Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
Введение
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
В. И. Вепринцев
ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ
ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов
Российской Федерации по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению 210400 «Радиотехника» (рег. № 1033/21 от 16.06.2014 г.)
Красноярск
СФУ
2014
1
Введение в синтез пассивных цепей
УДК 621.372.512.3(07)
ББК 31.211.61я73
В20
Вепринцев, В. И.
В20 Введение в синтез пассивных цепей : учеб. пособие / В. И. Ве-
принцев. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2014. – 120 с.
ISBN 978-5-7638-3078-1
Рассмотрены свойства входных и передаточных функций цепей, критерии
и методы реализации пассивных двухполюсников и четырехполюсников. Основные положения теории синтеза подтверждены примерами расчета конкретных электрических цепей и проиллюстрированы рисунками и графиками.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 210400.62 «Радиотехника» и 210700.62 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» специальности 210601.65 «Радиоэлектронные системы и комплексы».
Электронный вариант издания см.:
http://catalog.sfu-kras.ru
ISBN 978-5-7638-3078-1 © Сибирский федеральный
университет, 2014
УДК 621.372.512.3(07)
ББК 31.211.61я73
2
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Современная система передачи и обработки информации представ-
ляет собой ряд устройств, каждое из которых выполняет определенные
операции над сигналами, такие, например, как выделение их из смеси
с помехами, разделение сигналов различных источников информации,
преобразование формы сигналов и т. д. Все эти операции выполняются
с помощью электрических цепей с соответствующими характеристиками
Примерами таких цепей являются различные фильтры с требуемыми
характеристиками передачи, корректирующие согласующие цепи, используемые в совокупности с активными элементами, фазовращатели, цепи
обратной связи в усилителях, следящих системах, цепи формирования сигналов сложной формы и др.
Важнейшей задачей, возникающей при проектировании радиоаппа-
ратуры, является задача построения электрических цепей с заданными
характеристиками – задача синтеза цепей по заданным частотным или
временным характеристикам, т. е. обратная задача теории цепей. Результатом решения задачи синтеза является физически осуществимая электрическая цепь, состоящая из элементов с вещественными положительными
параметрами, сопротивлений R, емкостей C, индуктивностей L (или вза-
имных индуктивностей M), в задаче синтеза активных цепей – так же
висимых источников. Задача синтеза имеет неоднозначное решение,
поскольку одни и те же заданные характеристики могут быть реализованы
несколькими различными цепями. Следует отметить, что не для всякой
функции, описывающей заданную характеристику, может быть найдена
физически реализуемая цепь, в этом случае задача синтеза вообще не имеет
решения.
В зависимости от
того, в какой форме задана требуемая характери-
стика, процесс синтеза может быть разбит на три этапа.
Первый этап заключается в установлении необходимых и достаточ-
ных условий, которым должны удовлетворять функции, выражающие
заданные характеристики электрических цепей, т. е. условий, характеризующих возможность построения хотя бы одной физически реализуемой
цепи с заданными свойствами
.
Второй этап сводится к нахождению функции, удовлетворяющей
условиям физической реализуемости и с требуемой точностью воспроизводящей заданную характеристику. Часто требуемая характеристика задана
в виде таблицы, графика функции или в виде функции, не удовлетворяющей условиям физической реализуемости цепи. В этих случаях возникает
задача воспроизведения заданной характеристики (частотной или времен-
.
и за-
3
Введение в синтез пассивных цепей
ной) с требуемой точностью с помощью функций, удовлетворяющих условиям физической реализуемости. Это задача аппроксимации, относящаяся
к области математики и решаемая её методами.
Третий этап состоит в отыскании электрических цепей, обладающих
характеристиками, найденными в результате решения задачи аппроксимации, и выборе одной из них для практического осуществления, т. е. решение
задачи реализации электрической цепи.
4
I
I
Z
Z
Z
Z
p
E
1. Свойства входных функций пассивных цепей
1. СВОЙСТВА ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
Поведение цепи (в области комплексного переменного р) описывается некоторыми функциями, определяемыми отношением изображения по
Лапласу реакции цепи к изображению по Лапласу воздействия при нулевых начальных условиях.
Если к входным зажимам цепи
(рис. 1) подключить источник тока,
то реакцией будет напряжение и
функцией цепи будет входное сопротивление
()
()
Zp
Up
=
p
()
.
Рис. 1
Если же источником воздействия является напряжение, то функцией
цепи будет входная проводимость
()
p
()
Yp
=
Up
.
()
1
Очевидно, что
()
Yp
=
p
()
.
Поскольку любая сложная цепь может быть рассмотрена как совокупность двухполюсников, рассмотрим входные функции многоэлементных двухполюсников.
