Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
3. Синтез двухполюсников
Z
Z
Z
⎡
⎢⎥⎣
H
p
=
+
R
L
Z
R
=
3
lim ( ) 10
kpYp
==⋅,
0
=+⋅=
kYpp
lim ( )( 2 10 )
3
p
→− ⋅
[]
RL
0
⎡⎤
RL
⎣⎦
210
p
→
3
3
8
3
1
== ⋅ ,
0
3
10
,
4
2,67 10 ГнL
k
0
==⋅ ,
3
−
1
410 ГнL
k
3
3
3
−
kYpp
lim ( )( 4 10 ) 10
=+⋅=⋅
5
410
p
→− ⋅
σ 210 4
L
3
== = ,
3
k
3
Соответствующая разложению схема Фостера представлена на рис. 24.
Первую схему Фостера можно получить разложением на простые
дроби функции
()/
Ypp:
RC
L
5
Рис. 24
m
∑
=
k
2,4,6...
3
== ⋅ ,
,
8
σ 410 8
== =
k
kp
p
+
5
σ
k
⋅⋅
310
⋅
5
5
k
⎡⎤
RL
3
⎣⎦
3
⋅⋅
3
10
()/
pp, которое аналогично разложению функции
RL
()
pk Hp
RL
=+ +⋅
33
8 Ом
0
1
2,67 10 ГнL
k
5
3
10,67 Ом
3
3
−
.
,
⎡⎤
()
p
где
kZ= ,
0
Очевидно,
RL
(0)
kRZ==
lim
H
=
p
→∞
00
RL
⎢⎥
p
⎣⎦
− постоянное сопротивление,
(0)
RL
,
k
величина, характеризующая полюс при
Z
Простейшая составляющая
лельное соединение
и
k
.
k
=
k
Действительно,
1 σ 1 σ
== =+ ,
Y
k
kk kk
+
p
kk
kp k kp
=
k
kp
p
lim
p
→−
()( σ )
Zpp
RL k
σ
k
+
p
⎤
⎦
∞.
k
представляет собой парал-
σ
k
k
k
kk
,
L = .
k
k
σ
k
pLp⋅=⋅ −
51
Введение в синтез пассивных цепей
−
Z
=
=
=
=
=
Z
+
Таким образом, первая схема Фостера имеет вид рис. 25.
Пример 2. Реализовать двухполюсник первой схемой Фостера по
функции входного сопротивления:
333
10 ( 2 10 )( 4 10 )
()
Zp
RL
=
pp p
(10)(310)
pp
Рис. 25
+⋅ +⋅
33
++⋅
.
Решение. Нули
полюсы при
Разложение
RL
()
p при σ 0
RL
σ 10
− ,
2
на простые дроби:
()
p
ZpLp
RL
=+ +
()
pp
σ 210
−⋅ ,
3
3
σ 310
−⋅ , σ=∞ .
4
kp kp
24
33
10 3 10
+⋅
соответствующая первая схема Фостера − рис. 26.
Рис. 26
Определим элементы схемы:
3
σ 410
5
3
,
−⋅ ,
3
⎡⎤
()
Zp
LH
== =
52
lim 10 Гн
→∞
p
RL
⎢⎥
p
⎣⎦
3
−
,
3. Синтез двухполюсников
Z
Z
p
−
p
Z
⎡⎤
()( 10)
Zpp
k
lim 1,5
==
2
p
→−
10
RL
⎢⎥
3
⎣⎦
p
3
+
,
k
2
σ
2
1, 5 10
L Гн
==⋅ ,
2
3
−
⎡⎤
()( 310)
Zpp
k
lim 0,5
==
4
→− ⋅
p
310
RL
⎢⎥
3
⎣⎦
22
+⋅
p
1, 5 ОмRk== ,
3
,
44
k
4
L
== ⋅ ,
4
0,167 10 Гн
σ
4
0,5 ОмRk== .
3
−
Реализация лестничных цепей Кауэра первого и второго типов аналогична реализации RC-цепей, если поменять местами функции ()
()
Yp.
