Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
3. Синтез двухполюсников
p
=
Z
=
Z
p
=
H
H
Z
Z
=
=
Z
3.3. Свойства и реализация входных функций RC-двухполюсников
Функция входного сопротивления RC-двухполюсников
V
()
Zp F
+
0
0
(
0T ≡− отсутствуют индуктивности). Нули ()
0
рять условию
V
0
− , следовательно, нули, а также полюсы входных
p
F
0
p должны удовлетво-
RC
функций RC-цепей являются отрицательными вещественными, поскольку
V и 0F положительные и вещественные.
0
VVV
() (σ,ω)(σ,ω)
ZpF F j R jX
RC
=+=+ − = −
000
00
p
σω
22 22
σ +ωσ+ω
.
Очевидно, что реактивная составляющая входного сопротивления в
верхней полуплоскости (ω 0> ) отрицательна. Отсюда следует, что ()
не может иметь полюса при
гаемое
⋅> при ω 0> , что противоречит условию отрицательности (σ,ω)X .
ω 0
p⋅ , реализуемое индуктивностью. Кроме того, мнимая часть
Таким образом, степень полинома числителя
∞, поскольку выделение его дало бы сла-
может быть
()
p
RC
RC
p
равна или на единицу меньше степени полинома знаменателя.
Пользуясь одним из условий Коши-Римана, получим
RX Zp X V V
∂∂ ∂ ∂ ∂
===−=−<
σω σ ω ω
∂∂ ∂ ∂ ∂
, 0
() ω
RC
==
ω 0 ω 0
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
00
22 2
σ +ωσ
.
Аналогично для проводимости:
1
Yp
()
RC
= , (σ,ω)(σ,ω)(σ,ω)
0
()
RC
YbV
∂∂
RC
σωσ
∂∂ +
Ygjb
p
RC
=>
==
ω 0 ω 0
FV
00
− ,
0
,
т. е., как и в случае LC-двухполюсников, справедливо разделительное
свойство (нули и полюсы ()
p и ()
RC
Yp чередуются на вещественной
RC
оси), наклон графика входного сопротивления всегда отрицательный,
а входной проводимости − положительный (рис. 14).
41
Введение в синтез пассивных цепей
+
p
p
−
+
+
Z
Z
=
p
[
H
=
[
Z
R
∞
⎧
⎨
Z
∞
Обобщенную функцию сопротивления RC-цепи можно записать в
виде
( σ )( σ )...( σ )
()
ZpH
RC
0 σ <σ <σ ..., mn≤= или 1nm=− .
где
123
==
H
=
pp p
( σ )( σ )...( σ )
pp p
nn
ap apa
mm
bp bpb
++
24
++ +
13
1
...
110
−
n
−
m
++ +
1
−
...
110
++ +
n
m
,
где
а б
Рис. 14
Разложение
− вычет в полюсе 0
k
0
RC
kpZp
0
на простые дроби дает
()
p
kk
()
pH
RC
0
pp
m
++
∑
=
k
1,3,5...
= ;
lim ( )
=
[]
RC
0
p
→
,
Вещественные положительные вычеты:
kZpp
Из полученного разложения ()
Z
RC
lim ( )( σ )
=+
kRCk
p
σ
→−
k
p следует, что
RC
(0)
=
,
⎩
k
σ
+
k
lim ( )
p
→∞
()
RC
=
,
Zp
RC
.
]
H
]
,
.
где
42
RH
=+
k
=
m
∑
1,3,5...
k
k
, т. е. (0) ( )
σ
k
ZZ≥∞.
RC RC
3. Синтез двухполюсников
Z
p
=
Z
p
=
=
Z
+
R
=
Z
=
=
=
=
Z
p
=
=
Ближайшая к началу координат критическая частота является полю-
сом функции
()
p (полюс может быть при 0
RC
Ближайшая к бесконечности критическая частота является нулем
функции ()
Простейшая составляющая
p (нуль может быть при
RC
Zk p
раллельное соединение двух ветвей.
Действительно,
1 σσ
Y
== =+,
k
pp
kkkk
).
∞).
