Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Актуарная и финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
21
2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ РЕНТЫ
Как правило, в финансовых операциях участвуют множество денежных
платежей, проходящих в различные моменты времени. В таком случае нужно
оценить финансовый поток платежей данного финансового контракта. Для
оценки финансовых потоков применяются операции наращения или дисконтирования, в зависимости от того момента времени, на который выполняется
оценка. В разделе рассмотрены различные виды финансовых потоков, имеющих форму ренты — простой аннуитет, дробный аннуитет, линейная рента.
Представлены формулы и задания.
ФИНАНСОВАЯ РЕНТА
Финансовый поток платежей — это последовательность величин самих
платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.
Финансовые потоки могут задаваться моментальными или интервальными величинами. Будем считать, что суммы потока относятся к заданному моменту времени. Такой поток платежей можно представить как последовательность {(Rk, tk)} платежей Rk и моментов времени tk, к которым они относятся.
Рассмотрим конечный поток платежей
nk
kk
tR
,1
)},{(
=
. Пусть
k
r
,
nk ,1=
—
годовая ставка по сложным процентам для периода
kk
tt ;
1−
данного потока
платежей.
Величиной потока в момент времени tk называется сумма платежей потока, дисконтированных или наращенных к этому моменту времени.
Если поток конечный и Rn — последний платеж ФИНАНСОВОГО
ПОТОКА, то величина потока подсчитывается по формуле6:
+=
+=
−
−
=
−
=
−
+
−+
++++=
n
ki
i
kj
tt
jik
k
i
k
ij
tt
jik
jjjj
rRRrRtS
1
1
1
0
1
1
11
)1()1()(
.
(2.1)
Если r = rk,
nk ,1=
, то их общее значение r называется ставкой приведения
(ставкой дисконтирования). В таком случае формула (2.1) приобретает вид:
=
−
+=
n
i
tt
ik
ik
rRtS
0
)1()(
.
(2.2)
6
Выгодчикова И.Ю. Процентный анализ финансовых потоков: учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2008.
22
Величина S(t0) называется современной (начальной) величиной финан-
сового потока, S(tn) — конечной (наращенной) величиной потока.
При анализе финансовых платежей, имеющих характер потока, расчет
эффективной ставки производится на основании составления уравнения балан-
са с использованием в качестве ставки дисконтирования неизвестной эффективной ставки (которая и будет определена в результате решения уравнения).
Уравнение получается в результате приравнивания дисконтированных
или наращенных к выбранному моменту времени сумм, имеющих знак «–» (отток денег), к приведенным к тому же моменту суммам, имеющим знак «+»
(приток денег).
Приведем понятия по финансовым потокам7.
Финансовый поток положительных8 платежей с постоянными промежутками времени между соседними платежами называется финансовой рентой.
Финансовая рента с одинаковыми платежами в каждый период времени
носит название «аннуитет». Аннуитетные платежи поступают в режиме пост-
нумерандо или пренумерандо в зависимости от срока поступления платежей
(для аннуитета постнумерандо платежи поступают в конце очередного промежутка, а для аннуитета пренумерандо — в начале очередного промежутка).
Линейной (монотонной) рентой считается рента, платежи которой рас-
тут со временем по линейному закону.
Вечной рентой назовем ренту, платежи которой поступают бесконечно долго.
Простой аннуитет. Пусть денежные поступления R происходят ежегодно в течение n лет, причем:
t0 = 0, t1 = 1, ..., tn = n.
Начальная стоимость аннуитета постнумерандо составит
rn
RaS
;
)0( =
,
(2.3)
а будущая стоимость составит
rn
RsnS
;
)( =
,
(2.4)
7
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели: учеб-
ное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
8
Важно, что платежи одного знака (направления), в любой сделке две стороны, поэтому финансовые
платежи считаем положительными (с точки зрения одной из сторон контракта).
23
где a
n;r
и s
n;r
соответственно называются коэффициентом приведения и коэф-
фициентом наращения ренты и вычисляются по формулам9:
n
n
rn
rr
r
a
)1(
1)1(
;
+
−+
=
;
(2.5)
r
r
s
n
rn
1)1(
;
−+
=
.
(2.6)
Для аннуитета в режиме пренумерандо имеем:
)1)(0()0( rSS +=
;
)1)(()( rnSnS +=
.
