Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
1. Свойства входных функций пассивных цепей
p
=
=
=
1. Так как
ния для
следует, что все нули Z(p) расположены в левой полуплоско-
1,2
, , FTV– вещественные неотрицательные, то из выраже-
00 0
сти (рис. 2).
V
2. Для двухполюсников без потерь (LC-цепей)
pj
0F
и
0
1,2
=±
0
T
0
т. е. все нули расположены на мнимой оси (границе левой полуплоскости)
(рис. 2,
вещественной оси (рис. 2,
цательной вещественной оси (рис. 2,
а).
3. Для RL-цепей
4. Для RС-цепей
0
0
0V = и
б).
0T = и
F
p
p
0
− все нули лежат на отрицательной
T
0
V
0
− , и все нули также лежат на отри-
F
0
в).
,
11
−
Z
M
p
Z
p
Z
−
Введение в синтез пассивных цепей
2. КРИТЕРИИ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ДВУХПОЛЮСНИКА ПО ЗАДАННОЙ ВХОДНОЙ ФУНКЦИИ
Входные функции цепи являются положительными вещественными
функциями, следовательно, можно утверждать, что если какая-либо функция имеет подобные свойства, то она может быть реализована в качестве
входной функции пассивного двухполюсника.
Для проверки функций используют ряд критериев, основанных
на свойствах положительных вещественных функций, которые связаны:
а) с внешним видом функции;
б
) с расположением нулей и полюсов;
в) со свойствами полюсов на мнимой оси и вычетами в них;
г) с поведением вещественной части функции.
Критерии приведены в порядке возрастающей сложности проверки.
Если в последовательном процессе проверки функция не удовлетворяет
хотя бы одному из критериев, то проверку следует прекратить, поскольку
функция уже не
является положительной вещественной.
2.1. Проверка по внешнему виду функции
Поскольку рациональная функция ()
1
−
110
1
−
110
−
Fp
()
nn
ap a p ap a M p
==
bp b p bp b
++++
nn
mm
++++
mm
должна принимать вещественные значения при вещественном
эффициенты
Выше было показано, что ( ( )
, ,... , , ,...
aa abb b
nn mm
10 10
−−
p или ()Yp) представляют собой от-
ношение определителей, порядок которых отличается не более чем на единицу. Следовательно, высшие степени полиномов ()
как и их низшие степени, не могут отличаться более чем на единицу.
Действительно, при неограниченном возрастании частоты:
ω ()
→∞ →∞ пассивный двухполюсник ведет себя либо как эквивалент-
ная индуктивность, т. е. ( )
ppL→ , либо как эквивалентная емкость:
1
()
Zp
→
, либо как сопротивление: ( )
C
Fp вида
... ( )
Np
...
()
Р, то все ко-
должны быть вещественными.
p и ()Np так же,
pR→ .
12
С другой стороны,
a
() ()
Fp Zp p
=→ при p→∞.
n
b
m
nm
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
Z
p
Z
M
p
M
M
L
L
L
=
L
L
L
L
Следовательно, случай ()
ppL→ соответствует 1nm−=, случай
1
()
Zp
→
1mn−= и случай ()
pR→ соответствует mn= .
C
Все нули и полюсы входных функций лежат в левой полуплоскости,
т. е. в ()
или
( α )
p +
p и ()Np допустимы сомножители типа ( α), ( αβ)
22
k
эффициенты
, где
aa abb b
α, β, α
, ,... , , ,...
10 10
nn mm
−−
− неотрицательны. Отсюда следует, что все ко-
k
должны быть неотрицательны.
pj++±
Кроме того, при перемножении указанных сомножителей никакие члены
не могут быть исключены путем вычитания, а значит, в полиномах ()
Np никакие степени не могут быть пропущены между высшей и низ-
и ()
p
шей степенями, кроме случая, когда отсутствуют все четные или все нечетные степени (
LC
-цепи).
Условие положительности и вещественности коэффициентов поли-
номов является необходимым, но не достаточным, чтобы функция ()
Fp
была положительной вещественной. Необходимо также, чтобы нули
функций ()
p и ()Np лежали в левой полуплоскости (в крайнем случае,
на мнимой оси).
Полиномы с вещественными коэффициентами, все нули которых на-
ходятся в левой полуплоскости, называются строгими полиномами Гурвица. Если полином имеет простые нули на мнимой оси, то он называется
модифицированным полиномом Гурвица. Таким образом, положительная
вещественная функция должна представлять собой отношение
полиномов
Гурвица. Для того чтобы установить, является ли заданный полином полиномом Гурвица, существует несколько критериев, например, Рауса, Найквиста. Чаще всего используется критерий Гурвица.
