Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
3. Синтез двухполюсников
Z
Z
p
Z
L
Наиболее простыми цепями, реализующими заданную входную ре-
актанстную функцию, являются канонические цепи Фостера и Кауэра.
а б
в г
Рис. 5
Первая цепь Фостера получается при разложении входного сопротивления на сумму простых дробей, число которых определяется числом
полюсов ()
p :
()
Zp H p
=⋅+ +
q
∑
k
=
p
1
2
k
22
.
ω
+
k
kkp
0
p
Коэффициенты разложения (вычеты) определяются:
()
lim
H
= ,
p
→∞
lim[ ( ) ]
kZpp
=⋅,
0
0
p
→
Суммированию простых дробей ()
p
2lim[ ]
k
= .
k
22
p
ω
→−
p соответствует последова-
k
тельное соединение реализующих простых элементов
()( ω )
Zp p
k
,
22
+
k
p
и параллель-
C
0
ных контуров.
31
Z
L
=
Z
L
=
Z
L
Z
L
Z
Z
Полная реализация двухполюсника в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.
Наличие внешних нулей и полюсов функции ()
Введение в синтез пассивных цепей
Рис. 6
p определяет нали-
чие в цепи индуктивности
H= и емкости
1/Ck
00
. Если функция ()
p
имеет два внешних нуля (частотная характеристика вида рис. 5, а), то в цепи отсутствуют индуктивности
и емкости
; если ()
C
0
p имеет два
H
внешних полюса (частотная характеристика вида рис. 5, в), то индуктив-
H=
ность
и емкость
нуля и полюса у ()
присутствует один из элементов: либо
C в цепи имеются. При наличии одного внешнего
0
p (частотные характеристики вида рис. 5, б, г) в цепи
, либо 0C .
Пример 1. Реализовать первую цепь Фостера для функции
22 42 4
10 ( 4 10 )( 8 10 )
()
Zp
=
pp p
24242 4
( 210)( 610)( 1010)
ppp
+⋅ +⋅ + ⋅
+⋅ +⋅
.
Решение. Построим график, показывающий частоты нулей и полюсов входного сопротивления, − характеристическую строку двухполюс-
ника.
Нули ()
p при
полюсы при
ω =0, ω =2×10 , ω =8×10, ω = ∞ ,
13 5 3
ω 210, ω 610, ω 10 10=⋅ =⋅ = ⋅
246
22 2
22
.
Частотная зависимость
Разложение ()
32
p на простые дроби дает:
Zp
=++
()
(ω)Z имеет вид рис. 7.
kp kp kp
222
246
22 22 22
ppp
+++
ωωω
246
.
3. Синтез двухполюсников
=
=
=
Следовательно, в канонической цепи имеется три параллельных колебательных контура (рис. 8) с резонансными частотами
Рис. 7
ω , 4ω , 6ω .
2
Рис. 8
Определим элементы контуров:
1()(ω )
2lim[ ]
k
==
k
22
p
Cp
k
110(410)(810)(210)3001
lim [ ] [ ]
==
24
210
p
C
2
→− ⋅
1 10 ( 410)( 810)( 610)
lim [ ] 25
==
24
p
C
4
→− ⋅
1 10 ( 4 10 )( 8 10 )( 10 10 ) 300 1
lim [ ] [ ]
==
24
1010
p
C
6
→− ⋅
22 42 42 4
pp p p
+⋅ +⋅ +⋅
24242 4
+⋅ +⋅ + ⋅
( 210)( 610)( 1010)
pppp
22 42 42 4
pp p p
24242 4
( 210)( 610)( 1010)
pppp
+⋅ +⋅ + ⋅
2 2 42 42 4
pp p p
( 210)( 610)( 1010)
pppp
+⋅ +⋅ + ⋅
24242 4
+⋅ +⋅ + ⋅
2
610
0,0267 ФC
→−
+⋅ +⋅ +⋅
,
4
Zp p
ω
k
0,04 ФC
22
+
,
6
k
,
,
8 Ф
,
.
8 Ф
0,0267 ФC
.