Дробный аннуитет (р-кратная рента) — это поток платежей, осуществляемых равными суммами p раз в год через равные интервалы10.
Рассмотрим поток постнумерандо, Rp = R / p, R — общая сумма платежей
за год, разбитых на дробные (p-кратные) суммы.
Обычно известен дробный платеж Rp, поэтому вычислять его не требуется.
Пусть r — годовая процентная ставка по сложным процентам, сложные
проценты начисляются m раз в год через равные интервалы. Конечная сумма
потока через n лет:
( )
=
=
−
+
+=
+=
pn
i
p
mi
mn
p
pn
i
m
p
i
n
p
m
r
m
r
R
m
r
RnS
11
1
1
11)(
.
Используя формулу суммы первых
pn
членов геометрической прогрес-
сии с первым компонентом
p
m
m
r
+11
, знаменателем
p
m
m
r
+11
, конечная
(наращенная) величина аннуитета пренумерандо в дробном режиме составит:
11
11
)(
−
+
−
+
=
p
m
mn
p
m
r
m
r
RnS
.
(2.7)
9
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели: учеб-
ное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
10
Там же.
24
Современная величина дробного аннуитета постнумерандо вычисляется
по формуле:
−
+
+
−
+
=
+
=
111
11
1
)(
)0(
p
m
nm
nm
p
nm
m
r
m
r
m
r
R
m
r
nS
S
.
(2.8)
При m = p имеем 8:
r
p
r
RnS
pn
11
)(
−
+
=
.
(2.9)
Современная величина потока получается из формулы (2.9) с использованием дисконтирования:
r
p
r
p
r
R
p
r
nS
S
np
np
np
+
−
+
=
+
=
1
11
1
)(
)0(
.
(2.10)
Задача11. Для работ по ремонту дорог на территории фермерства государство перечисляет фермеру в конце каждого года 500 тыс. руб. Деньги поступают на специальный счет, и на них каждые полгода начисляются сложные
проценты, исходя из годовой ставки 4 %. Сколько денег накопится на счете через 5 лет?
Ответ: 2 710 327 руб.
Монотонной (линейной) называется рента, платежи по которой поступают в конце каждого временного промежутка (в определенном режиме), изменение величин платежей R(t) для такой ренты происходит по закону (2.11).
11
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели:
учебное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
25
R(t) =
tR +
,
1,0 −= nt
.
(2.11)
Пусть платежи выполняются в режиме постнумерандо, ставка приведения
r постоянна. В [3] доказаны следующие формулы.
Современная величина монотонной ренты постнумерандо:
( )
( ) ( )
.
r1
))1((
r1
)1)1((
)1(
)1)1((
0
1
2
1
n
n
n
n
n
n
r
nr
r
r
rr
rR
S
+
−+
+
+
−+
+
+
−+
=
−−
(2.12)
Конечная величина монотонной ренты постнумерандо:
( )
( )
( )
( )
( )
.
111
)1)1((
1
2
1
r
nr
r
r
r
rR
nS
nn
n
−+
+
−+
+
−+
=
−−
(2.13)
Если рента осуществляется в режиме пренумерандо, получаем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
r1
1
r1
11
)1(
)1)1((
0
1
1
1
2
1
1-n −
−
−
−
+
−+
+
+
−+
+
+
−+
=
n
n
n
n
n
r
nr
r
r
rr
rR
S
(2.14)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.1
111
)1)1((
1
2
1
r
r
nr
r
r
r
rR
nS
nn
n
+
−+
+
−+
+
−+
=
−−
(2.15)
Задача 1. На банковском депозитном счете — 5 млн руб. Процентная
ставка составляет 6 % годовых. Вы планируете снимать ежегодно некоторую
сумму (в конце года), каждая следующая сумма возрастает на 1 млн руб. Через
3 года вклад закрывается. Найти первую сумму, снятую со счета.
Ответ: 909 373,04 руб.
Задача 2. На банковском депозитном счете — 5 млн руб. Процентная
ставка составляет 6 % годовых, проценты капитализируются ежемесячно. Вы
планируете снимать ежемесячно некоторую сумму (в конце месяца), каждая
следующая сумма убывает на 10 тыс. руб. Через 2 года вклад закрывается.
Найти первую сумму, снятую со счета.