Пусть полином ()
Fp. Представим ()
()
mp − четная часть от ()
()
024
:,,,...pp p p , а ()np − нечетная часть от ()
пенями
35
:, , ,...ppp p Показано [5], что полином ()
p является числителем или знаменателем функции
p в виде суммы двух частей: () () ()
pmpnp
+ , где
p содержащая все четные степени
p со всеми нечетными сте-
p является полино-
мом Гурвица, если при разложении отношения его четной части к нечетной (или обратное ему со старшей степенью в числителе) в цепную дробь
получаются только положительные коэффициенты.
Пример 1. Проверить, является ли полином
( ) 36 12 48 10 15 1
pppppp=+++++
полиномом Гурвица.
54 32
13
Введение в синтез пассивных цепей
p
+
p
p
+
p
ppp
p
Решение. Образуем отношение нечетной части полинома к четной,
поскольку старшая степень нечетная:
53
ψ()
p
36 48 15 ( )
==
++
42
12 10 1
pp
++
Проведем один шаг деления числителя на знаменатель:
36 48 15 12 10 1
−++
53 42
ppppp
++ ++
53
(36 30 3 ) 3
pppp
ppnp
.
()
mp
.
18 12
np p p
pC p
ψ() 3
=+ =+
0
mp
Обозначим новую функцию
3
pp
+
( ) 18 12
1
()
12 10 1
ψ ()
1
3
+
42
pp
()
mp
p
= , степень числителя кото-
()
np
1
,
+
0C > .
0
рой выше степени знаменателя на единицу, и осуществим следующий шаг
деления:
12 10 1 18 12
−+
42 3
42
(12 8 )
pp p
ppp
++ +
2
.
3
2 1
В результате получим
2
p
+
221
ψ ()
=+
pp
1
3
2
+
p
3
18 12
+
.
p
Далее осуществим следующий шаг деления для функции
32
18 12 2 1
p
ψ ()
2
( ) 18 12
np p p
1
==
mp
()
1
3
+
2
21
+
p
ppp
,
−+
3
(18 9 ) 9
ppp
3
p
+
.
ψ () 9 9
3()
pp p
=+ =+
2
2
21
p
+
np
2
()
mp
1
.
Аналогично следующий шаг деления
2
2 1 3
−
+
2
2
2
дает
p
3
ψ ()
212 ()
pp p
=+=+ .
3
333 ()
mp
2
np
2
1
14
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
p
p
p
L
=
p
+
p
=
31
И, наконец, последний шаг деления дает
3 3
p− .
0
В итоге получим разложение в цепную дробь:
1
pp
ψ() 3
=+
,
21
p
+
3
9
p
+
1
21
p
+
33
в которой все коэффициенты положительны, следовательно, полином
p -полином Гурвица.
()
Пример 2. Проверить, является ли полином
() 3 2 2Lp p p p p
43 2
++ ++
полиномом Гурвица.
Образуем функцию
42
32
ψ()
p
pp
=
3
+
p
2
+
и разложим ее в цепную дробь:
42 3
3 2 2
−+
( 2 )
2 2
ppp
−+
(2)
ppp
++ +
ppp
42
pp p
32
++
3
.
0
Все коэффициенты положительны, но разложение в цепную дробь
закончилось преждевременно, поскольку ()mp и ()np имеют общий мно-
житель.
Действительно,
() 3 2 2 2 ( 2)( 1)mp p p p p p p p= + += + + += + +
42 4 22 2 2
() 2 ( 2)np p p pp
32
+= +,
,
15
Введение в синтез пассивных цепей
=
p
L
p
+
p
L
p
p
=
p
=
M
p
=
p
p
() ( 2)( 1)
mp p p
np
()
22
=
++
2
(2)
pp
и
+
имеет простые нули на мнимой оси
рованным полиномом Гурвица.
Пример 3. Проверить, является ли полином
() ( 2)( 1)Lp p p p
1,2
22
+++
2
j=± , т. е. является модифици-
полиномом Гурвица.
Образуем функцию
дробь, получим
ψ()
==+
pp
Поскольку в разложении имеются отрицательные коэффициенты,
полином ()
p не является полиномом Гурвица.
2.2. Свойства вычетов в полюсах на мнимой оси
Возможны три случая расположения полюсов на мнимой оси:
1) 0
= (начало координат); 2)
Разложение функции
() 2 3 7 7 6 1
pppppp=+++++
() 2 1
np
() 3
mp
5432
53
p
ψ()
276
=
pp
371
pp
++
42
+
91
+
p
7
49 1
+
p
3
−+
77 11
∞; 3)
()
Fp
()
= на простые дроби в общем слу-
p
Np
()
и, разложив ее в цепную
11
p
−
ω
j
±
.
.
i
чае записывается следующим образом:
где
∞
, , ,
kkkk
0
q
kkp
()
Fp kp H
ij
=++ + +
∞
– вычеты функции ()Fp в простых полюсах в бесконеч-
0
ppp
2
∑∑
11
==
ij
i
22
+
p
ω
ν
k
j
−
i
j
,
ности, в нуле, на мнимой оси и на вещественной оси. Для определения
k -вычета в простом полюсе
j
ложения на (
p− ) и определим их при
j
части все члены, за исключением
16
p
умножим обе части последнего раз-
j
p→ . В этом случае в правой
j
k , исчезают. В результате получаем
j
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
j
p
−
p
p
=
M
p
p
ω
p
p
=
−
+
M
+
+
()
Mp
lim ( )
→
pp
Np
()
j
pk
= .
j
Если функция ()
то она имеет полюс при 0
Поскольку все коэффициенты полиномов ()
тельные вещественные числа, то вычет
Fp имеет общий множитель
= и вычет в этом полюсе
()
kFpp
lim ( )
==.
0
0
p
→
Mp
Np
()
0
p
p и ()Np положи-
является вещественным поло-
k
0
в знаменателе,
жительным.
Функция ()
Fp имеет полюс в бесконечности, если степень полинома
числителя на единицу выше полинома знаменателя. Один шаг деления полиномов дает вычет
∞
в
=∞, который, так же, как и 0k , вещественный
k
положительный.
Если функция ()
менатель ()
Np имеет сомножители
Fp имеет полюсы на мнимой оси ω
( ω )( ω )( ω )
pj pj p−+=+
ii i
j=± , то зна-
22
i
. В раз-
ложении на простые дроби появляются члены вида
kkkp
iii
+=
pj pj
+−
ωω
ii
2
22
p
+
ω
i
,
22
+
i
p
, которые также являются вещественными
где
2lim
k
=
i
22
→−
ω
p
i
()( )
Fp p
положительными числами.
2.3. Проверка неотрицательности
вещественной составляющей функции на мнимой оси
Для того чтобы функция ()Fp была положительной вещественной,
необходимо иметь Re ( ) 0Fp≥ при Re 0
но найти ее вещественную часть и убедиться, что она нигде не будет от-
рицательной при изменении
в пределах от
ω
j
Запишем ()Fp как отношение полиномов, имеющих четные и не-
четные части числителя и знаменателя:
()
==
()
Fp
()
Np m n
≥ , т. е. для проверки ()Fp нуж-
pmn
11
22
,
∞ до
∞ .
17
Введение в синтез пассивных цепей
p
−
A
A
x
x
≤
A
A
≤
A
где
m
и
1
− четные части числителя и знаменателя;
m
2
и
n
1
− нечетные
n
2
части числителя и знаменателя.
()
Fp
m n m n mm nn mn mn
+− − −
1 1 2 2 1 2 12 21 12
=⋅=
mnmn
+−
2222
()()
22
mn
−
22
.
Знаменатель ()Fp – четная функция, первая скобка числителя также
четная, а вторая − нечетная, поэтому для ω
mm nn
Поскольку знаменатель
−
12 12
22
mn
−
22
pj
=
=
Re ( ω)
ω
Fj
22
22
mn mn
21 12
,
mn
быть отрицательным, то очевидно: для того чтобы
2
(ω )( ) 0
димо
Ammnn
=− ≥ при ω
12 12
pj
=
ω
j=
−
Fj
=
22
−
22
pj
=
Im ( ω)
ω
( ω)( ω)(ω)mnNjNj Nj−= − =
Re ( ω)0Fj ≥ , необхо-
∞≤ ≤∞. Полином
.
2
не может
2
(ω )A − чет-
ный, следовательно, можно рассматривать интервал 0 ω≤≤∞ вместо
ω−∞ ≤ ≤ ∞.
Введя переменную
2
ωx= , получим
где
21
(ω )() ...
==+ +++=
2
− нули полинома
ω
x =
ii
Знак полинома ()
Ax Cx C x Cx C
( )( )...( )
kx x x x x x=− − −,
x зависит от знаков множителей, определяемых
nn
nn
12
() (ω )Ax A=
110
−
2
.