33
Введение в синтез пассивных цепей
⋅
⋅
+
2
Индуктивности
k
ω
k
2
k
L = ,
k
L
2
300
==⋅
8210
⋅
1,88 10 Гн
4
3
−
,
25
L
==⋅
4
610
⋅
0, 42 10 Гн
4
3
−
,
L
6
Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби
функции входной проводимости ()Yp.
Пример 2. Реализовать двухполюсник, если его входная проводи-
мость
32 62 62 6
−
Yp
()
10 ( 210)( 610)( 1010)
=
ppp
+⋅ +⋅ + ⋅
2626
pp p
(410)(810)
+⋅ +⋅
Решение. Функция ()Yp имеет полюсы при
33
(ω)Y имеет вид рис. 9.
нули при
Частотная зависимость
ω =0, ω =2×10 , ω =8×10, ω=∞,
02 4
ω =2×10, ω =6×10, ω 10 10=⋅ .
135
33 3
300
==⋅
81010
⋅
0,375 10 Гн
4
3
−
.
.
Рис. 9
Разложение ()Yp на простые дроби:
Yp H p
=⋅+ + +
()
kkp kp
01 3
p
22
2626
pp
410 810
⋅+⋅
.
Вторая схема Фостера имеет вид рис. 10.
Определим элементы цепи:
()
Yp
CH
== = ,
34
lim[ ] 10 Ф
→∞
p
p
3
−
3. Синтез двухполюсников
=
⎡
⎢⎥⎣
⎡
⎢⎥⎣
p
Z
Z
Z
1
lim[()]
kYpp
==
0
2
p
→
L
0
32 6 2 6 2 6
−
10 ( 2 10 )( 6 10 )( 10 10 ) 18 1
lim [ ] 10 [ ]
==⋅
2
0
p
→
pppp
+⋅ +⋅ + ⋅
2626
pp p
+⋅ +⋅
(410)(810)
0,22 10 ГнL−=⋅
0
0
3
,
4 Гн
3
,
1()(410)1
==⋅
lim [ ] 2 10
26
p
Lp
→− ⋅
1
1()(810)1
lim [ ] 1,5 10
==⋅
26
p
Lp
3
C
1
→− ⋅
k
2210
1
== =⋅
26
ω 410
2
410
810
⋅
⋅
Yp p
Yp p
3
Первая каноническая цепь Кауэра получается последовательным выделением полюсов при
26
+⋅
26
+⋅
3
0,5 10 Ф
−
,
Рис. 10
=∞.
Гн
Гн
⎤
,
0,5 10 ГнL−=⋅ ,
1
⎦
⎤
,
0,67 10 ГнL−=⋅ ,
3
⎦
3
⋅
0,187 10 Ф
⋅
3
3
k
21,510
C
3
3
== = ⋅
26
ω 810
4
3
3
3
−
.
Пример 3. Реализовать цепь Кауэра первого типа для функции вход-
ного сопротивления
22 42 4
pp p
Zp
()
=
10 ( 4 10 )( 8 10 )
24242 4
+⋅ +⋅ + ⋅
ppp
( 210)( 610)( 1010)
Решение. Представим ()
25 63 10
Zp
Поскольку ()
=
()
p не имеет полюса в бесконечности, то в первой схеме
Кауэра отсутствует элемент
10 12 10 32 10
64482 12
+⋅ +⋅ + ⋅
ppp
18 10 92 10 120 10
1
ет полюс в бесконечности, выделяя который, получим элемент цепи
+⋅ +⋅
.
p в виде отношения полиномов:
+⋅ +⋅
pp p
.
()
p . Обратная функция () 1/ ()Yp Zp= име-
()Yp
2
:
35
Введение в синтез пассивных цепей
p
p
p
=
Z
p
p
p
p
⋅
p
64482 12256310
18 10 92 10 120 10 10 12 10 32 10
−+⋅ +⋅ +⋅ = =
6 10 60 10 120 10
+⋅ +⋅ + ⋅ +⋅ +⋅
644 82 12-2
( 18 10 92 10 120 10 ) 10 ( )
ppp pYpCp
pp pp p
22
44 82 12
⋅+⋅+⋅
pp
От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию:
25 63 10
′
()=
Zp
′
()Zp
имеет полюс при
25 63 10 44 82 12
10 12 10 32 10 6 10 60 10 120 10
pp ppp
+⋅ +⋅ ⋅ +⋅ + ⋅
10 12 10 32 10
6 10 60 10 120 10
⋅+⋅+⋅
+⋅ +⋅
44 82 12
pp
∞, выделяя который, получим
pp
.
