Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Актуарная и финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
1
И.Ю. Выгодчикова
АКТУАРНАЯ
И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
2
УДК 330.4
ББК 65.05
В92
Автор:
Выгодчикова И.Ю. — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры
дифференциальных уравнений и математической экономики
Саратовского национального исследовательского
государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
Рецензенты:
Рыхлов В.С. — д-р физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой
дифференциальных уравлений и математической экономики
Саратовского национального исследовательского
государственного университета имени Н.Г. Чернышевского;
Сидоров С.П. — д-р физ.-мат. наук, доц., зав. кафедрой
теории функций и стохастического моделирования
Саратовского национального исследовательского
государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
Выгодчикова, Ирина Юрьевна.
В92 Актуарная и финансовая математика : учебное пособие / И.Ю. Вы-
годчикова. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 81 с. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-5121-8
Учебное пособие предназначено для студентов, владеющих основами финансовой математики, математической статистики, методов оптимизации и принятия решений. В издании даются необходимые для решения задач формулы и ссылки на литературу. Книга знакомит читателя с приемами оценки процессов, связанных со сбережением капитала, и получения гарантий их сохранения на далекие годы вперед, что достигается страхованием,
надежными инвестициями и грамотной диверсификацией капитала. В издании рассмотрены
простейшие схемы актуарных и финансовых расчетов и более сложные приемы получения
количественных показателей исследуемых процессов.
Подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.
Предназначено для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей и
направлений подготовки высшего образования «Экономика и управление» и направления
подготовки «Прикладная информатика (в экономике)», изучающих дисциплины «Актуарная
математика» и «Финансовая математика». Учебное пособие будет интересно людям, глубоко интересующимся финансовыми рычагами управления капиталом, ученым, управляющим
финансовых предприятий, финансовым аналитикам.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-5121-8 © Выгодчикова И.Ю., 2026
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
3
Учебное издание
Выгодчикова Ирина Юрьевна
Редактор Е.А. Шугар
Технический редактор, компьютерная верстка А.А. Балакирева
Корректор Б.Д. Вафин
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова, фотобанк Freepik
Подписано к использованию 18.12.2025. Объем данных 6,5 Мб.
ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа»
8 800 555 22 35 (бесплатный звонок по России)
E-mail: sales@iprmedia.ru
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 6
1. ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ ............................................................................... 9
1.1. Простые и сложные проценты, эффективная ставка ........................................ 9
1.2. Учетная ставка по простым процентам
(банковское дисконтирование) ................................................................................ 14
1.3. Самостоятельное задание. Оценивание банковского
кредитного риска с использованием кредитных историй ..................................... 16
1.4. Задания по теме: реструктуризация задолженности,
эквивалентные процентные ставки для разных схем кредитования .................... 17
Самостоятельная работа ........................................................................................... 19
2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ ..................... 21
Финансовая рента ...................................................................................................... 21
Задачи для самостоятельного решения ................................................................... 27
3. МЕТОДЫ КРЕДИТНЫХ РАСЧЕТОВ ........................................................... 28
Погашение долга в рассрочку (схемы А, В, С) ...................................................... 28
Задачи с ответами ...................................................................................................... 36
Тест ............................................................................................................................. 37
4. ФИНАНСОВЫЙ ЛИЗИНГ ................................................................................ 41
Финансовый лизинг как форма долгосрочного кредитования ............................. 41
Самостоятельное задание ......................................................................................... 43
5. ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВЛОЖЕНИЙ КАПИТАЛА ................. 44
5.1. Показатели эффективности инвестиций .......................................................... 44
5.2. Оценка стоимости акций ................................................................................... 46
5.3. Оценка стоимости облигаций ........................................................................... 50
6. АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ В СТРАХОВАНИИ ............................................ 53
6.1. Терминология в страховании ............................................................................ 53
6.2. Расчет тарифных ставок .................................................................................... 54
6.3. Условная и безусловная франшиза ................................................................... 55
5
6.4. Страховой портфель и коллективные риски ................................................... 56
6.5. Перестрахование ................................................................................................. 57
7. МИНИМАКСНАЯ МОДЕЛЬ РИСКА ............................................................ 62
7.1. Математическая формализация задачи ............................................................ 62
7.2. Метод решения ................................................................................................... 63
ИТОГОВОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ........................................................................... 66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................................... 77
ПРИЛОЖЕНИЯ ....................................................................................................... 78
Приложение А. Пример расчета страхового возмещения
по системе пропорциональной ответственности и системе
первого риска с учетом безусловной франшизы.................................................... 78
Приложение Б. Пример расчета страхового платежа
и страхового возмещения с условной франшизой ................................................. 79
Приложение В. Коллективные риски — расчет вероятности
страховых выплат ...................................................................................................... 80
Приложение Г. Перестрахование — пример расчета
комиссий и премий .................................................................................................... 81
6
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие «Актуарная и финансовая математика» предназначено
для обучения студентов навыкам финансовых и актуарных расчетов. Дается
аппарат финансовой математики с целью применения актуарных расчетов в области страхования, накопительных процессах, долгосрочном инвестировании
капитала с целью сбережений. Актуарная математика дает аппарат оценивания
финансовых, экономических, социальных процессов, связанных с необходимостью ожидания получения отдачи от вложенного капитала, как правило, достаточно длительного.