−
n
его нулями. Вещественный отрицательный нуль всегда дает положительный множитель. Также положительный множитель дает пара комплексных сопряженных нулей. Действительно, если
()()()0xa jbxa jb xa b−+ −+ = − + ≥ при 0
22
≤∞.
ajb=± , то
i
Очевидно, что отрицательный множитель может давать только любой положительный нуль нечетной кратности. В случае положительного
нуля четной кратности пара отрицательных одинаковых множителей дает
положительный множитель.
Таким образом, для неотрицательности Re ( ω)Fj необходимо и дос-
таточно, чтобы полином ()
x не имел положительныx корней нечетной
кратности. Проверку данного условия проводят разными методами: Будана, Труди, Штурма и др. Чаще всего используется теорема Штурма, позволяющая установить число вещественных положительных корней уравнения () 0
x = , заключенных в любом интервале axb
≤ (a и b не являют-
ся корнями полинома ()
18
x ). Согласно теореме Штурма число веществен-
2. Критерии реализуемости двухполюсника по заданной входной функции
≤
′
+
+
p
A
=
=
=
′
=
ных положительных корней полинома в интервале axb
≤ равно разно-
сти
nn− , где
ab
нижнем a и
n
n − число перемен знака в ряде функций Штурма при
a
− верхнем b пределах переменного x. Определение таким
b
образом количества корней есть применение правила Декарта для знаков.
Сначала составляется последовательность функций Штурма в порядке понижения степени:
() (); () (); (); ...; const
Sx Ax Sx Ax Sx S
где
(), ()Sx Sx− заданный полином и его производная; 2()Sx − взятый
01
с обратным знаком остаток от деления
ратным знаком остаток от деления
== =,
01 2
()Sx на 1()Sx;3()Sx − взятый с об-
0
()Sx на 2()Sx и т. д.; mS − последний
1
m
остаток − постоянная величина.
Далее определяется число
и число
(), (); (); ...;
Sa Sa Sa S
012
n перемен знака в ряде чисел
b
(), (); (); ...;
Sb Sb Sb S,
012
перемен знака в ряде чисел
n
a
m
m
а затем число вещественных положительных корней
Пример 1. Определить, является ли положительной вещественной
функция
2
pp
Fp
()
5109
=
2
pp
0,5 4
+
.
+
Решение. Определим числитель Re ( )Fp при ω
222
(ω )(59)(4)100,5
5 20 9 36 5 5 24 36
ppp ppp
=+ ++−=+ + =
mm nn p p p p
422 242
−= + +−⋅ =
12 12
42
5ω 24ω 36=− +.
22
(ω ) ( ) 5 24 36AAxxx
=−+
Составим последовательность полиномов Штурма:
() () 5 24 36Sx Ax x x
0
2
=−+
nn−.
ab
j=.
.
pj
=
ω
() () 10 24Sx Ax x
1
=−.
19
Введение в синтез пассивных цепей
−
−
=
x
=
−
x
≤
+
+
−
A
=
Чтобы получить 2()Sx, осуществим деление
2
xx x
5 24 36 10 24
()/ ()Sx Sx:
01
+−
() ()
Sx Sx
02
() ()
Sx Sx
11
αβ
x
=++ ,
11
−
36
() 1 6
Sx
0
() 2 5 ()
Sx Sx
11
x
=−+
5
,
Определим последовательность полиномов Штурма при нижнем
и верхнем пределах (0, )
( ) 5 24 36, (0) 36, ( )Sx x x S S=−+ = ∞=∞,
000
100
xx==∞:
2
( ) 10 24, (0) 24, ( )Sx x S S=− =− ∞=∞,
2
xx x
(5 12 )
−−
16
25
12 36
x
−+
144
( 12 )
−− +
x
5
36
5
36
()
Sx
2
− .
5
.
() , (0) , ( )
Sx S S=− =− ∞ =− .
222
Таким образом, при
55 5
n =
a
,
1
n
,
1
b
nn
ab
полином ()Ax не имеет
0
=
положительных вещественных корней в интервале 0
()Fp является положительной вещественной.
Пример 2. Определить, является ли положительной вещественной
функция
36 36 36
32
232
()
Fp
=
32
ppp
Решение. Составим выражение
ppp
( ) (2 2)(2 1) ( 3 )( 2 )
pp p pppp=+ +−+ +=
42 642 64
462 56 2pp ppp pp=++−−−=−−+,
Axx
22 33
264 32
(ω ) ωω22
=−+ =−+.
++
.
++
221
mm nn
12 12
2
ω
x
=
.
Составим ряд полиномов Штурма:
() 2Sx x x=−+,
0
32
() () 3 2Sx S x x x
10
′
2
=−.
≤∞ и функция
20