RC
RL
p и
Для получения схемы Кауэра первого типа осуществляют последовательное деление, начиная со старших степеней функции ()
p , степень
RL
числителя которой на единицу больше степени знаменателя, а также функции ()
Yp, имеющей одинаковые степени числителя и знаменателя.
RL
Пример 3. Реализовать двухполюсник первой схемой Кауэра по
функции входного сопротивления:
()
Zp
RL
==
3333323
10 ( 2 10 )( 4 10 ) 10 6 8 10
pp ppp
+⋅ +⋅ + +⋅
( 10 )( 3 10 ) 4 10 3 10
pp p p
33 236
++⋅ +⋅+⋅
−
.
Решение. Разложив входную функцию в цепную дробь, получим
3
() 10
Zp p
RL
−
=
0,5
+
1,33 10
⋅+
1
1
−
3
p
1
1
1, 5
+
0,33 10
−
3
⋅
Соответствующая схема Кауэра показана на рис. 27.
Рис. 27
Для получения схемы Кауэра второго типа осуществляют поочередное деление, начиная с младших степеней функции ()
p с одинаковыми
RL
.
53
Введение в синтез пассивных цепей
p
p
степенями числителя и знаменателя, а также функции ()
Yp, степень чис-
RL
лителя которой меньше степени знаменателя.
Пример 4. Реализовать вторую схему Кауэра для входной функции
33 3326 9
10 ( 10 )( 3 10 ) 10 4 10 3 10
pp p p
()
Yp
RL
==
++⋅ +⋅+⋅
( 210)( 410) 610 810
pp ppp
+⋅ +⋅ +⋅ +⋅
333326
.
Решение. Разложим входную функцию
Yp
RL
в цепную дробь.
()
11
()
Yp
RL
=+
2,6710
3
−
p
4,57
+
1
11
+
−
1, 7 9 1 0
3
⋅
p
48
+
15,4 10
Рис. 28
Соответствующая схема Кауэра показана на рис. 28.
.
1
3
−
⋅
3.5. Синтез RLC-двухполюсников
Рассмотренные методы реализации цепей с двумя типами элементов
практически неприменимы в случае положительных вещественных функций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые
дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется.
Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рацио
нальная функция является положительной и вещественной, то всегда
существует линейный, пассивный с сосредоточенными и неизменными
во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого эта функция является.
Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции.
54
-
3. Синтез двухполюсников
p
j
R
=
=
1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на
мнимой оси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то
соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда
могут быть реализованы одной из схем Фостера. Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой
оси, включая 0
= и p=∞, достигается частичная реализация и упроще-
ние данной функции.
После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличие нулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратная функция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсы на оси ω
. В результате остается функция, являющаяся поло-
жительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси,
она называется функцией минимального реактивного сопротивления или
минимальной реактивной проводимости ()Fp.
2. Полученная функция минимальной реактивности может быть еще
более упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этой функции на мнимой оси (рис. 29).
Рис. 29
Выделение min Re ( ω)Fj соответствует реализации последователь-
ного сопротивления
, если ()Fp − входное сопротивление, или парал-
1
лельного (шунтирующего) сопротивления, если ()Fp − входная проводи-
мость двухполюсника (рис. 30).
Оставшаяся функция
() () minRe (ω)Fp Fp Fj
1
− является положи-
тельной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при
ωpj= (1Re ( ω )0Fj
1
), ее называют
минимальной функцией.
Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных
55
Введение в синтез пассивных цепей
R
R
M
−
+
+
=
Z
=
Z
Z
=
Z
=
Z
=
x
Z
p
Z
Z
=
L
M
M
Z
L
элементов L и C и активных сопротивлений
(рис. 30), которая назы-
1
вается предварительной цепью Фостера.
Рис. 30
3. Очевидно, если минимум
выделяется на конечной частоте 1ωj,
1
то оставшаяся после его выделения минимальная функция
ся чисто мнимой величиной.
( ω )Fj являет-
11
Предположим
люсника
Zp
При
ωpj= , 1Re ( ω )0Fj
тивное.
