Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Актуарная и финансовая математика. Учебное пособие
.pdf
11
Пример. Пусть вложено 300 000 руб. на 2 месяца (с ежемесячной капита-
лизацией, 4 % годовых), вычислить накопленные проценты.
Решение. Через месяц на сумму вклада будут начислены проценты в раз-
мере 1 000 руб.
Через два месяца можно будет снять сумму процентов 2 003 руб. 33 коп.
Рост суммы процентов (по сравнению с предыдущим примером) связан с
различием в количестве дней в месяце (в феврале минимальное количество
дней, поэтому при точном расчете проценты оказались меньше).
В современных системах расчетов редко используются приближенные
проценты, более типичен точный расчет дней в периоде операции. Важно грамотно считать период финансовой операции: первый и последний день считается одним днем, как правило, первый день входит в срок финансовой операции, а последний день нет (операция завершена).
Например, при осуществлении сделки с 25 января по 25 февраля в расчетах используется срок сделки 31 день.
Если срок сделки не является целой величиной, обычно используется
комбинированная схема начисления процентов.
Пусть сложные проценты начисляются ежегодно, тогда формула наращения по комбинированной схеме имеет вид:
}),{1()1)(0()(
][
TrrSTS
T
++=
(1.5)
где дробная часть числа лет выражается по формуле:
][}{ TTT −=
,
][T
— целая часть числа лет.
Пусть сложные проценты начисляются m раз в году, тогда формула
наращения по комбинированной схеме имеет вид:
+
+=
+
m
mTmT
T
m
r
m
r
STS }{11)0()(
]}[{][
,
(1.6)
где
]}[{}{}{ mTmTT
m
−=
.
12
Эффективная ставка ref (то же для потоковых процессов, что и внутрен-
няя норма доходности) — это годовая процентная ставка в схеме сложных процентов с начислением ежегодно, которая сохраняет баланс вложенного капитала и полученных денежных средств по истечении срока сделки, указанного в
договоре. То есть если инвестор или вкладчик тратит определенную денежную
сумму денег сейчас, то через указанный период он вернет сумму, вычисляемую
по формуле (1.2), поэтому для простейшей финансовой сделки:
( )
( )
1
0
1
−
=
T
ef
S
TS
r
.
(1.7)
Подставляя формулу (1.3) в (1.7), получаем формулу эффективной ставки
при начислении сложных процентов m раз в году:
( )
( )
( )
( )
1/11
0
/1)0(
1
1
−+=−
+
=
T
mT
T
mT
ef
mr
S
mrS
r
,
т.е.
( )
1/1 −+=
m
ef
mrr
.
В непрерывном случае из формул (1.4) и (1.7) получаем:
1)exp( −= rr
ef
.
Пример. Какие условия банковского вклада выгоднее клиенту: либо проценты по вкладу 20 % годовых с капитализацией ежегодно, либо процентная
ставка 19 % годовых с ежемесячной капитализацией.
Решение. Нужно вычислить эффективную ставку для каждого вклада и
сравнить. В первом ref = 20 %, во втором случае ref = (1 + 0,19 / 12)12 – 1 = 0,2075 =
20,75 %, поэтому вкладчику следует выбрать второй вариант.
Замечание. Целесообразно применять финансовую функцию Excel
ЭФФЕКТ().
Инфляция должна учитываться как обычный экономический процесс,
связанный с увеличением деловой активности рынка. Скачки индекса цен в динамике и рост годового темпа свыше 10–12 % свидетельствуют о серьезных
13
проблемах макроэкономики, требующих вмешательства правительственных
структур.
Для расчета индекса цен за Т лет
p
J
используются годовые темпы ин-
фляции
t
h
, t = 1,…,T:
=
+=
T
t
tp
hJ
1
)1(
. Процентная годовая ставка называется
брутто-ставкой
b
r
, а реальная (без инфляции) ставка r,
b
rr
, применяются
сложные проценты. Поэтому для связи итоговой номинальной суммы S(T) и
итоговой реальной суммы С(T) имеем:
p
JTSTC /)()( =
,
( )
T
b
rSTS )1)(0( +=
.
