Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в синтез пассивных цепей. Учебное пособие.pdf
4. Синтез четырехполюсников
p
′
Z
I
⋅
м
=
Z
+
+
=
I
=
I
′
Z
Z
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3. При 0
Z = и 0
Г
Z = передаточной функцией является
H
()
Ip
2
()
Up
1
Y()
=− .
12
4. Учитывая связь
⎧⎫
ZZk
⎨⎬
⎩⎭
()
pY
12
5. При 0
12
Y =
Г
() () ()
Up ZpZp
()
pZ
212
==
() () ()
122
2(ω )
[]()
12 12 1 ω
2
pj
() ()
YpYp
12
=
YpYp
() ()
22
pZpZp
При сопротивлении нагрузки
()
12
и Y − параметров, получим
kp Ap j
11
+=
+
ω
1
⋅
H
+
H
+
pZ
12
=
Zp
22
() 1
−
′
Z
11
pj
=
ω
1
− передаточная проводимость.
H
H
()
p
− передаточное сопротивление.
1 RO
; ()
12
pY
=
Yp
12
Yp
() 1
22
()
pj
=
.
1
4.2. Свойства Z-параметров четырехполюсников
Для цепи (рис. 49)
=+
UZIZI
⎧
1111122
⎨
UZIZI
=+
2211222
⎩
UaZI aZI aZI aZI
При
21 12
U
() 2
paZaaZaZ
== + +
()
p − положительная вещественная функция (()
Поскольку
Z=
22
111 1212 222
11
полюсов в правой полуплоскости, и вычеты на оси
стыми. Следовательно, ( )
Пусть
в полюсе
k , 12k и 22k – вычеты функций
11
jω. Известно, что вычеты
′
,
′
=+ + + .
1111 1122 2 211 2 222
22
111 1212 222
UaU aU
+
11 2 2
2UaZI aaZIaZI=+ +
,
11
− квадратичная форма.
()
p и
()
p – входные функции цепи, то они не имеют
22
p не имеет полюсов в правой полуплоскости.
11
и
()
11
p
()
22
p
aI
,
=
22
aI
.
′
′
p > 0) при Re P > 0.
jω должны быть про-
()
p ,
12
()
p и
()
p
22
в полюсах на мнимой
71
Введение в синтез пассивных цепей
Z
−
Z
=
Z
X
оси вещественные и положительные, тогда вычет функции ()
p в этом
полюсе также
Отсюда очевидно, что при
чина.
Из анализа квадратичной формы получается условие вычетов
k > 0.
22
111 1212 222
20kak aak ak=+ + >.
Рис. 49
11
0k ≥ ,
22
0k ≥
k – вещественная вели-
12
2
0kk k
≥ .
p
накладывается
r
12
Аналогично, для вещественных составляющих ()
Re ( ω)2 0Zj ar aar ar
при
11
0r >
22
0r >
11 22 12
Таким образом, на вещественную составляющую
ограничение, если ()
p положительная вещественная функция.
11 22 12
22
++≥
111 1 212 222
2
0rr r−≥ (Re P > 0).
4.3. Нули передачи и свойства K
12ХХ
Обратимый четырехполюсник в режиме холостого хода, питающийся от идеального источника ЭДС, имеет передаточную функцию по напряжению
Kp
12
XX
==.
()
UZp
22 12
XX
UZp
111
()
()
K − рациональная функция с вещественными коэффициентами.
1.
12
X
72
4. Синтез четырехполюсников
Z
Z
Z
Z
X
Z
X
Z
X
Z
Z
X
≠
=
p
′
′
≠
Z
Z
′
X
⋅
X
=
−
2. Нулями передачи являются те нули
()
нулями
нулями
p . Полюсы
11
K . Так как расположение нулей
12
X
луплоскостью, то
K может иметь нули любой кратности по всей плоско-
12
X
()
p (частные, которых нет у
11
сти комплексного переменного
Р. (
()
p не является функцией двухполюс-
12
()
p , которые не являются
12
()
p ) являются
12
()
p не ограничено левой по-
12
ника, поэтому на расположение её нулей не накладывается ограничений).