Возможно два случая
В первом случае
индуктивностью
Выделив из сопротивления
L , получим
1
ωpj=+ (действительно,
1
индуктивности
() ()Fp Z p=
11
() ...
()
==
1
1
L =− (рис. 31).
1
() ()
pZppL=−, которое имеет нуль на мнимой оси при
21 1
1
21
papap apa
()
Np
( ω )
jjx
11 1
1
ω
1
( ω )
21
( ω )0Zj = ).
() ()
Zp Zp pL
=−=
21 1
− минимальное сопротивление двухпо-
nn
nn
mm
bp b p bp b
mm
,
( ω )
jjx
11 1
( ω )
jjx
11 1
−
1
−
110
−
++ +
−
1
...
110
++ +
± , т. е.
и
( ω )
jjx
11 2
.
( ω )
j чисто реак-
11
.
+
− можно представить отрицательной
()
p сопротивление индуктивности
1
j имеет
Re ( ω )0Zj
11
()
p
2
()
Np
и при выделении
.
Степень полинома
()
p (числителя функции 1()
4. Функция
() 1/ ()Yp Z p= имеет полюс при
22
на единицу больше степени полинома
()
p
2
p ).
ωpj=+ , вычет в ко-
1
тором вещественный положительный. Выделение из функции
22
люса при
с положительными
56
ωp =− дает последовательный колебательный контур (рис. 32)
1
и C .
2
()Yp по-
2
3. Синтез двухполюсников
L
L
L
M
−
Z
p
=
M
M
Из рис. 32 видно, что на частоте
зонанс контура
2
5. Оставшаяся после выделения контура
ω возникает последовательный ре-
1
C , и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой.
2
1
= ,
2Lk
2
C
1
= ,
2
ω
12
()( ω )
Ypp
2lim
k
= .
2
22
p
→−
21
ω
1
22
+
p
Рис. 31 Рис. 32
C функция
2
2()
kp M p
() ()
Yp Yp
=− =
32
23
22
ω
p
+
1
Np
3
()
имеет степень числителя
, равную 2n
()
p
3
, а степень знаменателя
1n − , а значит, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная
функция
() 1/ ()
pYp= имеет полюс при
33
∞ с положительным веще-
ственным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью
0L > (рис. 33).
3
Рис. 33
()
p
Функция
Zp Zp pL
=−= является положительной ве-
43 3
() ()
щественной функцией со степенями полиномов
4
()
Np
4
()
p
4
и
, равными
()Np
4
2n − . На этом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся по-
57
Введение в синтез пассивных цепей
Z
′
′
Z
Z
Z
Z
′
=
′
=
P
Z
Z
Z
=
L
L
L
=
L
=
M
сле него функции 4()
p также может быть применен следующий цикл
Бруне до полной реализации двухполюсника.
Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательная, могут быть заменены трансформатором (рис. 34).
а б
Рис. 34
Условием эквивалентности цепей (рис. 34, а, б) является равенство
их параметров:
Для Т-образного четырехполюсника (рис. 34, б)
Для трансформатора (рис. 34, б) справедлива система уравнений:
откуда
UZIZI
=+
⎧
1111122
⎨
UZIZI
=+
2211222
⎩
UU
11 1 2
I U pL pL
1112
′
I
=
0
2
==+
22 1 3
/( )
U
2
′
I
2
I
=
0
1
+
()
pL L
UpLIpMI
⎧
112
P
11
== =+
()
pL L
,
21 2
⋅+ ⋅
⎨
11
UpMIpLI
212
⎩
,
pL=
22 S
,
pL=
⋅+ ⋅
ZpM
12 21
=
S
.
U
1
,
U
==.
I
==
12 2
2
1
′
2
′
I
2
pL
=
0I
,
.
pL
=
0I
1
58
LL LM
+
⎡⎤⎡⎤
Zp
==
[]
T
12 2
⎢⎥⎢⎥
223
⎣⎦⎣⎦
LL ML
Таким образом, для цикла Бруне
P
+
LL
+ ,
12P
.
S
LL
+ ,
23S
L=.