Определим «средний эквивалентный» темп инфляции h из условия:
T
T
t
tp
hhJ )1()1(
1
+=+=
=
.
Получаем:
1))(/)((1
)/1(
−=−=
T
T
p
TCTSJh
.
Для начальной суммы
)0(S
имеем:
( )
T
rSTC )1)(0( +=
.
Тогда:
( )
T
p
hTCJTСTS )1)(()( +==
.
Поэтому имеем
( )
,)1()1)(0(
TT
hrSTS ++=
,)1()1()1(
TTT
b
hrr ++=+
)1)(1()1( hrr
b
++=+
,
то есть:
1)1/()1( −++= hrr
b
,
hrhrr
b
++=
.
Пример. Через 3 года планируется получить сумму 100 тыс. руб. Согласно прогнозам, темпы инфляции составят соответственно 10 %, 8 % и 10 %.
Оцените сумму к получению с учетом ее обесценения.
Решение. Имеем
3=Т
,
100)( =TS
тыс. руб.,
1,01=h
,
08,0
2
=h
,
1,03=h
,
поэтому С(3) = 100 000 / (1,1 ⸱ 1,08 ⸱ 1,1) = 76 522,8 руб.
14
1.2. УЧЕТНАЯ СТАВКА ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТАМ3
(БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ)
Пусть T — срок, оставшийся до погашения векселя в годах, T < 1, S(T) —
номинал векселя (сумма, выплачиваемая через Т лет), d4 — ставка дисконтирования по простым процентам. Тогда текущая стоимость векселя S(0) вычисляется по формуле:
dTTSTSdTTSS −=−= )()()1)(()0(
.
(1.8)
Дисконт (удержание) по данной операции составит:
)0()( SТSD −=
.
Задание с вариантами выполнения с указанием и ответом (по одному из
вариантов). Индивидуальный номер студента i — количество букв в имени, деленное на количество букв в фамилии, плюс номер дня недели выполнения задания (пн-1, ..., вс-7), деленное на 3.
Обозначения:
S(0) — стоимость товарной продукции (работ, услуг), в счет оплаты кото-
рой в этот момент (0) выписан вексель номиналом S(T);
T — срок векселя в годах;
D — дисконт по векселю в ден. единицах;
r — процентная ставка по исходной сделке;
d — учетная ставка по исходной сделке;
ref — эффективная ставка для держателя векселя;
Т
б
— срок в годах с начала операции по векселю (0) до момента учета
векселя банком, Тб < Т;
S(Тб) — сумма, выданная банком при учете (покупке банком) векселя;
dб — учетная ставка банка;
r
б
ef
— эффективная ставка для банка;
r
уч
ef
— эффективная ставка для держателя векселя при учете векселя (про-
даже векселя банку).
3
Учетная ставка по простым процентам используется в банковской практике (учет векселей). Век-
сель — документ, содержащий безусловное обязательство векселедателя выплатить векселедержателю определенную сумму денег к определенному моменту (вексель является долговой ценной бумагой). Учет векселей
представляет собой оплату банком несобственного векселя до наступления срока платежа. При такой операции
векселедержатель передает (продает) вексель банку по индоссаменту до наступления срока платежа и получает
за это вексельную сумму за вычетом определенного процента от этой суммы.
4
Обычно годовая ставка дисконтирования по учетной операции значительно выше средней банковской
ставки по кредитованию ввиду того, что срок мал, при этом банк теряет время на оформление сделки в полноценном объеме.
15
Формулы, рекомендуемые для использования в расчетах:
S(0) = S(T)(1 – dT), S(T) = S(0)(1 + rT), D = S(T) – S(0);
ref = (S(T) / S(0))
(1 / T)
– 1, S(Тб) = S(T)(1 – dб(T – Тб));
r
б
ef
= (S(T) / S(Тб))
(1 / (T – Тб))
– 1, r
уч
ef
= (S(Тб) / S(0))
(1 / Тб)
– 1.