3. Полюсы
K
они являются нулями
могут быть только в левой полуплоскости, так как
12
X
()
p , или на оси jω (
11
()
p не имеет полюсов
12
в правой полуплоскости).
4. Вычет
Действительно, при
вещественных составляющих получаем
K в полюсе на оси jω является мнимым.
12
X
( ω)0, 0Zj r== и если
11 11
, и, следовательно,
0r
12
r
∞ , то из условия
22
12
( ω)Zj
чисто мнимая величина.
()
Zp Z
Kp
12
XX
()
12 12
==
Zp
()
11
22
+
( ω )
(
Z
111
( ω)0Zj
11
).
−
Разложим
Вычет
K при
12
X
⎧⎫
ZZk
=+ =
⎨⎬
⎩⎭
Поскольку
( ω ) ω
12 12 1 ω
12
12 1
22 22
++
pZ p
111 1
ωpj= :
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2(ω )
[]()
2
pj
( ω)Zj
Z
22
pZ
( ω )
+
kp A p j
11
ω
+
1
− чисто мнимая величина, то вычет
мнимая величина.
5.
K не имеет полюса при Р = 0 и Р = ∞. Действительно, ес-
12XX
ли
(0) 0Z = , а
11
(0)Z постоянная величина, то при
12
ственных составляющих (
(0) 0Z ≠ , то 12(0)Z должна быть постоянной. Однако, если
12
11 22 12
2
Z
=+
′
12
12
1
′
111
kp A
11
pj
=
.
ω
1
()
pj
( ω )
−=
1
−
′
Z
11
11
2
).
0rr r
≥
pj
=
ω
1
0r
нарушается условие для веще-
pj
=
.
1
12
X
− чисто
K
4.4. Условия Фиалкова - Герста
Неуравновешенный четырехполюсник (рис. 50) может быть пред-
ставлен схемой замещения (рис. 51).
73
Введение в синтез пассивных цепей
Z
Z
−
Z
−
+
−
+
−
+
Z
Z
−
Z
Z
Z
<
−
Если
()
Z− ,
11 12
()
22 12
Z
и
− положительные вещественные
12
функции, то в полиномах их описывающих не могут появляться знаки
«минус».
Рис. 50
Тогда все
Z-параметры имеют одни и те же полюсы:
ap a p ap a
Zp
()
12
= ,
bp b p bp b
Zp
()
()
22
Z−
= ,
=
,
ba≥ ;
11
Zp
И так как
тельных членов, то 0
mn≤
()
11 12
a ≥ ;
i
или mk≤ в зависимости от того, что меньше n или k .
Рис. 51
mm
mm
nn
nn
cp c p cp c
kk
()
ii
−
kk
Z
22 12
ca≥ − условия Фиалкова-Герста.
ii
1
...
110
−
110
110
−
++ +
()
qp
1
...
++ +
qp
()
1
...
++ +
()
qp
и
не могут содержать отрица-
12
()
p
Так как
Kp
12
XX
()
коэффициенты при соответствующих степенях
12
= , то все коэффициенты не отрицательны,
p
()
11
Р в числителе меньше или,
по крайней мере, равны соответствующим коэффициентам знаменателя.
Следует отметить, что на вещественной оси выполняется соотношение
0(σ)1
K
12
XX
≤ .
Для уравновешенной цепи (рис. 52)
() () ()
UpUpUp
′′′′
K
XX
12
74
22 21 2 1
== ,
() ()
Up Up
′′
11 11
4. Синтез четырехполюсников
Z
Z
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢⎥⎣
Z
Z
Z
=
() ()
UpUp
′′′
K
12
XX
21 2 1
=−.
Up Up
() ()
′′
11 11
Рис. 52
Для уравновешенного четырехполюсника числитель
K может
12XX
иметь отрицательные коэффициенты. Условия Фиалкова-Герста в этом
случае
ba≥ ;
ii
ca≥ и
ii
1(σ)1
K−≤ ≤.
12
XX
4.5. Синтез передаточных функций четырехполюсников
Разница между синтезом только по входной функции (синтезом
двухполюсников) и синтезом по передаточной функции состоит в том, что
в первом случае задана только одна функция (входная); во втором случае
()
входную функцию (например
щих условий, определяемых передаточной функцией (например,
4.5.1. Симметричная ненагруженная скрещенная цепь
Мостовой четырехполюсник изображен на рис. 53.