2
3. Синтез двухполюсников
L
=
+
Z
p
Z
Z
Z
=
p
=
p
=
Z
Коэффициент связи трансформатора
Если 1
k = , то трансформатор называется совершенным, практиче-
CB
k
ML
==
CB
LLLLL
PS
()()
1223
2
.
++
ски можно реализовать трансформатор, близкий к совершенному
(
k =
CB
Тогда
0,99
).
2
LLLLLLL
2121323
()()()()
LLLL LLLL
++ ++
1223 1223
11
−=
++
,
откуда
.
12 13 23
+=
0LL LL L L
Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из
индуктивностей была отрицательной.
Пример 1. Методом Бруне реализовать входную функцию
53463 92 12 15
3 10 7 10 12 10 11 10 6 10
pp p p p
()
Zp
+⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅
=
53473 92 12
2 10 10 4 10 8 10
ppp p p
+++⋅+⋅
.
Решение 1. Разложим функцию ()
32 6 2 3 6 2 6 2 3 6
10 ( 3 10 )(2 10 2 10 ) ( 4 10 )( 10 2 10 )
()
Zp
=
=+ =+
()
p является входным сопротивлением реактивного двухполюсника.
P
Нули
3
210pj=± ⋅ .
()
p реализуется первой схемой Фостера (рис. 35).
P
+⋅ ++⋅++⋅ ++⋅
32 6 2 3 6
10 ( 3 10 ) 10 2 10
pp p p
+⋅ + +⋅
ppp
2623 6
+⋅ + +⋅
( 4 10 ) 2 10 2 10
при
()
p
P
pp p pp p
2623 6
( 4 10 )(2 10 2 10 )
pp p p
+⋅ + +⋅
310pj
±⋅
p на множители.
() ()
pZp
P
3
,
∞; полюсы при 0
′
.
1
Элементы схемы:
13
lim ( ) 10 , 1,33 10 Ф
kpZp C
== = = ⋅ ,
C
1()(410)10
′′
2lim , 410 Ф
kC
== = =⋅
22
Cp
00
0
26
→− ⋅
p
′
2
[]
p
→
410
P
0
Zpp
P
263
+⋅
33
−
4
3
−
4
=
,
,
′
L
2
11
== =⋅
263
′
ω 410 410
C
2
⋅⋅⋅
62,5 10 Гн
−
6
−
.
59
Введение в синтез пассивных цепей
Z
Z
′
Z
′
p
−
Z
′
=
−
=
=
=
Оставшаяся функция1()
p′ является положительной вещественной и
не имеет полюсов и нулей на мнимой оси,
реактивного сопротивления.
Рис. 35
2. Выделим из функции
()
p
минимальное значение вещественной
1
составляющей на мнимой оси.
Для ω
j=
′
Zj
( ω)
1
23 6
−+ +⋅
ω 10 ω 210
=
2ω 10 ω 210
j
23 6
j
++⋅
()
p
− функция минимального
1
.
Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим
46212 33
′
( ω)
Zj j
1
2ω 510ω 410 10ω
=−
4621246212
4ω 710ω 410 4ω 710ω 410
Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где
d
Re ( ω)0
производная
ω
d
Zj
()
из этого условия:
46212
⎡⎤
2ω 510ω 410
−⋅ +⋅
⎢⎥
46212
−⋅ +⋅
4ω 710ω 410
⎣⎦
2
ω
откуда
ω 0= ,
1
= ,
2,3
При полученных частотах
следующие значения:
−⋅ +⋅
−⋅ +⋅ −⋅ +⋅
′
1
810 6410 4810
⋅± ⋅ −⋅
= . Определим значения ω и
0
,
61212
6
56312
3ω 810ω 410 ω 0
⋅+⋅=,
26
ω 210
2
min Re ( ω)
⋅ ,
ω вещественная составляющая принимает
,
′
j
1
2
26
ω 10
=⋅ .
3
3
60
Re (ω 0) 1Z
′
1
==
,
12
⋅=,
26
′
Re (ω 210)
Z
1
3
′
Re (ω 10 )
Z
13
27
26
⋅=.
35