Задача 1. В счет оплаты товарной продукции на сумму 1 млн руб. выпи-
сан вексель номиналом 1,1 млн руб., погашаемый через 5 + i месяцев. Найти r,
d, D, ref.
Ответ (i = 0): r = 24 %, d = 21,8 %, D = 100 тыс. руб., ref = 25,7 %.
Задача 2. В условиях задачи 1 вексель учтен в банке через 4 мес. с мо-
мента выписки векселя, dб = 40 %. Найти S(Тб), r
б
ef
, r
уч
ef
.
Ответ (i = 0): S(Тб) = 1,06 млн руб., r
б
ef
= 56 %, r
уч
ef
= 19,1 %.
Задача 3. В счет оплаты товарной продукции на сумму 1 млн руб. вы-
писано два векселя. Первый номиналом S1(T1) = 500 тыс. руб., погашаемый
через 4 месяца. Второй — номиналом S2(T2) = 600 тыс. руб., погашаемый через 5 + i месяцев с момента выписки. Найти r, d, D, ref.
Указание. Свести к задаче 1, воспользовавшись формулой:
r = (S1(T1) + S2(T2) – S(0)) / (S(0)T2 – S1(T1)(T2 – T1)), где T = T2.
Ответ (i = 0): r = 26,67 %, d = 24 %, D = 111,25 тыс. руб., ref = 28,7 %.
Замечания:
1. Ответы в задачах даны при i = 0.
2. Формула в задаче 3 получена из соотношения:
S(T) = S1(T1)(1 + r(T2 – T1)) + S2(T2), где T = T2.
3. Если в задачах получится, что S(0) < S(Тб), то эффективная ставка для
держателя векселя не вычисляется, поскольку он несет потери.
С повышенным риском связаны операции кредитования, осуществляемые
компаниями «Быстроденьги», «Кредит до зарплаты» и прочими организациями,
не являющимися банковскими структурами. Например, предлагается кредит по
0,5 % в день (номинальная годовая ставка r составит 182,5 %). Допустим, вы
взяли кредит на 10 дней (20 000 руб.). Нужно иметь в виду, что проценты капитализируются ежедневно (считаем, что в году 365 дней), поэтому придется вернуть сумму:
20 000 ⸱ (1 + 0,005)
365 ⸱ 10 / 365
= 21 023 руб.
16
Эффективная ставка составит:
(1 + 0,005)
365
– 1 ≈ 517,47 %.
Эффективная ставка для данной операции — более 500 %. То есть, пользуясь подобными кредитами регулярно, вы должны отдать в счет оплаты задолженности более 83 % (6,1747 / 5,1747) от заработанных денег, и лишь 17 %
останется на собственное потребление.
1.3. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.
ОЦЕНИВАНИЕ БАНКОВСКОГО КРЕДИТНОГО РИСКА
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРЕДИТНЫХ ИСТОРИЙ
В банковской практике часто оценивают риск кредитования с использованием кредитных историй клиентов.
Задание (i = сумме количеств букв в имени и фамилии, k = модулю разницы между количеством букв в фамилии и количеством букв в отчестве студента). Банку необходимо оценить ожидаемые чистые доходы и кредитный
риск трех вариантов проведения кредитных сделок.
Первый вариант состоит из следующих операций:
1) требуемый объем кредитных вложений — (700 + i – k) расч. ед. при
уровне возможного дохода 170 расч. ед. и вероятности его получения (77 + i) %;
2) требуемый объем кредитных вложений — 1 100 расч. ед. при уровне
возможного дохода 450 расч. ед. и вероятности его получения 80 %.
Второй вариант состоит из следующих операций:
1) требуемый объем кредитных вложений — 800 расч. ед. при уровне
возможного дохода 120 расч. ед. и вероятности его получения (100 – i / 2 – k) %;
2) требуемый объем кредитных вложений — 1 200 расч. ед. при уровне
возможного дохода 350 расч. ед. и вероятности его получения 85 %.
