Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
Рис. 5.2. Влияние случайной ошибки в результате распада радионуклида или статистики
подсчёта представлено для визуализации. Изображения задней плоскости кости с
использованием сцинтилляционной камеры с технецием-99m (256 × 256) были получены с
общим количеством отсчетов 21, 87 и 748 kcounts
Измерение может быть точным (малая случайная погрешность), но
неточным (большая систематическая погрешность), или наоборот. Например,
для расчета фракции выброса во время сканированных кардиологических
исследований, выбор фоновой области интереса (ROI) будет точно
воспроизводимым, если используется программный алгоритм. Однако если
алгоритм таков, что выбранная ROI не отражает истинный фон желудочков,
измерение будет точным, но неточным. И наоборот, индивидуальные подсчеты
радиоактивного образца могут быть могут быть неточными из-за случайной
ошибки, но среднее значение ряда, но среднее значение ряда измерений будет
точным, отражая истинное количество полученных отсчетов.
Случайные ошибки всегда присутствуют и играют значительную роль в
радиационном подсчете и визуализации. Поэтому важно проанализировать
случайные ошибки, чтобы определить связанную с ними неопределенность. Для
этого используются методы статистического анализа. В оставшейся части главы
описаны методы анализа.
Анализ радиационных измерений и визуализации составляет подгруппу
общего статистического анализа. В этой главе основное внимание уделяется
статистическому анализу для измерений радиационного счета и визуализации, хотя
некоторые методы хотя некоторые описанные методы применимы к более
широкому классу экспериментальных данных, как описано в разделах 5.2, 5.3 и 5.5.
5.2. ХАРАКТЕРИСТИКА ДАННЫХ
5.2.1. Показатели центральной тенденции и изменчивости
5.2.1.1. Набор данных в виде списка
Двумя показателями центральной тенденции набора измерений являются
среднее (усредненное) значение и медиана. Предполагается, что имеется список
из N независимых измерений одной и той же физической величины:
147
https://t.me/med1917
Предполагается, что набор данных получен из долгоживущего
радиоактивного образца, многократно подсчитанного в одних и тех же условиях
с помощью правильно работающей счетной системой. Поскольку скорость
распада радиоактивного образца претерпевает случайным изменениям от одного
момента к другому, число отсчетов, зарегистрированных при последовательных
измерениях, не совпадает с результатом случайных ошибок в измерении.
Экспериментальное среднее
из набора измерений определяется как:
e
Для получения медианы используется следующая процедура. Список
измерений должен быть сначала отсортирован по размеру. Медиана — это
самое среднее измерение, если число измерений нечетное, и среднее значение
двух средних измерений, если число измерений четное. Например, чтобы
получить медиану пяти измерений, 7, 13, 6, 10 и 14, их нужно сначала
отсортированы по размеру: 6, 7, 10, 13 и 14. Медиана равна 10. Преимущество
медианы над средним значением заключается в том, что медиана меньше
подвержена влиянию выбросов. Выброс – это ошибка, которая намного больше
или намного меньше остальных.
Мерами изменчивости, случайной ошибки и точности списка измерений
являются дисперсия, стандартное отклонение и дробное стандартное
отклонение, соответственно.
Дисперсия σ
2
определяется из набора измерений путем вычитания
e
среднего значения из каждого измерения, возведения разности в квадрат,
суммирования квадратов и деления на единицу меньше числа измерений:
где N – общее число измерений, а
– среднее экспериментальное значение.
e
Стандартное отклонение σe — это квадратный корень из дисперсии:
Дробное стандартное отклонение σeF (дробная ошибка или коэффициент
вариации) — это стандартное отклонение, деленное на среднее значение:
148
https://t.me/med1917
Дробное стандартное отклонение — важный показатель для оценки
вариабельности измерений радиоактивности. Обратная величина дробного
стандартного отклонения 1/σeF в визуализации называется отношением
сигнал/шум.
5.2.1.2. Набор данных как функция распределения относительных частот
Часто бывает удобно представить набор данных относительной функцией
распределения частот функцией распределения относительной частоты F(x).
Значение F(x) — это относительная частота, с которой число встречается в
наборе данных в каждом бине. По определению:
Распределение нормализовано, то есть:
Пока конкретная последовательность чисел не является важной, полная
функция распределения данных представляет всю информацию из исходного
набора данных в виде списка.