=+
UZIZI
⎧
1111122
⎨
UZIZI
=+
⎩
2211222
′
′
⎡⎤
,
⎢⎥
⎣⎦
p ) реализуют с учетом ограничиваю-
11
11
+−
ZZ ZZ
()()
ZZ
11 12
ZZ
21 22
=
ba ba
22
11
()()
ZZ ZZ
−+
ba ba
22
()
12
⎤
⎥
.
⎥
⎥
⎦
p ).
Теорема. Если существует реализация в виде симметричной четы-
рехполюсной цепи, то для неё всегда можно использовать симметричную
скрещенную цепь (мостовой четырехполюсник).
Иными словами, если заданы
11
,
12
и
Z
11 22
, удовлетворяющие
условиям реализуемости, то всегда существует реализация в виде мостового четырехполюсника.
75
Введение в синтез пассивных цепей
Z
Z
Z
=
−
−
Z
Z
+
+
p
=
Из матрицы [Z]
ZZZZ
=−=−
11 12 22 12
a
ZZZ Z
=+=+
11 12 22 12
b
Так как ()
p − входная функция, положительная вещественная
функция, то для вещественных составляющих Re ( ω)
соотношение
11 22 12
2
при Re 0p≥ .
0rr r−≥
,
.
rZj
ik ik
Рис. 53
Если
rr= , то
11 22
22
11 12
≥ ,
0rr
()()0rrrr
11 12 11 12
−≥ или
справедливо
(Re )(Re ) 0
ZZ≥
ab
Так как
одним образом,
− положительные вещественные функции.
и
b
при Re 0p≥ .
0r > , то последнее выражение можно удовлетворить лишь
11
Re 0
Z ≥
a
и
Re 0
Z ≥
при Re 0p≥ . Это означает, что
b
Отсюда следует, что симметричная цепь всегда может быть скрещенной цепью (мостовой).
Пример 1. Пусть имеем
432
39752
Z
11
pppp
=
2 ( 1)(2 1)
ppp p
Z
=
12
2
pp p
432
2 ( 1)(2 1)
+−−
2
pp p
Тогда
432
28684
pppp
ZZ Z
=−= =
a
11 12
22 2 2
(1)4(1)2(1)
pp pp p
==
++ ++ +
2
(1)(21)
pp p
++
++++
pp p
2( 1)(2 1)
+++
,
++
32
.
++
2
++
2
42 2
pp p
++
++
(2 1) 2 1
ppp
a
+
.
76
4. Синтез четырехполюсников
p
p
+
Z
Z
Z
Z
p
′
=
pZp
+
p
′
p
R
′
+
=
Z
Z
p
432
ZZ Z
41082
=+= =
b
11 12
2(2 4 2 2 1)
32 2
pppppp
++ +++
==
pp p
2 ( 1) (2 1)
2
(21)2(21)(21)
pp pp p
==
++ ++ +
2
pp
(1)(21)
++
2 ( 1) (2 1)
2
++
ppp
+++
2
pp p
++
2
21 2
pp
++
22
pp
(1) (1)
1
=+
.
+
Реализуем
1.
имеет полюс при р = 0, который выделяется последовательно
a
a
и
включенной ёмкостью
′′′
ZZ
=+;
aaa
′
при
→∞
→ , т. е. представляет собой соединенные параллельно
Z
a
.
b
C :
0
′′
Z
a
′
=
a
21
2
=
1
;
C
при 0
lim 2
p
0
→
1
2
индуктивность и сопротивление (рис. 54).
( σ )
Zp
,
k=
22
k
=
lim
k
→−
p
ak
σ
k
p
1
pp
+
()
k
==
lim
2
p
→−
1
2( )
2
2
1
pp
+
2
1
R = ,
,
2
2
1
Ом
2
′
pZ
→
0
= ;
,
Z
0
→
a
,
σ
− ,
k
k
L === .
2
2
σ
2
C =
0
1
2
1
2
1
2
1
Ф
2
1 Гн
.