Если двухполюсник является многоконтурной цепью, то согласно
методу контурных токов
()() () () ... () () (),
⎧
⎪
⎪
pI p Z pI p Z pI p E p
11 1 12 2 1 11
()() () () ... () () (),
pI p Z pI p Z pI p E p
21 1 22 2 2 22
⎨
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
⎪
⎪
()() () () ... () () (),
pI p Z pI p Z pI p E p
ik n nn n nn
⎩
+++=
+++=
+++=
122
nn
nn
где
(при i = k) сопротивление контуров;
ZRpL
=+ + – операторное взаимное или собственное
ik ik ik
C
ik
– изображение по Лапласу кон-
ii
турной ЭДС.
1
5
Введение в синтез пассивных цепей
I
Δ
Δ
Δ
Z
Z
Z
I
p
Δ
p
Δ
p
p
Δ
p
p
Δ
p
Δ
p
Δ
Z
−
p
p
Решая систему уравнений относительно тока
()
p , получим
1
1
=
,
Δ – определитель системы;
где
()Ip
1
– определитель, полученный из опреде-
1
лителя системы заменой первого столбца правыми частями уравнений.
ZZ EZZ
11 12 1 11 12 1
ZZ EZZ
Δ= Δ =
21 22 2 22 22 2
... ... ... ... ... ... ... ...
ZZ EZZ
n n nn nn n nn
12 2
... ...
... ...
nn
nn
, .
1
... ...
Если двухполюсник пассивен, то можно считать контур, в котором
находится генератор, – первым, а в остальных контурах источников нет, т. е.
() (), () () ... () 0.
Ep Ep Ep Ep E p=====
11 1 22 33
()
Δ
p
Тогда
pEp
() ()
11
11
=
p
Δ
()
, где
ние, полученное из определителя ()
()
11
вычеркиванием первой строки
nn
– алгебраическое дополне-
и первого столбца.
Следовательно,
Раскрывая определители ()
()
p и ()Yp как отношение двух полиномов с целыми степенями р и ве-
Zp
()
=
Δ
11
()
и
, а
Yp
()
()
11
()
()
11
=
Δ
.
()
, получим входные функции
щественными коэффициентами:
ap a p ap a M p
()
Zp
nn
===
bp b p bp b
mm
Корни полинома
nn
++++
mm
++++
′
p
М(р) являются нулями, а корни
k
1
−
110
−
110
... ( ) 1
−
1
...
() ()
Np Yp
.
p полинома
k
N(P) – полюсами функции Z(p). Представляя числитель и знаменатель
в виде произведения двучленов, можно записать Z(p) через нули и плюсы:
n
′
p
−
k
,
p
−
k
где
6
( )( )...( )
ap p p p p p
()
Zp H
a
n
= – коэффициент нормирования.
H
b
m
nnk
==⋅
( )( )...( )
bpp pp pp
mm
′′ ′
−− −
12 1
−− −
12
()
∏
=
m
()
∏
=
1
k
1. Свойства входных функций пассивных цепей
p
p
p
′
=
p
p
=
j
Z
Z
Z
+
I
Из этого выражения следует, что функция цепи имеет полюсы
при
pp≠≠≠. Если k полюсов равны между собой, тогда это полюс k-го
12
, ,...,
ppp pp== =. Все они являются простыми при условии
12
...
m
m
порядка (кратности).
Функция цепи имеет нули при
ются простыми, если
′′ ′
≠≠≠
12
...
pp
, если же k из нулей равны между со-
n
, ,...,
ppp pp
12
′′
==
. Они явля-
n
бой, то такой нуль имеет порядок k.
Следует отметить, что функция цепи определяется полностью и однозначно расположением и порядком её полюсов и нулей и величиной коэффициента Н.
на
При рассмотрении гармонических процессов
ω
, и тогда получим ( ω)
j и ( ω)Yj – частотные характеристики.
σω
j
+ заменяется
Как и всякое комплексное число,
( ω)Zj и ( ω)Yj могут быть пред-
ставлены в показательной форме:
φ(ω)
где (ω)
j
( ω)(ω)
Zj Z e=
,
( ω)(ω)
Yj Y e
=
и (ω)Y – амплитудно-частотные характеристики, φ(ω)– фазоча-
φ(ω)
j
−
,
стотная характеристика.
В этом случае нули и полюсы функций (ω)
и (ω)Y представляют
собой собственные частоты при замкнутых и разомкнутых зажимах.
Энергетические функции цепи
Система уравнений контурных токов может быть представлена
в матричной форме:
RR R I LL L I
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
11 12 1 1 11 12 1 1
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
RR R I LL L I
21 22 2 2 21 22 2 2
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
... ...
nn
nn
+
p
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
RR R I LL L I
12 12
nn nnn nn nn n
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
... ...
11 1
⎛⎞
⎜⎟
CC C
11 12 1
⎜⎟
11 1
⎜⎟
⎜⎟
+=
CC C
21 22 2
⎜⎟
... ... ... ...
⎜⎟
⎜⎟
11 1
⎜⎟
CC C
nn nn
12
⎝⎠
...
...