Курс включает понятие страхования и перестрахования, аппарат расчета
тарифных ставок, методику оценки страховых взносов, технику финансовых
расчетов, оценку ценных бумаг, разработку схем кредитования.
Учебное пособие включает продвинутые разделы финансовой и актуарной математики — оценку нестандартных рент, оценку ценных бумаг, портфельные инвестиции в страховании. Применение подхода портфельного инвестирования в страховании выполнено с использованием авторской модели оптимального распределения риска.
Учебное пособие включает богатый математический аппарат, сложные
калькуляции. Для выполнения расчетов целесообразно пользоваться MS Excel
или онлайн-аналогами. Оформление результатов решения задачи студентом
выполняется в рабочей тетради. Нужно описать постановку задачи, ввести обозначения, привести формулы с комментариями, применить их с подробным
описанием, прокомментировать результаты.
Целью дисциплины является знакомство студентов с методами актуарных и финансовых расчетов для грамотного принятия экономических решений.
К задачам следует отнести формирование у магистрантов твердых знаний и практических навыков актуарных расчетов и финансового анализа с использованием современных прикладных программ на базе обоснованных математических методов и моделей.
В результате изучения дисциплины «Актуарная и финансовая математика» студенты должны:
1) знать современные методы финансовых и актуарных расчетов, управ-
ления капиталом;
2) уметь анализировать инвестиционные процессы, принимать инвести-
ционные решения; оценивать риски, разрабатывать стратегии инвестора на
рынке ценных бумаг;
3) владеть современными методами и инструментальными средствами
финансовых и актуарных расчетов, управления капиталом.
7
Навыки по актуарным расчетам. Магистранты должны быть способ-
ными ответить на следующие вопросы:
1. Стороны страховых отношений. Страховщик, страхователь, перестра-
ховщик, цедент.
2. Структура нетто-премии. Страховой тариф, структура страхового взно-
са (брутто-премии).
3. Коммутационные числа.
4. Принципы тарифной политики в страховании.
5. Расчет страховых тарифов для различных отраслей страхования.
6. Убыточность страховой суммы, расчет тарифной нетто- и брутто-
ставки.
7. Оценка возмещения по страховому договору в зависимости от страхо-
вой суммы и условий договора (размер ущерба, учет франшизы).
8. Системы страхового возмещения ущерба (обзор).
9. Принцип страхового возмещения ущерба.
10. Возмещение ущерба по системе первого риска.
11. Система пропорционального возмещения ущерба в случае неполного
страхования.
12. Система возмещения ущерба, предусматривающая франшизу.
13. Страхование предпринимательского риска по системе предельной от-
ветственности.
14. Риски страхователя и страховщика. Индивидуальный риск страхо-
вателя.
15. Расчет величины рисковой премии в зависимости от вероятности
ущерба страхователя.
16. Математическая основа баланса взносы-выплаты для страховщика.
17. Использование принципа эквивалентности ожидаемых возмещений и
накопленных премий для расчета рисковой ставки с учетом времени (дисконтирующий множитель считать постоянным).