На рисунке 5.3 иллюстрируется пример применения относительной
частоты распределения. Измерения сцинтилляционного счетчика кажутся
шумными из-за случайной ошибки, вызванной измеренным количеством (распад
радионуклида) (рис. 5.3 (a)). Измерения случайно колеблются выше и ниже
среднего значения 90 счетов. Гистограмма (красные столбцы) относительной
частоты распределения колебаний в измерениях может быть построена путем
построения графика относительной частоты измеренных счетов (рис. 5.3 (b)).
Ось x представляет диапазон возможных счетов, измеренных в каждом
интервале из шести счетов. Ось y представляет относительные частоты, с
которыми происходят конкретные значения счетов. Самое частое значение,
которое составляет 26 % всех измерений, находится около среднего значения 90
счетов. Значения других измерений существенно выше или ниже среднего.
Гистограмма измеренного распределения частот хорошо согласуется с
ожидаемым расчетным нормальным распределением.
149
Рассчитанное распределение частот
Отсчёты измерений
(a) Измеренные отсчёты
(b) Относительное распределение частот
Измеренные отсчёты
Измеренные отсчёты
Среднее
Число измерений
Отсчеты
https://t.me/med1917
Рис. 5.3. С помощью сцинтилляционного счетчика была выполнена тысяча измерений. (a) На
графике показаны вариации, наблюдаемые для первых 50 измерений. (b) На графике (красные
полосы) показана гистограмма относительного распределения частот для измерений, а
также ожидаемое расчётное распределение частот
Распределение относительных частот — полезный инструмент для
быстрого визуального представления краткое представление о распределении
значений измерений и может использоваться для выявления таких промахов или
правильного функционирования оборудования.
Три показателя центральной тенденции для частотного распределения
включают среднее (среднее значение), медиану и моду:
— режим частотного распределения определяется как наиболее частое
значение или значение с максимальной вероятностью в частотном распределении;
— медиана частотного распределения — это значение, при котором
интеграл распределения частот равен 0,5; то есть половина измерений будет
меньше, а половина - больше медианы.
Среднее значение экспериментально
, используя функцию частотного
e
распределения, можно вычислить. Экспериментальное среднее значение
получается путем вычисления первого момента функции частотного
распределения. Уравнение для вычисления среднего значения также можно
получить из уравнения для вычисления среднего значения для данных в
списке (ур. (5.2)). Сумма измерений
равна сумме измерений в каждом
i
«бине» в функции частотного распределения. Сумма измерений для каждого
бина получается путем умножения значения бина i на количество вхождений
значения xi.
Дисперсия экспериментальной выборки может быть рассчитана с
помощью функции распределения частот функции распределения:
150
Диапазон
Доверительный уровень для истинного среднего значения
± 0,675σ
50,0
± 1,000σ
68,3
± 1,640σ
90,0
± 2,000σ
95,0
± 3,000σ
99,7
https://t.me/med1917
Стандартное отклонение и дробное стандартное отклонение задаются
ур. (5.4) и (5.5).
Распределение частот дает информацию и представление о точности
среднего значения экспериментальной выборки и отдельного измерения. На
рисунке 5.3 показано распределение измерений счетчика вокруг истинное
среднее (
среднее значение выборки (
истинного среднего (
). Значение истинного среднего неизвестно, но экспериментальное
t
) может быть использовано в качестве оценки
e
):
t
В повседневной практике часто бывает нецелесообразно проводить
несколько измерений и приходится довольствоваться только одним измерением.
Это особенно актуально при радионуклидной визуализации и ядерных
измерениях у пациентов. Распределение частот измерений распределение частот
измерений определяет точность одного измерения как оценки истинного
значения. Вероятность того, что одно измерение будет близко к истинному
среднему значению, зависит от относительной ширины или дисперсии кривой
распределения частот. Это выражается дисперсией σ2 (ур. (5.9)) или стандартным
отклонением σ распределения. Стандартное отклонение σ это число, при котором
68,3 % результатов измерений находятся в пределах ±σ от истинного среднего
значения
.
t
Учитывая результат данного измерения X, можно сказать, что существует
68,3 % вероятность того, что измерение находится в диапазоне x ± σ. Это
называется 68,3 %-ным доверительным интервалом для истинного среднего
значения t. Существует 68,3 %-ная уверенность в том, что
находится в
t
диапазоне x ± σ. Другие доверительные интервалы могут быть определены в
терминах стандартного отклонения σ. Они приведены в таблице 5.1.