()
p :
3
.
25 63 10 -2
(10 12 10 32 10 ) 10 ( )
−+⋅+⋅ ==
pp ppZpLp
2 10 12 10
Следующий шаг обращения и выделения полюса дает следующий
элемент цепи
610 6010 12010 210 1210
−⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = =
(6 10 60 10 120 10 ) 3 10 ( )
24 10 120 10
и т. д.
1
6
63 10
pp
⋅+⋅
()Yp:
4
44 82 12 63 10
⋅+⋅+⋅ ⋅+⋅
44 82 12 -2
6 3 10 8 2 12
⋅+⋅ ⋅+⋅
2 10 12 10 24 10 120 10
−⋅ + ⋅ ⋅ = =
(2 10 12 10 ) 10 ( )
ppp
63 10 -2
ppp
ppYpCp
82 12
p
⋅+⋅
1
ppZpLp
12
10
2 10
⋅
p
33
44
55
.
.
82 12 10
24 10 120 10 2 10
(24 10 120 10 ) 12 10 ( )
−⋅ + ⋅ ⋅ = =
120 10
pp
⋅+⋅ ⋅
82 12 -2
12
10 12
p
⋅⋅
210 12010
(2 10 ) 10 ( )
−⋅ ⋅ = = .
10 -2
1
pZp Lp
60
pYp Cp
66
77
,
0
36
p
p
Z
Z
p
p
Z
p
p
p
Z
′
p
=
Z
Таким образом, первая схема Кауэра имеет вид рис. 11.
Возможен второй вариант разложения входной функции в цепную
дробь по параметру 1/
3. Синтез двухполюсников
Рис. 11
, при котором последовательно выделяются по-
люсы при 0
= . В этом случае реализуется каноническая цепь Кауэра вто-
рого типа.
Пример 4. Реализовать цепь Кауэра второго типа для функции вход-
ного сопротивления
25 63 10
+⋅ +⋅
pp p
()
=
Zp
Решение. Разложим ()
числителя и знаменателя по возрастающим степеням. Поскольку ()
имеет полюса при 0
имеется полюс при 0
менателя ()
120 10 92 10 18 10 32 10 12 10 10
(120 10 45 10 3,75 10 ) ( )
−⋅+⋅ + ⋅ + = =
47 10 14, 25 10
p на полином числителя, получим элемент цепи 2()Yp:
12 8 2 4 4 6 10 6 3 2 5
⋅+⋅ +⋅ + ⋅ +⋅ +
12 8 2 4 4 6
82 44 6
ppp
⋅+⋅+
10 12 10 32 10
64482 12
+⋅ +⋅ + ⋅
ppp
18 10 92 10 120 10
.
p в цепную дробь, расположив полиномы
p не
= , то возьмем функцию () 1/ ()Yp Zp=, у которой
= . Выделяя первый полюс делением полинома зна-
pp p p p
375 1
pppYp
pLp
2
2
.
От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию
10 63 25
⋅+⋅ +
′
()=
Zp
Функция
()
p :
3
имеет полюс при 0
()
p
32 10 12 10 10
47 10 14,25 10
82 44 6
⋅+⋅+
pp
.
pp
, выделяя который, получим
37
Введение в синтез пассивных цепей
p
p
=
Z
p
p
p
p
10 63 25 82 44 6
32 10 12 10 10 47 10 14, 25 10
⋅+⋅ + ⋅ +⋅ +
pp p pp
−⋅ +⋅ + = =
(32 10 9,7 10 68 ) ( )
2,3 10 32
Продолжая операции обращения и выделения полюсов при 0
получаем ()
()
Zp
p в виде цепной дроби:
=
11
2,7 10
⋅
Соответствующая вторая схема Кауэра имеет вид рис. 12.
10 6 3 5
pppZp
63 5
pp
⋅+
68 1
pCp
3
1
+
3
−
p
11
0,015
+
p
11
⋅
0,5 10
+
3
−
p
11
⋅
33,3 10
+
3
−
p
26 10
3
11
⋅
+
3
−
p
1
0,5
.