Третий вариант состоит из следующих операций:
1) требуемый объем кредитных вложений — 650 расч. ед. при уровне воз-
можного дохода 0,1(50 + 10 ⸱ i + k) расч. ед. и вероятности его получения 90 %;
2) требуемый объем кредитных вложений — 950 расч. ед. при уровне
возможного дохода (350 + i) расч. ед. и вероятности его получения (50 + i) %.
Указание. Ожидаемые доходы — математическое ожидание. Чтобы
найти доходы в процентах, чистые доходы в рублях делятся на объем вложений
(объем кредита). Риск — среднеквадратическое отклонение чистых доходов и
коэффициент вариации (среднеквадратическое отклонение чистых доходов, деленное на математическое ожидание).
17
Справочная информация:
Метод управления некоторым объектом (в данном случае банковским
кредитным риском) — совокупность приемов и способов воздействия на
управляемый объект (в данном случае кредитный риск) для достижения поставленных управляющим лицом (в данном случае банком) целей.
В банковской практике принято выделять три основные цели, которые
достигает лицо, принимающее решение (банк) в процессе управления банковским кредитным риском:
1. Предупреждение риска. Данная цель достигается путем ликвидации
предпосылок возникновения кредитного риска в будущем.
2. Поддержание риска на определенном уровне. Эта цель предполагает
соблюдение банком требований к уровню риска, которые устанавливаются центральным банком, а также определяются самим банком в соответствие с собственной рисковой стратегией.
3. Минимизация риска при некоторых заданных условиях, охватывающая
комплекс мер прямого воздействия на кредитный риск5.
1.4. ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: РЕСТРУКТУРИЗАЦИЯ ЗАДОЛЖЕННОСТИ,
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
ДЛЯ РАЗНЫХ СХЕМ КРЕДИТОВАНИЯ
Под реструктуризацией задолженности понимают изменение условий
кредитования: сроков, ставок, схем.
Указания:
1. Задание целесообразно выполнить в Excel с качественным оформлени-
ем листа (дано, расчеты, формулы, ответ, пояснения, обозначения).
2. Задание нужно выполнить для i = 0 и для своего индивидуального но-
мера. Для i = 0 даны ответы.
Задание (индивидуальный номер студента i = сумма гласных букв в име-
ни и фамилии студента, деленная на число согласных букв в имени).
Кредит в размере 10 000 тыс. руб. выдан на 3 года под (25 + i) % годовых
по простым процентам с условием возврата суммы в конце срока.
5
Кабушкин С.Н. Методы управления банковским кредитным риском // Вестник БГЭУ. 2000. № 5. С. 25–30.
18
Задача 1. Было решено изменить условия (с учетом эквивалентности
процентных ставок) — начислять сложные проценты. Вычислить процентную
ставку по сложным процентам.
Указание. Эквивалентность означает, что эффективная ставка должна со-
храниться для новых условий.
Замечание. В задаче 1 процентная ставка по сложным процентам будет
эффективной.
Ответ для i = 0: 20,51 %.
Задача 2. Было решено перейти на схему А с ежемесячным начислением
процентов на остаток долга (основной долг ежемесячно в конце каждого месяца
равными суммами).
Указание. Пересчитать номинальную годовую ставку и номинальную
ежемесячную ставку для разработки схемы А.
Ответ для i = 0. Номинальная годовая ставка 18,8 %, в месяц 18,8 % / 12 1,56 %.
Задача 3. Прошел 1 год. Далее индивид довнес 1 млн руб. в счет погаше-
ния задолженности и по договоренности с банком остаток задолженности обязался гасить по схеме В (ежемесячными равными платежами с начисленными
процентами). Разработать схему В (изучить самостоятельно раздел данного
учебного пособия по финансовым потокам и по кредитным расчетам, идущий
следом).
Указание. Остаток долга на 134-ый месяц найти по схеме А, отнять 1 млн руб.
и далее считать на 24 месяца по схеме В, считая этот остаток основным долгом, ставки — как в схеме А.
Ответ i = 0: 5,666667 млн руб. Ежемесячный платеж — 285 097 руб.
Формулы. Пусть D — размер задолженности, g — номинальная процентная ставка, n — срок кредита в годах, ref — эффективная ставка, gsh — процентная ставка годовая для данной схемы (номинальная), gm = gsh / m — ставка
за 1 период, m — количество начислений сложных процентов в год.
Из простых процентов ref = (1 + g ⸱ n)
(1 / n)
– 1, это эффективная ставка
(сложные проценты ежегодно), номинальная ставка для расчета сложных процентов, начисляемых m раз в году (в задании ежемесячно m = 12), выражается
по формуле gsh = m ⸱ (1 + ref)
(1 / m)
– m.
19
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Указания:
1. Индивидуальный номер i — это сумма количества букв в имени сту-
дента и в фамилии студента минус единица, если отчество начинается с
гласной буквы.
2. При выполнении задания рекомендуется использовать MS Excel, при
этом нужно подписывать текст и действия, пояснять вычисления, применять
функции MS Excel. Не нужно присылать на проверку архив, достаточно одного
файла (xls, xslx, doc, docx, pdf). При необходимости прямо в этом файле делаете
ссылку на диск (Яндекс, Гугл или проч.), где у Вас содержатся остальные файлы.
1. На вклад в банке в размере 1 500 тыс. руб., открытом 10.01.2025 года на
7 ⸱ i дней, банк начисляет (6,75 + i / 10) % годовых (простые проценты). Какая
сумма накопится на счете к концу срока?
2. На вклад в банке в размере 900 тыс. руб., открытый 10.01.2025 года на
30 ⸱ i дней, банк начисляет (6,75 + i / 10) % годовых (сложные проценты ежегод-
но, комбинированная схема). Какая сумма накопится на счете к концу срока?
3. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 300 000 руб.
со сроком погашения 11.02.2025. Вексель предъявлен 23.12.2024. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в (65 – i) % годовых. Какую сумму получит
векселедержатель?
4. В банк вложена сумма 80 000 руб., 13.09.2024, срок — 4 месяца, капитализация ежемесячная (точное число дней), (7,65 – i / 10) % годовых. Найти
итоговую сумму (13.01.2025) и эффективную ставку.
5. Вклад 1 000 000 руб. открыт 17.01.2025 на 2 года 4 дня, сложные проценты начисляются ежегодно, годовая ставка (i / 10 + 8) %. Вычислить накопленную на счете сумму по комбинированной схеме. Вычислить эффективную
ставку.
6. Вклад 1 000 000 руб. открыт 17.01.2025 на (31 + i) дней, капитализация
ежемесячно, годовая ставка — 11 %. Вычислить итоговую сумму по комбинированной схеме. Вычислить эффективную ставку.
7. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 300 000 руб.
со сроком погашения 28.01.2025. Вексель предъявлен 13.12.2024. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в (45 – i) % годовых. Какую сумму получит
векселедержатель?
8. В качестве оплаты за каждую из трех партий товара предприятие А получило от предприятия В вексель с процентной ставкой (16 – i / 2) % годовых,
20
содержащий обязательство погасить сумму 1, 2 и 3 млн руб. соответственно через 3, 5 и (5 + i) лет. Эти векселя заменяются одним с тем же дисконтом и сроком 6 лет. На какую сумму должен быть выписан новый вексель, если в расчетах используется схема сложных процентов.
9. Векселедержатель предъявил для учета вексель номиналом 500 000 руб.
с датой погашения этой суммы 03.07.2025. Вексель предъявлен за 9 ⸱ i дней до
срока погашения. Банк согласился учесть предъявленный вексель с дисконтом
8 ⸱ i % годовых. Определить, какую сумму получит векселедержатель, выполнить расчет эффективной ставки для операции с векселем, проведенной векселедержателем, если он получил вексель 02.01.2025 в счет оплаты за поставку продукции на сумму 445 000 руб. Выполнить расчет эффективной ставки для банка.
Какова эффективная ставка для держателя векселя, если дождаться срока погашения, не обращаясь в банк?
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]