Таким образом,
2.
Z
′
b
ZZ
=+, 1
bbb
2
=
2
p
+
с параметрами
имеет вид рис. 55.
a
Рис. 54 Рис. 55
′′′
′′
Z
= Ом, реализуется сопротивлением.
b
реализуется параллельным колебательным контуром
1
77
Введение в синтез пассивных цепей
⎡
⎢
⎣
Z
Z
Z
Z
Z
p
22
′
1(ω )
=
lim
22
→−
p
′
Cp
2
ω
2
Zp
+
b
⎤
2
ω 1=,
,
⎥
2
2
C
⎦
1
′
= ,
2
2
Ф
′
2
1
==
2
ωLC
22
2 Гн
′
.
Таким образом,
И окончательно имеем мостовой четырехполюсник, изображенный
на рис. 57.
имеет вид рис. 56.
b
Рис. 56
Рис. 57
Рассмотрим метод реализации ненагруженной симметричной скрещенной цепи по одному заданному параметру
2
Действительно,
Необходимо найти
ZZ−= .
ba
и
a
12
.
b
12
.
Если ограничиться схемами с элементами двух типов (LC, RC или
RL), то можно применить разложение
12 3 12
Z
Пример 2. Пусть
=⋅
12
2
2Z на простые дроби.
12
32
−+ −
(9)(2)
pp
pp
2
++
.
78
4. Синтез четырехполюсников
p
=
p
+
Z
Z
p
+
p
⋅
Z
Z
Z
Z
23
Тогда
2
ZZZ
12
==−
−= =
ba
3( 2) 2( 9) 3 2
ppp pp
+− +
22
(9)(2) 9
pp p
++ +
36218
pp p
+− −
2
++
(9)(2)
pp
2
.
2
p
Реализуем
a
и
.
b
2
1.
Z
=
a
p
представляет собой параллельно соединенные индук-
+
2
тивность и сопротивление (рис. 54) .
( σ )2( 2)
Zp pp
Rk
== = =
22
lim 2 Ом
→−
p
a
σ
2
L === .
ppp
k
2
2
σ 2
2
3
2.
Z
=
b
p
реализуется параллельным колебательным контуром с
2
9
+
параметрами
1(ω )3(9)1
===
22 2
pp
′
Cp
2
⎡⎤
lim lim 3
⎢⎥
ω 9
→− →−
2
⎣⎦
C
22 2
Zp pp
′
2
++
b
1
= ,
3
Ф
2
′
===
2
2
+
(2)
+
2
1 Гн
2
+
(9)
pp
1131
2
′
ωLC
22
93
Гн
Ф
.
.
2
,
ω 9= ,
2
Полученное решение не единственное, так как любую положительную вещественную функцию
при этом
12
.
И окончательно имеем мостовой четырехполюсник (рис. 58).
можно добавить к
0Z0
Рис. 58
и
a
, не изменяя
b
79
Введение в синтез пассивных цепей
Z
Z
Z
I
Z
A
A
Z
Z
дроби
Вычеты в полюсах
и
a
порознь были положительными вещественными функциями.
b
необходимо распределять так, чтобы простые
12
4.5.2. Мостовой четырехполюсник
постоянного характеристического сопротивления
При синтезе амплитудных и фазовых корректоров и линий задержки применяются мостовые четырехполюсники постоянного характеристического сопротивления − фазовые контуры (рис. 59).
Рис. 59
Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника определяются из системы параметров прямой передачи
⎧
UAUAI
⎪
⎨
⎪
⎩
AZZ
ZZZgAA gAA
CM a b
12
== === = =
21
,ch ,sh
=+
1112122
AU A I
=+
1212222
11 22 12 21
ab
ZZ ZZ
ba ba
,
.
+
−−
2
Z
ab
Коэффициент передачи по напряжению мостового четырехполюсника
UU Z
K
U
22
== =
UAUAIAZA
111212211 12
++
H
H
.
При согласованной нагрузке
ZZ
K
==
CM
HCM
ZAAZ A
++
11 12 11 12
HCM
.
.
80
Подставив в эту формулу значения первичных параметров, получим
K
CM
CM a
=
CM a
Z
−
.
Z
+