Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Актуарная и финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
61
Вопросы для контроля знаний
по актуарным расчетам в страховании
1. Стороны страховых отношений. Страховщик, страхователь, перестра-
ховщик, цедент.
2. Структура нетто-премии. Страховой тариф, структура страхового
взноса (брутто-премии).
3. Коммутационные числа.
4. Принципы тарифной политики в страховании.
5. Расчет страховых тарифов для различных отраслей страхования.
6. Убыточность страховой суммы, расчет тарифной нетто- и брутто-
ставки.
7. Оценка возмещения по страховому договору в зависимости от страхо-
вой суммы и условий договора (размер ущерба, учет франшизы).
8. Системы страхового возмещения ущерба (обзор).
9. Принцип страхового возмещения ущерба.
10. Возмещение ущерба по системе первого риска.
11. Система пропорционального возмещения ущерба в случае неполного
страхования.
12. Система возмещения ущерба, предусматривающая франшизу.
13. Страхование предпринимательского риска по системе предельной
ответственности.
14. Риски страхователя и страховщика. Индивидуальный риск страхователя.
15. Расчет величины рисковой премии в зависимости от вероятности
ущерба страхователя.
16. Математическая основа баланса взносов-выплат для страховщика.
17. Использование принципа эквивалентности ожидаемых возмещений и
накопленных премий для расчета рисковой ставки с учетом времени (дисконтирующий множитель считать постоянным).
18. Основные определения и термины в перестраховании.
19. Типы договоров о перестраховании.
20. Стороны договора перестрахования.
21. Коэффициент перестрахования.
22. Виды комиссионного вознаграждения в перестраховании.
62
7. МИНИМАКСНАЯ МОДЕЛЬ РИСКА
Авторская модель может применяться для распределения средств (например, в форме инвестиций) или привлечения клиентов (к примеру, для предоставления им услуг страхования) в совокупности и позволяет оптимально распределить риски возможных потерь.
7.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
Пусть
i
— неизвестная переменная, обозначающая долю i-го актива в
портфеле, соответственно, обозначим
),...,(
1 n
=
— вектор неизвестных до-
лей активов (эти компоненты нужно получить в результате решения оптимизационной задачи). Оценки рисков входящих в портфель активов обозначим че-
рез Vi > 0,
ni ,1=
.
В качестве оценки риска портфеля рассмотрим максимальную рисковую
оценку активов с учетом их долей в портфеле:
ii
ni
V
,1
max)(
=
=
.
Требуется равномерно распределить риски (Vi) между всеми составляющими портфель активами, взвесив их по долям в портфеле, за счет выбора этих
долей:
,minmax)(
,1
D
ii
ni
V
=
→=
(7.1)
.}1:),...,({
1
1
=
===
n
i
i
n
n
RD
(7.2)
Множество (7.2) не предполагает наложения каких-либо дополнительных
ограничений на структуру портфеля. Пусть при заданных доходностях активов
η
1
> ... > ηn задано также ограничение на доходность портфеля ηp, тогда получа-
ем модель:
,minmax)(
,1=
→=
ii
ni
V
(7.3)
63
.},1:),...,({
1 1
1
= =
====
n
i
n
i
piii
n
n
R
(7.4)
Множество (7.4), в отличие от множества (7.2), содержит дополнительное
требование к доходности инвестиционного портфеля.
Поскольку отказаться от получения боле высокой доходности можно только
имея перспективу снижения риска, считаем η1 > ... > ηn > 0 и V1 > ... > Vn > 0.
7.2. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Автором издания получены следующие утверждения:
Теорема 7.1. Решением задачи (7.1)–(7.2) является вектор
),...,(
**
1
*
n
=
с компонентами:
=
=
−
n
i
iii
VV
1
1*
1
,
ni ,1=
.
(7.5)
Положим:
=
−
=
n
i
i
V
1
1
,
=
−
=
n
i
ii
V
1
1
,
/
*
=
p
.