/( σ )
kk k
kk
+
представляет собой па-
kkk
YpC
=+,
kk
k
Таким образом, получаем схему Фостера первого типа рис. 15.
Пример 1. Реализовать двухполюсник первой схемой Фостера по
функции входного сопротивления
33 3
10 ( 3 10 )( 5 10 )
1
()
Zp
=
pp
(210)(410)
pp
+⋅ +⋅
1
C
k
Рис. 15
k
,
k
R = .
+⋅ +⋅
33
k
k
k
σ
k
.
Решение. Нули ()
полюсы при
Зависимость
Z показана на рис. 16.
Поскольку нет полюса ()
== = =
HR Z p
lim ( ) lim 10 Ом
[]
pp
→∞ →∞
RC
RC
p при
(σ)
σ 310
−⋅ ,
2
σ 210
−⋅ ,
1
p при 0
33 3
⎡⎤
10 ( 3 10 )( 5 10 )
⎢⎥
(210)(410)
pp
⎣⎦
3
σ 510
−⋅ ,
4
3
σ 410
−⋅ .
3
, то
+⋅ +⋅
pp
+⋅ +⋅
33
0
3
3
0k
,
3
.
43
Z
+
Z
где
Разложение ()
p на простые дроби дает
()
Zp H
Введение в синтез пассивных цепей
kk
=+ +
13
33
⋅+⋅
210 410
pp
,
kZpp
kZpp
Соответствующая разложению ()
ставлена на рис. 17.
=+⋅=⋅
lim ( )( 210) 1,510
1
p
→− ⋅
=+⋅=⋅
lim ( )( 410) 0,510
3
p
→− ⋅
⎡⎤
3
⎣⎦
210
⎡⎤
3
⎣⎦
410
36
36
,
.
p первая схема Фостера пред-
44
Определим элементы цепи:
1
== ⋅ ,
1
k
R
3
== =
3
σ
3
0,667 10 ФC
k
1
0,5 10
⋅
410
⋅
6
3
125 Ом
Рис. 16
Рис. 17
6
−
1
==⋅ ,
3
k
3
1, 5 10
k
,
R
1
== =
1
σ
210
1
6
−
210 ФC
6
⋅
⋅
3
750 Ом
.
3. Синтез двухполюсников
p
=
H
=
p
⎡
⎢⎥⎣
H
p
=
H
+
R
=
Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби
функции входной проводимости
()
Yp. Из характера кривой (σ)
RC
Y
RC
(рис. 16) видно, что ближайшей к началу координат критической точкой является нуль (нуль может быть и при 0
), кроме того, (0) ( )
Если разлагать на простые дроби непосредственно
YpY≤∞.
RC RC
, то полу-
()
Yp
RC
чаются отрицательные вычеты, что является специфическим свойством
()
функции
Yp.
RC
Чтобы получить простые дроби с положительными вычетами, следу-
ет разлагать функцию ()/
Ypp, степень числителя которой равна или на
RC
единицу меньше степени знаменателя.
()
Ypk k
RC k
pp p
Умножив обе части разложения на
Ypk Hp
()
=+ +⋅
⎡⎤
Yp
lim
⎢⎥
→∞
p
⎣⎦
где
kY=
0
RC
(0)
Очевидно,
RC
,
=
H
1/kR= − постоянная проводимость,
00
характеризующая полюс при
Простейшая составляющая
вательное соединение
k
и
Действительно,
1 σ 1 σ
p
+
Z
== =+ ,
k
Ykpkkp
kk kk
kk
RC
C
0
m
++
=
k
∑
2,4,6...
σ
+
k
.
, получим
0
()
p
.
k
m
∑
2,4,6...
=
k
,
∞,
Y
k
=
p
k
k
kp
p
kp
k
σ
+
k
=
lim
σ
→−
p
k
,
()( σ )
Ypp
RC k
C=.
k
представляет собой последо-
σ
k
1
R
k
k
k
C = .
,
+
p
⎤
⎦
p⋅ − величина,
k
k
k
σ
k
.
Рис. 18
Таким образом, вторая схема Фостера имеет вид рис. 18.
