
∂
== − =+>
ωωω
∂
==
σ 0 σ 0
dd
=
,
σω
TT
(ω )0
00
00
22 2
σω ω
+
.
следует, что нули и по-
p и ()Yp чередуются. Это свойство называется разде-
лительным.
Простые и сопряженные полюсы и нули на мнимой оси обусловлены
сомножителями в числителе и знаменателе ()
. Кроме того, независимо от вида и сложности, LC-цепь ведет себя как
и
p или ()Yp вида
22
( ω )
p +
k
одиночная индуктивность или как одиночная емкость на очень низких и
очень высоких частотах, а это значит, что функции ( )
p и ()Yp всегда
имеют полюс или нуль при 0
и
∞. Следовательно, высшая и низ-
шая степени полиномов числителя и знаменателя входных функций двухполюсника должны отличаться на единицу.
Таким образом:
⎧⎫
Zp p p
() ( ω )( ω )...
==⋅
()
⎨⎬
Yp
()
⎩⎭
ω , ω ,... − полюсы −
24
p − четный, то полином ()Np − нечетный, и на-
где
ω , ω ,... − нули:
13
Если полином ()
Fp H
оборот, если ()Np − четный, то ()
2222
++
13
2222
++
pp
( ω )( ω )...
24
0 ω <ω <ω <ω <...≤
1234
p − нечетный.
,
Следует отметить, что в зависимости от наличия внешних нулей
и полюсов возможны четыре варианта входных функций двухполюсника
(рис. 5).
а) степень ()
б) степень ()
в) степень ()
г) степень ()
p меньше степени ()Np, в числителе сомножитель p;
p больше степени ()Np, сомножитель p в числителе;
p больше степени ()Np, сомножитель p в знаменателе;
p меньше степени ()Np, сомножитель p в знаменателе.
30