Теорема 7.2. В зависимости от
p
, решением задачи (7.3)–(7.4) является
),...,(
**
1
*
n
=
:
1) при
*
pp
=
,
)/(1
*
ii
V
=
,
ni ,1=
;
2) при
,
*
1 pp
)(
*
ni
np
i
V −
−
=
,
1,1 −= ni
,
)/()/)(.../)((
1111
*
nnpnpn
VV −−++−=
−−
;
если
1
)/1/()/(
−−
pnnn
VV
, то
0*
n
;
3) при
*
ppn
,
)(
1
1
*
−
−
=
i
p
i
V
,
ni ,2=
,
)/()/)(.../)((
122
*
1
−−++−=
npnp
VV
;
если
np
VV
−− )/1/()/(
111
, то
0
*
1
.
64
Задачи (вариант i, количество букв в имени плюс модуль разности между
номером текущего месяца (от 1 до 12) и количеством букв в фамилии студента).
1. Оценить доли инвестирования страховых компаний, для которых риск
потери устойчивости (финансовый левередж), соответственно, 0.6, 0.9, 1 + i / 30.
Применять минимаксную модель долевого распределения инвестиций по риску
компонент.
2. Оценить доли инвестирования страховых компаний, для которых риск
потери устойчивости (финансовый левередж), соответственно, 0.6, 0.9, 1 + i / 30), а
рентабельности собственного капитала, соответственно, (1 + i) %, (3 + i) %, 25 %.
Ожидаемая доходность портфеля — 19 %. Применять минимаксную модель долевого распределения инвестиций.
3. Оценить доли инвестирования страховых компаний, для которых риск
потери устойчивости (финансовый левередж), соответственно, 0.6, 0.9, 1 + i / 30), а
рентабельности собственного капитала, соответственно, (1 + i) %, (3 + i) %, 25 %.
Ожидаемая доходность портфеля — 19 %. Общий объем активов (итого по балансу) соответственно, 450 000 млн руб., 1 000 000 млн руб., 288 000 млн руб. Применять минимаксную модель долевого распределения инвестиций и коррекцию на
объем активов.
Замечание. Корректировка. x1, ..., xn корректируем по позитивным показателям w1, ..., wn, S = x1 + ... + xn. Считаем ww = x1 ⸱ w1 + ... + xn ⸱ wn. Корректированный x (xxi = S ⸱ xi ⸱ wi / ww), i = 1, ..., n.
4. В качестве показателя риска рассматривается вероятность невозврата
кредита, рассчитанная на основании истории кредитования страховых компаний
в этом банке. Рассмотрим кредитование 4-х компаний (клиентов) сроком на 1 год
под 21, 18, 15 и 14 % годовых, соответственно, с условием возврата полной суммы кредита и процентов в конце срока. Первый клиент обращается в банк первый раз, следовательно, кредитная история отсутствует, второй клиент обращается в банк в пятый раз и имеет безупречную кредитную историю, третий клиент
обращается в банк уже в 14-й раз, но имеет одну проблемную ситуацию возврата
кредита, четвертый клиент обращается в банк уже 29-й раз и проблем с возвратом кредита ни разу не имел. Запрос каждого клиента 8 000 000 руб., причем
каждый клиент не откажется и от меньшей суммы кредита. Предположим, что
банк оценивает объем свободных ресурсов (долгосрочные депозиты и прибыль
от операций на фондовом и валютном рынках, а также прибыль от посредниче-
65
ских, лизинговых, депозитарных и прочих операций) на уровне 8 000 000 руб.
Нужно найти объем кредитования каждого клиента, если от проведения этих четырех операций банк ожидает получить 1 280 000 руб. дохода (16 %).
Вероятности невозврата кредита каждым клиентом: 1/2, 1/6, 2/15 и 1/30,
соответственно (риски). Ответ (получить!) — объем кредитования каждого
из 4-х клиентов: (округлено сильно, примерно) 703 тыс. руб., 2 110 тыс. руб.,
2 637 тыс. руб. и 2 550 тыс. руб.