45
−
=
=
=
=
+
−
=
−
−
−
мость
Введение в синтез пассивных цепей
Пример 2. Реализовать двухполюсник, если его входная проводи-
33 3
()
Yp
10 ( 2 10 )( 4 10 )
=
pp
+⋅ +⋅
( 310)( 510)
pp
+⋅ +⋅
33
.
−⋅ .
3
3
σ 510
4
3
−⋅ ,
Решение. Полюсы ()Yp при
нули при
σ 210
−⋅ ,
1
σ 310
−⋅ ,
2
3
σ 410
Разложение ()Yp на простые дроби:
()
Yp k
=+ +
0
13
33
⋅+⋅
310 510
pp
.
kp kp
Соответствующая вторая схема Фостера − рис. 19.
Рис. 19
Определим элементы схемы:
3
18
kY
== = ,
0
R
⎡⎤
()( 310) 1
Ypp
==
lim 10
1
→− ⋅
p
310
==⋅
lim 3 10
→− ⋅
p
510
k
1
== =⋅
σ
6310
1
C
k
k
3
1
RC
⎢⎥
3
⎣⎦
⎡⎤
()( 510)
Ypp
RC
⎢⎥
3
⎣⎦
3
−
10
⋅⋅
3
(0) 10
0
+⋅
p
+⋅
p
55 10 Ф
15
9
−
3
3
,
3
6
C
== =⋅
3
1 880 ОмR
0
3
,
1
4
,
3
310
k
σ
⋅
3
510
3
⋅
,
1
1
1
3
4
3
6 000 ОмRk== ,
3 333 ОмRk== ,
−
60 10 Ф
9
.
При реализации RC-цепей применяется также и метод разложения
входной функции в цепную дробь. Деление, начиная со старших степеней,
применяется для функций входного сопротивления, имеющего одинаковые
степени числителя и знаменателя.
46
3. Синтез двухполюсников
Z
R
p
Z
p
−
+
Если степень числителя ()
схеме Кауэра первого типа отсутствует сопротивление
цепи следует начинать с обратной величины () 1/ ()
p меньше степени знаменателя, то в
RC
, и реализацию
1
Yp Z p=.
RC RC
Пример 3. Реализовать двухполюсник первой схемой Кауэра по
функции входного сопротивления:
63 3629 12
10 ( 10 )( 4 10 ) 10 5 10 4 10
pp p p
()
Zp
==
++⋅ +⋅+⋅
( 210)( 510) 710 10
pp ppp
+⋅ +⋅ +⋅ +
333327
.
Решение. Разложив в цепную дробь функцию
скольку ()
p имеет степень числителя меньше степени знаменателя,
RC
получим
()
Zp
Соответствующая схема имеет вид рис. 20.
() 1/ ()
Yp Z p= , по-
RC RC
1
=
10
6
−
+
p
1
.
1
500
+
6
−
10
p
+
1
1
1000
+
0,5 10
6
−
⋅
Рис. 20
Цепь Кауэра второго типа реализуется при делении, начиная с младших степеней выражения ()
Yp с одинаковыми показателями степеней
RC
числителя и знаменателя, а также в случае функции, обратной входной
проводимости, если степень числителя входной проводимости больше степени знаменателя.
Пример 4. Реализовать вторую схему Кауэра входной функции
32 3
10 6 8 10
pp
()
Yp
=
23 6
pp
++⋅
810 1510
⋅+⋅
.
47
Введение в синтез пассивных цепей
Z
Z
=
=
Решение. Разложим функцию
младших степеней:
11
()
Yp
=+
1,83 10
⋅
Соответствующая схема Кауэра приведена на рис. 21.
3
()Yp
в цепную дробь, начиная с
11
+
−
0,11 10
⋅
6
p
Рис. 21
11
+
2,3 10
⋅
3
11
+
−
⋅
6,7 10
9
p
1
⋅
38 10
.
3
3.4. Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников
Функция входного сопротивления RL-двухполюсников
() (σω)
p F pT F j T=+ =++
RL
() σω (σ,ω)(σ,ω)
ZpFF jTR jX=+ + = + .