Ответ: 334 213,76 руб.
Бесконечной (вечной) рентой называется финансовая рента, последовательность платежей которой неограниченна.
Очевидно, что наращенная величина вечной ренты бесконечно велика.
26
Современная (текущая) величина (для простого аннуитета постнумерандо) составляет:
rRS /)0( =
.
Формула получается путем предельного перехода при устремлении срока n
к бесконечности в формуле современной стоимости аннуитета постнумерандо:
r
R
r
rR
rr
rR
S
n
n
n
n
⎯⎯ →⎯
+−
=
+
−+
=
→
))1/(11(
)1(
)1)1((
)0(
.
Современная (текущая) величина (для простого аннуитета пренумерандо)
составляет:
rrRS /)1()0( +=
.
Формула получается аналогично.
Задача. Бизнесмен арендовал коттедж за 1 млн руб. в год (платежи выполняются в конце года). Какова выкупная цена аренды при годовой ставке
сложных процентов 5 %?
Ответ: 20 млн руб.
Современная величина «вечного дробного» аннуитета постнумерандо вычисляется по следующей формуле:
( )
−
+
=
11
1
0
p
m
p
m
r
RS
.
Современная величина «вечного дробного» аннуитета пренумерандо вычисляется по следующей формуле:
( )
−
+
+
=
11
1
0
1
p
m
p
p
m
r
m
r
RS
.
27
Если p = m: то
( )
rRS /0 =
(как и для простого аннуитета постнумеран-
до). Современная стоимость «вечного линейного» аннуитета постнумерандо
находится по формуле:
( )
2
0
r
r
R
S
+=
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Если в Вашем имени нечетное число букв, то i = 2,4, иначе i =3,2.
1. В качестве оплаты за каждую из трех партий товара индивидуальный предприниматель (ИП) А получил от ИП В вексель с процентной ставкой в (10 + i) % годовых, содержащий обязательство выплатить суммы в размере 5,5 и 3 млн руб., соответственно, через 30, 90 и 180 дней. Эти векселя заменяются одним векселем с использованием той же ставки дисконтирования и сроком 60 дней. На какую сумму
будет выписан новый вексель (начисление производить по простым процентам, в году 365 дней)?
2. Решено в течение i лет ежегодно вносить в банк 100 000 руб. по схеме
пренумерандо с начислением сложных процентов (9 + i / 4) % годовых. Чему
равна сумма к получению в конце периода?
3. В фонд защиты животных ежегодно вносится 100 тыс. руб. в течение
i лет (в конце года). Годовая ставка по сложным процентам составляет (9 + i) %.
Найти современную величину потока.
4. Сделан онлайн-вклад 30 000 руб. с возможностью пополнения и ежемесячной капитализацией из расчета 15 % годовых сроком на 3 года. В течение
трех лет на счет вклада вносится по (55 ⸱ i) руб. (в конце каждого месяца).
Найти накопленную сумму.
5. Бизнесмен арендовал коттедж за 1 млн руб. в год (платежи выполняются в конце года). Какова выкупная цена аренды при годовой ставке сложных
процентов (13 + i / 4) %?
6. Господин X желает приобрести пенсионный контракт, по которому он
мог бы получать в конце каждого года по 500 000 pуб. в течение оставшейся
жизни. Страховая компания, используя таблицы смертности, оценила, что клиент сможет прожить (1 + i ⸱ 5) лет, и установила процентную ставку 12 % годовых по сложным процентам. Сколько нужно заплатить за контракт? Сколько
нужно предложить выплачивать ежемесячно (в конце каждого месяца), чтобы
г-н Х не отказался от новых условий контракта, заплатив за него ту же сумму?
28
3. МЕТОДЫ КРЕДИТНЫХ РАСЧЕТОВ
В разделе рассмотрены базовые схемы кредитования, даны задания для
контроля знаний.
Грант-элемент. Если кредит выдан на льготных условиях (ставка по кредиту g ниже рыночной ставки r), то кредитор несет потери, связанные с упущенной возможностью выдать кредит под более высокий процент. Современная величина таких потерь называется абсолютным грант-элементом. Относительный грант-элемент получается путем деления абсолютного грант-элемента
на исходный размер кредита.