Самостоятельное задание (i — количество букв в имени, j — число выполнения задания (число месяца), k — номер месяца выполнения задания (от 1
до 12)).
1. Максимальная страховая сумма всех застрахованных объектов для
страховщика, с учетом принимаемых рисков, составляет 100 млн руб., компания осуществляет страхование по трем направлениям. Найти, на какую максимальную сумму целесообразно выполнить страхование по каждому направлению, если средние убыточности страховых сумм по каждому направлению составляют, соответственно (в %), 0,1 + j / 30, 0,9 – k / 15, 0,4 + i / 30.
2. Максимальная страховая сумма всех застрахованных объектов для
страховщика, с учетом принимаемых рисков, составляет 100 млн руб., компания осуществляет страхование по трем направлениям. Найти, на какую максимальную сумму целесообразно выполнить страхование по каждому направлению, если средние убыточности страховых сумм по каждому направлению составляют, соответственно (в %), 0,1, 0,9, 1,4, а средние тарифные ставки по
данным направлениям — i / j %, (i + k) / j % и (1 + (i + k) / j) %, соответственно,
тарифная ставка по портфелю — (i + k) / j %.
66
ИТОГОВОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ
Тест по финансовой математике
1. Найти риск (вероятность невозврата), заемщик впервые обратился в
банк.
Указание. Риском будет вероятность невозврата кредита (на основании
кредитных историй) = количество прежних проблем плюс 1 / количество всех
обращений, не включая текущее, плюс 2 («/» — деление):
- половина целого;
- треть целого;
- четверть целого;
- риск отсутствует.
2. В банк вкладывается по 30 000 пренумерандо 5 месяцев. Ставка — 7 %,
капитализация — ежемесячно. Через полгода (с начала операции) перекладывают в другой банк (на 6 месяцев) под 7,45 % по простым %. Через год (с начала
операции) накопленная сумма снимается. Параллельно онлайн-вклад, 8 % капитализации ежемесячно, взносы по 10 000 ежемесячно постнумерандо, 12 месяцев. Сколько всего накопится через год (с начала операции)? Округлить до тыс.
руб., «тыс. руб.» отбросить, например, если получилось 111,54 тыс. руб., даете ответ 112.
3. На банковском депозитном счете — 5 млн руб. Процентная ставка составляет 6 % годовых, проценты капитализируются ежемесячно. Вы планируете снимать ежемесячно некоторую сумму (в конце месяца), каждая следующая
сумма убывает на 5 тыс. руб. Через 3 года вклад закрывается. Найти первую
сумму, снятую со счета. Округлить в ответе в руб. до 1 знака после запятой.
Если у Вас получилось 23 123 руб. 24 коп., то ответить 23 123,2 руб.
4. На банковском депозитном счете — 5 млн руб. Процентная ставка со-
ставляет 6 % годовых, проценты капитализируются ежемесячно. Вы планируете снимать ежемесячно некоторую сумму (в конце месяца), каждая следующая
сумма убывает на 5 тыс. руб. Через 3 года вклад закрывается. Найти первую
сумму, снятую со счета. Округлить в ответе в руб. до 1 знака после запятой.
Если у Вас получилось 23 123 руб. 24 коп., то ответить 23 123,2 руб.
67
5. Занято 34 000 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным процен-
там. Отдавать этот заем нужно в рассрочку (равными суммами) в конце каждого года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке 17 %.
Дать ответ в формате 14,25 % (после запятой 2 знака % нужно и пробел).
6. Занято на 5 лет 1,2 млн руб. под 12 % годовых, начисляемых по схеме
сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года (проценты включаются). Найти остаток основного
долга в начале 5-го года кредитования (если у Вас получилось 1 000 450,59 руб.,
округлить до рублей! только число без букв руб.!)