RL
000 0
00 0
Пользуясь одним из условий Коши-Римана, получим
RX Z
∂∂∂
== =>
σω σ
∂∂ ∂
RL
(σ)
=
ω 0
T
0
Аналогично для проводимости:
1
= , (σ,ω)(σ,ω)(σ,ω)
()
Yp
RL
YbT
∂∂
0
()
RL
(σ)
RL
σω σ
∂∂ +
Ygjb
p
ω 0 ω 0
RC
=− <
==
FT
0
00
.
0
.
− ,
,
48
3. Синтез двухполюсников
=
Z
Z
p
p
Z
Z
Z
∞
∞
Z
Z
Z
=
[
H
=
[
(σ,ω)(σ,ω)(σ,ω)
Нули
RL
()
p при
Ygjb
RL
F
p
0
=− − вещественные и отрицательные, следо-
T
0
+ .
вательно, нули и полюсы входных функций RL-цепей лежат на отрицательной вещественной полуоси. Поэтому, учитывая, что наклон графиков
(σ)
Z всегда положительный, а (σ)
RL
Y − отрицательный, можно утвер-
RL
ждать справедливость разделительного чередования нулей и полюсов.
Типичные зависимости
(σ)
Y и (σ)
RC
Z , приведенным на рис. 16. Очевидно, что функция вход-
RC
RL
ного сопротивления RL-цепи может иметь полюс при
()
p
и
аналогичны зависимостям
(σ)
Y
RL
=∞, выделение
которого дает индуктивность и не может иметь полюс при 0
ку выделение его дало бы емкость. Таким образом,
RL
()
= , посколь-
p имеет степень
числителя, равную или на единицу большую степени знаменателя.
Аналогично, функция входной проводимости может иметь степень
числителя, равную или на единицу меньшую степени знаменателя. Следует также отметить, что критическая точка, ближайшая к началу координат
функции ()
жайшая к бесконечности критическая точка ()
Yp − нулем. Кроме того, ( ) (0)
а ()
RL
Обобщенные формы функций ()
аналогичный функциям ()
p , является нулем, а ()
RL
ZZ
Yp и ()
RC
Yp − полюсом, и наоборот, бли-
RL RL
RC
RL
p является полюсом,
RL
≥ , ( ) (0)
RL
YY
RL RL
p и ()
≤ .
Yp имеют вид,
RL
p , следовательно, методы синте-
за RL-двухполюсников полностью аналогичны методам синтеза
RС-двухполюсников.
Выражение для входной проводимости ()
простые дроби аналогично разложению
kk
Yp H
()
RL
0
pp
m
++
∑
=
k
1,3,5...
RC
Yp и разложение его на
RL
:
()
p
k
σ
+
k
.
Соответствующая данному разложению вторая схема Фостера приведена на рис. 22:
Вещественные положительные вычеты:
lim ( )
kpYp
= ,
0
[]
RL
0
p
→
kYpp
lim ( )( σ )
=+.
kRLk
p
σ
→−
k
lim ( )
Yp
→∞
RL
p
]
.
]
49
Введение в синтез пассивных цепей
+
=
Z
+
=
=
=
=
=
+
Простейшая составляющая
последовательное соединение
Действительно,
kkk
Пример 1. Реализовать двухполюсник, если его входная проводи-
мость
()
Yp
RL
=
Y
==
k
Zp
kk
1
1
L
k
pp
kkk
33 3
10 ( 10 )( 3 10 )
(210)(410)
pp p
и
R
k
k
Рис. 22
σσ
kk
=+= +.
kkk
pp
++⋅
+⋅ +⋅
33
= .
k
k
k
σ
σ
k
k
k
pL R
представляет собой
.
Решение. Полюсы ()Yp при σ 0
нули при
Зависимость (σ)
Y приведена на рис. 23.
RL
σ 10
2
3
− ,
Рис. 23
σ 310
()
Разложение
Yp на простые дроби:
RL
σ 210
−⋅
3
−⋅ , σ=∞ .
4
3
3
,
σ 410=− ⋅
5
3
,
kk k
Yp
()
RL
50
03 5
=+ +
p
pp
33
⋅+⋅
210 410
.