,
.
Рис. 12
Наряду с рассмотренными каноническими схемами возможны и другие типы схем, которые получаются как комбинации цепей Кауэра первого
и второго типов, а также комбинации цепей Фостера и Кауэра. Одним из
наглядных примеров является одновременное выделение полюсов при
=∞ и 0
= , что эквивалентно процессу деления для высших степеней
деления для низших степеней, последующего получения обратной функции и повторения того же цикла.
Пример 5. Реализовать двухполюсник цепями Кауэра двух типов по
функции входного сопротивления:
36 34 92 15
−
38
()
Zp
10 18 10 92 10 120 10
=
+⋅ +⋅ + ⋅
pp p
56312
12 10 32 10
+⋅ +⋅
pp p
.
,
3. Синтез двухполюсников
Z
p
=
p
p
p
Z
p
p
p
p
=
p
=
p
p
Решение. Функция ()
p имеет полюс при
∞, выделяя который,
получим
36 34 92 15 5 63 12
−
10 18 10 92 10 120 10 12 10 32 10
(10 12 10 32 10 ) 10
−+⋅+⋅
+⋅ +⋅ + ⋅ +⋅ +⋅
36 34 92 3
−−
ppp p
pp pp p
.
6 10 60 10 120 10
Z( ) ( 10 Гн)ppLL
==
111
имеющий полюс при 0
степеней полиномов числителя и знаменателя ()
120 10 60 10 6 10 32 10 12 10
−⋅+⋅ + ⋅ =
⋅+⋅ +⋅ ⋅ +⋅ +
(120 10 45 10 3,75 10 ) ( )
34 92 15
pp
⋅+⋅+⋅
3
−
′
Zp
, а также остаток от деления
34 92 15
()
610 6010 12010
=
pp
⋅+⋅+⋅
56312
12 10 32 10
+⋅ +⋅
pp
= . Выделим этот полюс делением для низших
p′:
15 9 2 3 4 12 6 3 5
15 9 2 3 4
pp Zp
pppp
3,75 10
3
⋅
p
92 34
⋅+⋅
pp
3
−
где
15 10 2,25 10
′
( ) ( 0, 267 10 Ф)Zp C
11
1
==⋅.
pC
1
Функция, обратная полученному остатку, является проводимостью
,
′
1
,
()
Yp
и также имеет полюсы при
Выделим полюс
56312 3492
12 10 32 10 2,25 10 15 10
+⋅ +⋅ ⋅ +⋅
563 3
( 6,67 10 ) 0,44 10 ( )
pp pYp
−+ ⋅ ⋅ =
5,33 10 32 10
=∞ из ()Yp:
pppp
63 12
⋅+⋅
() ( 0,4410Ф)Yp pC C
222
56312
12 10 32 10
+⋅ +⋅
=
2,25 10 15 10
⋅+⋅
∞ и 0
pp
34 92
p
.
−
pp
3
==⋅.
−
,
2
.
39
Введение в синтез пассивных цепей
p
′
p
p
p
′
Выделим полюс 0
= из остатка ()Yp
:
32 10 5,33 10 15 10 2,25 10
(32 10 4,8 10 ) ( )
−⋅ +⋅ =
0,53 10
12 6 3 9 2 3 4
⋅+⋅ ⋅ +⋅
12 6 3
pp Yp
⋅
′
() ( 0,4710Гн)Yp L
==⋅.
22
Lp
pp p
63
p
1
2
2130
p
′
2
3
.
Далее повторим цикл для функции, обратной последнему остатку
2,25 10 15 10 0,53 10
(2,25 10 ) 4, 24 10 ( )
−⋅ ⋅ =
15 10
34 92 63
pp p
⋅+⋅ ⋅
34 3
92
p
⋅
Z( ) ( 4,2410 Гн)ppLL
==⋅.
333
−
pZp
3
−
,
3
15 10 0,53 10
−⋅ = ,
0
Таким образом, получаем схему, имеющую заданное входное сопротивление в виде рис. 13.
92 63
⋅⋅
pp
3
⋅
1
3
28,3 10
p
Рис. 13
Zp
3
6
−
15 10 ( )
′
33
92
==⋅.
() ( 35,310 Ф)Zp C
pC
40