7. Банк предоставил ссуду в размере 10 млн руб. на 521 день (в году 365 дней)
под 28 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при начислении сложных процентов:
- 14 274 тыс. руб.;
- 14 284 тыс. руб.;
- 14 225 тыс. руб.;
- 14 224 тыс. руб.
8. Банк предоставил ссуду в размере 10 млн руб. на 521 день (в году 365 дней)
под 28 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Рассчитайте возвращаемую сумму при начислении сложных процентов. Округлить до тысячных,
пример ответа (через пробел тыс. руб) — 10 762 тыс. руб.
9. Найти риск (вероятность невозврата), заемщик впервые обратился в банк.
Указание. Риском будет вероятность невозврата кредита (на основании
кредитных историй) = количество прежних проблем плюс 1 / количество всех
обращений, не включая текущее, плюс 2 («/» — деление). В ответе оставить 1
знак после запятой, например: 0,2.
10. Занято 120 000 руб. на 5 лет под 10 % годовых по сложным процентам. Если отдать этот заем в режиме аннуитета ежемесячно в конце месяца, каков размер единичного платежа? (если у Вас получилось 1 000 450,59 руб.,
округлить до рублей! только число без букв руб.!)
68
11. Занято 34 000 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным про-
центам. Отдавать этот заем нужно в рассрочку (равными суммами) в конце
каждого года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке
17 %. Дать ответ в формате 0,1425 (после запятой 4 в долях).
12. Занято 34 000 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным процен-
там. Отдавать этот заем нужно в рассрочку (равными суммами) в конце каждого
года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке 17 %. Дать
ответ в формате 14 % (после запятой 0 знаков % нужно и пробел).
13. Занято 34 000 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным процен-
там. Отдавать этот заем нужно в рассрочку (равными суммами) в конце каждого
года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке 17 %. Дать
ответ в формате 14,25 % (после запятой 2 знака % нужно и пробел).
14. Занято на 5 лет 1,2 млн руб. под 12 % годовых, начисляемых по схеме
сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года (проценты включаются). Найти остаток основного
долга в начале 5-го года кредитования (если у Вас получилось 1 000 450,59 руб.,
округлить до рублей! только число без букв руб.!).
15. Занято 34 000 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным про-
центам. Отдавать этот заем нужно в рассрочку (равными суммами) в конце
каждого года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке
17 %. Дать ответ в формате 14,25 % (после запятой 2 знака % нужно, про-
бел не нужен).
16. Долевые ценные бумаги (1 слово, 5 букв, множественное число).
17. Банк предоставил кредит на год 20 % годовых, возвращать в конце го-
да. Клиент решил погасить кредит через 4 месяца. Банк согласился, предложив
клиенту заплатить за 4 месяца дополнительно к основной сумме накопленной
задолженности ещё 7 % от исходного размера кредита. Вычислить эффективную ставку для первоначальных условий и досрочного погашения. В ответе
первой дается ставка для первоначальных условий (округлить до 1 знака
после запятой и поставить знак %, разделить пробелом, пример подачи ответа: 23,9 % 20,1 %).
69
18. Пропущено слово на 6 букв. Технический ... рынка ценных бумаг со-
средотачивается исключительно на изучении обращения на рынке ценной бумаги в динамике (на основании тенденций изменения цен и объемов торговли
ценными бумагами в прошлом осуществляется предвидение изменения цен в
будущем, и инвестор совершает сделку или ждет сигнала).
19. В начале каждого года (4 года) в банк вносится по 170 000 руб. (капитализация ежемесячно, 10 % годовых). Через 4 года 700 000 снимаются (строительство бани). После этого на счет ежемесячно (в начале месяца добавляется
по 10 000 руб. в течение 1,5 лет. Прежняя сумма остается. Хватит ли накопленной на счете суммы (через 5,5 лет), чтобы выкупить дополнительную землю
под бассейн? Выкупная цена — это современная стоимость арендных платежей
в режиме «вечной» ренты.