Погашение долга одним платежом в конце срока. Исходные данные:
кредит в размере D выдан на n лет под g процентов годовых. Тогда к концу n-го
года наращенная сумма с величины D составит D(1 + g)n.
В случае льготного кредитования (g < r), абсолютный (W) грант-элемент
составит:
nn
rgDDW )1/()1( ++−=
,
а относительный (w) составит w = W / D.
Задача. Занято 2 000 000 руб. на 8 лет на льготных условиях (под 10 %
годовых по сложным процентам). Если отдать этот заем одним платежом, каков
размер этого платежа? Найти относительный грант-элемент при ставке 16 %.
Ответ: Сумма к погашению составит 4 287 177,62 руб., абсолютный
грант-элемент составит 692 301,69 руб., относительный грант-элемент составит
34,62 %.
ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА В РАССРОЧКУ (СХЕМЫ А, В, С)
Погашение долга в рассрочку обычно производится
дифференцированными (равные суммы и различные проценты на
непогашенный остаток задолженности за каждый период) и аннуитетными
(равные общие суммы) платежами.
Размер самого кредита называется основным долгом, а наращиваемый
добавок — процентными деньгами. Указанные платежи дробятся.
29
Обозначим через dt расходы на погашение основного долга в конце года t,
Dt — остаток основного долга на начало года t, Yt — общие расходы по обслу-
живанию долга в конце года t12:
ttt
dgDY +=
,
(3.1)
где Dtg — процентные деньги,
n
dddD +++= ...
21
.
Планом погашения задолженности называется совокупность данных по
обслуживанию основной суммы долга, о процентных выплатах и остатках задолженности за каждый период (год) до момента его полного погашения.
Наиболее удобный способ составления плана — таблица.
Приведем основные схемы погашения задолженности (условно назовем
их А и В)13.
Схема А погашения задолженности, — схема погашения долга дифференцированными погасительными платежами с выплатой процентов на непогашенный остаток задолженности.
Пусть долг погашается последовательными равными суммами в конце
каждого года с ежегодной выплатой процентов на остаток непогашенной задолженности:
constdd
t
==
,
nDd /=
.
С учетом (3.1) получаем:
dtDD
t
)1( −−=
,
dgdtDY
t
+−−= ))1((
.
Пример14. Занято 100 тыс. руб. с условием погашения последовательными равными суммами в течение 4 лет. Ежегодно выплачиваются также 20 % годовых на остаток долга. Составить план погашения.
Решение. Имеем n = 4, D = 100 тыс. руб., процентная ставка составляет
g = 0,2 (20 %).
12
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели:
учебное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
13
Некоторые обозначения и примеры взяты из учебного пособия, см.: Выгодчикова И.Ю. Процентный
анализ финансовых потоков: учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2008.
14
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели:
учебное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
30
Размер ежегодной одинаковой выплаты по основному долгу составляет:
d = 100 / 4 = 25 руб. План погашения представим в виде табл. 3.1.
Сразу в таблицу заносим D1 = 100 руб. и заполняем колонку (2) таблицы.
Строка t + 1 колонки (1) таблицы получается путем вычитания из строки
t колонки (1) соответствующей строки колонки (2):
dDD
tt
−=
+1
.
Колонка (3) таблицы получается из колонки (1) умножением на 0,2 (20 %).
Колонка
)4(
является суммой колонок
)3(и)2(
.
Таблица 3.1
Схема А
Время,
год
Остаток
основного долга
на начало года
Погашение
основного долга
в конце года t
Проценты
к выплате
в конце года t
Годовые расходы
по обслуживанию
долга на конец
года t
t
Dt
dt = d
Dtg
Yt = d + Dtg
1
100
25
20
45 2 75
25
15
40
3
50
25
10
35 4 25
25 5 30 – (1)
(2)
(3)
(4)
Схема В — схема погашения долга аннуитетными погасительными платежами с учетом общих платежей, включающих проценты на непогашенный
остаток задолженности15.
Аннуитетными платежами называются равные платежи каждый период
(месяц, год и т.п.). Независимо от того в начале срока погашения кредита вы
находитесь или в его конце, ежемесячно вы будете выплачивать одинаковую
сумму.
15
Бородин А.И., Выгодчикова И.Ю., Наточеева Н.Н. Финансовый менеджмент: методы и модели:
учебное пособие. М.: Дашков и К°, 2022.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]