...
n
⎛⎞⎛ ⎞
111
⎜⎟⎜ ⎟
IE
1
222
⎜⎟⎜ ⎟
n
⎜⎟⎜ ⎟
... ...
p
⎜⎟⎜ ⎟
IE
nnn
⎝⎠⎝ ⎠
E
7
Введение в синтез пассивных цепей
R
D
∫
I
R
R
+
R
1
или
IpLI D I E
( )() ()() ( ) () ( )
++ =, где 1/
p
ik ik
C=.
Кроме того,
d
p
≡ и
dt
1
.
dt
≡
p
Если умножить каждое из уравнений системы на сопряженный ток
*
, то для k-го контура получим
k
nn n
∑∑∑
11 1
== =
ii i
** **
II p LII II E I
kiik kiik ik kkk
++ =
Просуммировав, левые и правые части n уравнений, получим
nn nn nn n
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
11 11 11 1
== == == =
ki ki ki k
** **
II p LII II E I
kiik kiik ik kkk
++ =
Правая часть последнего уравнения представляет собой полную
мощность, отдаваемую источниками.
Обозначив выражения
nn
FRII
=
∑∑
0
11
ki
==
nn
TLII
=
∑∑
0
11
ki
==
11
pC
ki
11
pC
*
ki i k
*
ki i k
ki
,
,
.
.
nn
11
==
1
C
VII
=
∑∑
0
ki
ki
*
ik
,
последнее уравнение можно записать в виде
1
+=,
p
ωj ) правая часть
где
FpT VS
00 0
, , FTV– энергетические функции.
00 0
В установившемся синусоидальном режиме (p=
этих уравнений представляет комплексную мощность, отдаваемую источ-
никами.
Энергетическая функция
ности потерь в сопротивлениях
T – удвоенное значение энергии, запасаемой в индуктивностях
0
2
(2 2)
LI
TW==
0
2
.
L
F приобретает значение удвоенной мощ-
0
2
(2)
F = .
0
I
2
8
1. Свойства входных функций пассивных цепей
+
(
)
E
(
)
I
I
Z
I
⋅
I
=
I
p
=
2
V – умноженное на
0
в ёмкостях
22
(2ω 2ω )
ICU
VW
== = .
0
C
ω
удвоенное значение энергии, запасаемой
22
2
C
Таким образом, последние уравнения выражают баланс мощностей
в цепи – в левой части имеем активную и реактивную мощность, потребляемую цепью, в правой – полную мощность, отдаваемую источниками
V
0
FjT S
ω()
00
−=
ω
2
.
Из физического смысла энергетических функций следует, что они могут
принимать только вещественные положительные значения
Для пассивного двухполюсника матрицы
и
, , FTV > 0.
000
содержат по од-
ному элементу Е(р) и I(p). Тогда уравнение баланса мощностей принимает
вид
Если разделить обе части этого уравнения на
FpT
Деление на
2
двухполюсника током
Поскольку
2
можных р,
, , FTV
00 0
– положительна, то:
V
FpT EI
++=
00
0
p
*
.
*
2
II⋅= , то получим
++
00
p
2*
I
0
*
EI Ep
⋅
== =
I
()
()
Ip
()
p
.
V
можно считать нормированием. При возбуждении
1I =
Zp F pT
() ( )
=+ +
00
0
p
.
2
I
1
V
– вещественные неотрицательные при всех воз-
а) Z(p) вещественно при вещественном р.
Действительно,
1
Re ( ) Re ReZp F T p V
V
FT p p p j p p
=+ + =− = ;
00
Re Re , ( σω, Re Re )
0
++ =
00 0
** *
2
p
9
Введение в синтез пассивных цепей
Z
p
R
p
=
p
б) Re ( ) 0
p ≥ при Re 0p≥ .
Аналогично для () 1/ ()Yp Zp= :
а) ( )Yp вещественна при вещественном р;
б) Re ( ) 0Yp≥ при Re 0
≥ .
Действительно,
11 1
По определению, (σ, ω)0
≥ .
Re 0
Yp
== = =
()
Zp Z j R jX
() (σω)(σ,ω)(σ,ω)
(σ,ω)(σ,ω)
=−
RX RX
RX
22 22
(σ,ω)(σ,ω)(σ,ω)(σ, ω)
++
++
j
≥ при σ 0> , поэтому Re ( ) 0Yp≥ при
Функции, удовлетворяющие требованиям пп. (а) и (б), называются
положительными вещественными функциями (ПВФ).
Таким образом, входные функции пассивных двухполюсников положительны и вещественны.
Нулями функций двухполюсника являются значения р, при которых
Z(p) = 0, откуда
V
() 0
Zp F pT
=+ +=
00
0
p
и
p
1,2
FFV
000
−± −
TTT
22
000
.
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
а б в г
Рис. 2
Из этого выражения нельзя непосредственно получить значения
так как
, , FTV
00 0
сами являются функциями р. Однако можно сделать сле-
дующие выводы.
1,2
,
10