18. Основные определения и термины в перестраховании.
19. Типы договоров о перестраховании.
20. Стороны договора перестрахования.
21. Коэффициент перестрахования.
22. Виды комиссионного вознаграждения в перестраховании.
8
Перечислим навыки, полученные в результате освоения курса, по основ-
ным методам финансового менеджмента:
- способность принятия финансовых решений;
- грамотное оценивание капитала и финансовых активов;
- способность сбалансировать риски инвестирования в несколько проек-
тов путем применения математической оптимизационной задачи.
Автор выражает благодарность лаборатории дифференциальных уравнений и методов оптимизации Саратовского государственного университета
имени Н.Г. Чернышевского за предоставленную компьютерную технику для
составления учебника.
9
1. ФИНАНСОВЫЕ РАСЧЕТЫ
Приводятся основные формулы, применяемые при финансовых расчетах,
даются задания для выполнения с указанием хода решения. Рассматриваются
вычисления с одной денежной суммой и с потоковыми денежными процессами.
1.1. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ, ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА
Базовые вычисления основаны на использовании одной денежной суммы,
к которой применяются финансовые операции. Основой являются простые
проценты, когда база начисления не меняется. При начислении простых процентов на исходную сумму с процентами возникают сложные проценты.
Обозначения: S(0) — начальная сумма, T — срок сделки в годах (если
рассматривается месяц, день и проч., необходимо пересчитывать процентную
ставку на указанный срок), итоговая сумма с учетом r % годовых — S(T).
Схема простых процентов1:
)1()0()( rTSТS +=
.
(1.1)
Схема сложных процентов:
T
rSTS )1()0()( +=
2
(1.2)
(при начислении сложных процентов ежегодно);
( )
mT
mrSTS
+= /1)0()(
(1.3)
(при начислении сложных процентов m раз в году);
( )
rT)S(TS = exp0)(
(1.4)
(при начислении сложных процентов непрерывно, т.е. когда m «бесконечно»
велико).
1
Наращение — это вычисление будущей стоимости S(T) текущей денежной суммы S(0). Дисконтиро-
вание — это вычисление текущей стоимости S(0) будущей денежной суммы S(T). Комиссия — это снятие процентов за осуществление финансовой операции.
2
В формуле (1.2) процентная ставка является эффективной, и только в этой формуле.
10
Учетная ставка по сложным процентам (d) — это ставка, эквивалентная ставке наращения r, позволяющей вернуть вложенные средства: если
T
rSTS )1()0()( +=
,
то
T
dТSS )1()()0( −=
,
поэтому
1 – d = 1 / (1 + r),
т.е.
)1/( ddr −=
;
)1/( rrd +=
.
Капитализация процентов — это присоединение процентов к базе
начисления. При капитализации простые проценты участвуют в процессе
начислений процентов на первоначальную базу с учетом начисленных процентов и тем самым порождают сложные проценты.
В банковской практике принято капитализировать проценты на дату осуществления операции. В данном случае используются точное число дней в году
(365 или 366) и точное число дней операции.
Пример. Вклад 300 000 руб. сделан 12.02.2025 (капитализация ежемесячно, 4 % годовых), вычислить накопленные проценты к 12.04.2025.
Решение. Через месяц, 12.03.2025, будет начислено
28 / 365 ⸱ 4 % = 0,30685 %,
поэтому сумма процентов за месяц составит:
0,0030685 ⸱ 300 000 руб. = 920 руб. 55 коп.
Общая сумма вклада достигнет 300 920 руб. 55 коп. Далее, 12.04.2025 на
текущую сумму вклада будет начислено
31 / 365 ⸱ 4 % = 0,339726 %,
0,00339726 ⸱ 300 920 руб. 55 коп. = 1 022 руб. 31 коп.
Таким образом, через два месяца, 12.02.2025, вы сможете снять накопленные проценты в размере 1 942 руб. 86 коп., а сумма 300 000 руб. останется
на счете для дальнейшего накопления процентов.
Если даты операции не известны, то нужно пользоваться приближенными вычислениями (в каждом месяце 30 дней) и обыкновенной базой расчетов (360 дней в году).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]