Условия: 8 % годовых (начисление ежемесячное), платежи по 1 800 руб. в
начале каждого месяца?
В ответе дать одно из двух: не хватит или хватит.
20. На банковском депозитном счете 5 млн руб. Процентная ставка составляет 6 % годовых, проценты капитализируются ежемесячно. Вы планируете снимать ежемесячно некоторую сумму (в конце месяца), каждая следующая сумма
убывает на 5 тыс. руб. Через 3 года вклад закрывается. Найти первую сумму, снятую со счета. Округлить в ответе в руб. до целых. Если у Вас получилось
23 123 руб. 24 коп., то ответить 23 123 р., знак р. нужно без пробела.
Ответы к тесту по актуарной математике (в порядке следования): 1;
284; 236919,9 руб.; 236919,9руб.; 21,14 %; 297225; 4; 14220 тыс. руб; 0,5; 2500;
0,2114; 21 %; 21,14 %; 297225; 21,14 %; акции; 20,0 % 22,5 %; анализ; хватит;
236920р.
Тест по актуарной математике
1. Определить долю первого актива в структуре оптимального портфеля
равномерного риска с требуемой доходностью 8,91 %, если доходности активов
9,8 %, 9,44 %, 8,9 %, 8,2 %, а риски, соответственно, 3,6933 %, 3,4746 %,
3,2192 %, 3,0135 %:
- приблизительно 10 %;
- более 20 %;
- менее 1 %.
70
2. Рыночная цена облигации с периодом погашения 2 года составляет
95 % от номинальной цены, годовой купон выплачивается раз в год (в конце
года) в размере 4 %. Рассчитать доходность к погашению. Рассчитать внутреннюю норму доходности:
- доходность к погашению — 6,76 %. Внутренняя норма доходности —
6,84 %;
- доходность к погашению — 6,51 %. Внутренняя норма доходности —
6,82 %;
- доходность к погашению — 6,84 %. Внутренняя норма доходности —
6,76 %.
3. Рассмотрим кредитование 4-х клиентов сроком на 1 год под 21 %, 18 %,
15 % и 14 % годовых, соответственно, с условием возврата полной суммы кре-
дита и процентов в конце срока. Первый клиент обращается в банк первый раз
(кредитная история отсутствует), второй клиент обращается в банк в пятый раз
и имеет безупречную кредитную историю, третий клиент обращается в банк в
14-й раз, но имеет одну проблемную ситуацию возврата кредита, четвертый
клиент обращается в банк 29-й раз и проблем с возвратом кредита ни разу не
имел. Запрос каждого клиента 800 000 руб., причем каждый клиент не откажется и от меньшей суммы кредита. Предположим, что банк оценивает объем свободных ресурсов (долгосрочные депозиты и прибыль от операций на фондовом
и валютном рынках, а также прибыль от посреднических, лизинговых, депозитарных и прочих операций) на уровне 800 000 руб. Нужно найти объем кредитования каждого клиента, если от проведения этих четырех операций банк
ожидает получить 128 000 руб. дохода (16 % от 800 000):
- 70 930 руб., 210 389 руб., 263 736 руб. и 254 945 руб.;
- 70 330 руб., 210 989 руб., 263 736 руб. и 254 945 руб.;
- 70 830 руб., 210 989 руб., 264 736 руб. и 254 345 руб.
4. Занято 12 500 000 руб. на 8 лет под 10 % годовых по сложным процен-
там. Нужно отдавать этот заем в рассрочку (равными суммами) в конце каждого года. Вычислить относительный грант-элемент при рыночной ставке 17 %.
Дать ответ в формате 14,25 % (после запятой 2 знака % нужно и пробел).
5. Занято 120 000 руб. на 5 лет под 10 % годовых по сложным процентам.
Если отдать этот заем в режиме аннуитета ежемесячно в конце месяца, каков
размер единичного платежа? (если у Вас получилось 1 000 450,59 руб. округ-
лить до рублей! только число без букв руб.!)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]