Доверительный интервал 50 % (0,675σ) называется вероятной ошибкой
истинного среднего значения
.
t
ТАБЛИЦА 5.1. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ ИЗЛУЧЕНИЯ
151
Испытание
Определение успеха
Вероятность успеха p
Подбрасывание монеты
Орёл
1/2
Бросание кубика
Шестёрка
1/6
Наблюдение данного
радионуклида в течение времени t
Ядро распадается во время
наблюдения
(
)
Наблюдение данного γ-излучения на
расстоянии x в ослабляющей среде
γ-излучение взаимодействует
со средой во время наблюдения
(
)
Наблюдение световых фотонов,
генерируемых в сцинтилляторе
Электрон выбрасывается из
фотокатода
1/5
https://t.me/med1917
5.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
При определенных условиях можно предсказать функцию распределения,
которая будет описывать результаты многих повторений данного измерения.
Измерение определяется как подсчет числа успехов x, полученных в результате
заданного числа испытаний n. Предполагается, что каждое испытание является
бинарным процессом, в котором только возможны два результата: испытание
либо успешно, либо нет. Далее предполагается, что вероятность успеха p
постоянна для всех испытаний.
Чтобы показать, как эти условия применяются в реальных ситуациях, в
таблице 5.2 приведены четыре отдельных примера. Третий пример дает основу
для подсчета ядерных радиационных событий. В этом случае испытание состоит
в наблюдении данного радиоактивного ядра в течение времени t. Число
испытаний n эквивалентно числу ядер в наблюдаемом образце, а измерение
состоит в подсчете тех ядер, которые подвергаются распаду. Вероятность успеха
как p. Для радиоактивного распада:
где λ – постоянная распада радионуклида.
Пятый пример иллюстрирует неопределенность, связанную с
определением энергии при сцинтилляционном подсчете. Фотоны света,
генерируемые в сцинтилляторе после взаимодействия с входящим γ-лучом,
выбрасывают электроны на фотокатод фотоэлектронного умножителя (ФЭУ).
Обычно на каждые пять световых фотонов выбрасывается один электрон, что
дает вероятность успеха 1/5.
ТАБЛИЦА 5.2. ПРИМЕРЫ БИНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
152
x x x
Бином.
Среднее значение x = 100 и вероятность p = 0,4
Среднее значение x = 100 и вероятность p = 0,0001
x
P(x)
Среднее значение x = 10 и вероятность p = 0,4
x x x
Среднее значение x = 10 и вероятность p = 0,0001
Пуасс.
Норм.
Бином.
Пуасс.
Норм.
Бином.
Пуасс.
Норм.
Бином.
Пуасс.
Норм.
https://t.me/med1917
5.3.1. Условия, когда применимы биномиальное, пуассоновское и
нормальное распределение
Используются три статистические модели: биномиальное распределение,
распределение Пуассона и гауссово или нормальное распределение. На рисунке
5.4 показаны распределение для трех моделей. Распределения были получены с
помощью электронной таблицы «Майкрософт офис эксель».
5.3.1.1. Биномиальное распределение
Это наиболее общая модель, которая широко применима ко всем постоянным
p процессов (рис. 5.4). Биномиальное распределение редко используется в
приложениях, связанных с ядерным распадом. Один пример, когда биномиальное
распределение необходимо использовать, – это когда радионуклид с очень
коротким периодом полураспада учитывается с высокой эффективностью счета.
Рис. 5.4. Модели распределения вероятностей для вероятности успешного события p = 0,4 и
p = 0,0001 для = 10 и = 100, соответственно
5.3.1.2. Распределение Пуассона
Модель представляет собой прямое математическое упрощение
биномиального распределения в условиях, когда вероятность успеха события p мала
(рис. 5.4). Для ядерного счета это условие подразумевает, что выбранное время
наблюдения время наблюдения мало по сравнению с периодом полураспада
источника, или что обнаружение эффективность низкая. Распределение Пуассона —
153
https://t.me/med1917
важное распределение. Когда процент успеха низок, истинное экспериментальное
распределение асимметрично, и тогда необходимо использовать распределение
Пуассона. Пуассона, так как нормальное распределение всегда симметрично. Это
показано на рис. 5.4 для p = 0,0001 и = 10.
5.3.1.3. Гауссово или нормальное распределение
Третье важное распределение – нормальное или гауссово, которое является
дальнейшее упрощение, если среднее число успехов
относительно велико (>30).
При таком количестве успехов экспериментальное распределение будет
симметричным и может быть представлено гауссовым распределением (рис. 5.4).
Гауссова модель широко применима для многих приложений в статистике подсчета.
Следует отметить, что распределение всех вышеперечисленных моделей
становится идентичным для процессов с малой индивидуальной вероятностью
успеха p и достаточно большим числом испытаний, чтобы ожидаемое среднее
число успехов было большим. Это показано на рис. 5.4 для p = 0,0001 и = 100.
5.3.2. Биномиальное распределение
Биномиальное распределение – самая общая из рассмотренных
статистических моделей обсуждаемых статистических моделей. Если n - число
испытаний, для каждого из которых вероятность успеха p, то предсказанная
вероятность подсчета ровно x успехов дается следующим образом:
P(x) – это функция распределения предсказанной вероятности, которая
определяется только для целых значений n и x. Значение n! (факториал n) — это
произведение целых чисел до n, то есть 1·2·3·.........·n. Аналогично вычисляются
значения x! и (n – x)!.
Свойства биномиального распределения, следующие:
— распределение нормализовано:
— среднее значение распределения с помощью уравнения (5.8)
определяется следующим образом:
Если в ур. (5.12) подставить P(x), то среднее значение распределения
определяется:
154
https://t.me/med1917
Выборочная дисперсия для набора экспериментальных данных была
определена с помощью ур. (5.9). По аналогии, предсказанная дисперсия σ2
определяется следующим образом:
Если в ур. (5.12) подставить P(x), то предсказанная дисперсия σ2
распределения будет:
Если в ур. (5.15) подставить np:
Стандартное отклонение σ – это квадратный корень из предсказанной
дисперсии σ2:
Дробное стандартное отклонение σF определяется:
Уравнение (5.19) предсказывает величину флуктуации, присущую
данному биномиального распределения в терминах основных параметров, а
именно числа испытаний n и вероятности успеха p, где
= pn.
5.3.2.1. Пример применения биномиального распределения
Рассматривается работа сцинтилляционного детектора (раздел 6.4). Он
состоит из сцинтилляционного кристалла, установленного на ПМТ в
светонепроницаемой конструкции. Сначала, когда γ-луч взаимодействует с
кристаллом, он генерирует n фотоны света. Во-вторых, фотоны света
155
https://t.me/med1917
выбрасывают x электроны из фотокатода фотоумножителя. В-третьих, эти
электроны затем умножаются, образуя импульс, который может быть
подвергнут дальнейшей обработке. Для каждого γ-луча,
взаимодействующего со сцинтиллятором, количество световых фотонов n,
выброшенных электронов x и умножение статистически изменяются в
процессе обнаружения различных γ-лучей. Это изменение определяет
энергетическое разрешение системы.
В этом примере показан второй этап, то есть выброс электронов из
фотокатода. Вариация или стандартное отклонение и дробное стандартное
отклонение для числа выброшенных электронов x можно рассчитать можно
рассчитать, используя биномиальное распределение, как показано в ур. (5.19)
и (5.20).
Типичные значения для сцинтилляционного счетчика следующие.
Предполагается, что учитываются γ-лучи с энергией 142 кэВ, испускаемые
99m
Tc.
Далее предполагается, что для генерации фотона света в сцинтилляционном
кристалле используется 100 эВ, когда γ-луча, взаимодействующего с
кристаллом. Поэтому, если вся энергия одного фотона с энергией 142 кэВ
поглощается, то будет испущено n = 142 000/100 = 1420 фотонов света.
Предполагается, что эти фотоны падают на фотокатод ПМТ и генерируют x
электронов для каждого поглощенного γ-луча. Далее предполагается, что для
выброса одного электрона требуется пять фотонов света.
Для биномиального распределения вероятность того, что световой фотон
выбросит электрон, равна p = 1/5, а число испытаний n будет равно числу
световых фотонов, генерируемых для каждого γ-луча. Это число будет равно
1420. Уравнение (5.15) можно использовать для расчета предсказанного
среднего числа электронов, выброшенных для каждого γ-луча:
Стандартное отклонение (уравнение (5.19)) и относительное стандартное
отклонение (уравнение (5.20)) могут быть рассчитаны с помощью
биномиального распределения:
и
Таким образом, вклад в общее стандартное отклонение на этапе эжекции
электронов на фотокатоде составляет 5,3. Изменение числа электронов влияет на
156
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана