Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
высоту импульса, полученного для каждого γ-луча. Изменение в высоте
импульса во время обнаружения γ-лучей будет определять ширину фотопечать
(рис. 5.1) и энергетическое разрешение системы (разделы 5.7.1 и 6.4).
5.3.3. Распределение Пуассона
Многие бинарные процессы характеризуются низкой вероятностью для
каждого отдельного испытания. Сюда относятся приложения для ядерного
подсчета и визуализации, в которых большое количество радионуклидов
составляет выборку или число испытаний, но относительно небольшая часть из
них приводит к зарегистрированным подсчетам. Аналогично, при визуализации
множество γ-лучей испускается введенным радионуклидом для визуализации на
каждый из них, взаимодействующий с тканью. Кроме того, при ядерном
подсчете в детектор попадает множество γ-лучей при каждом
зарегистрированном взаимодействии.
При этих условиях приближение о том, что вероятность p мала (p 1)
будет справедливо, и к биномиальному распределению можно применить
некоторые математические упрощения. биномиальному распределению.
Биномиальное распределение сводится к виду:
Для этого распределения, так же как и для биномиального, справедливо
соотношение pn = распределение:
Уравнение (5.23) – это форма распределения Пуассона.
Для расчета биномиального распределения необходимы два параметра:
число испытаний n и индивидуальная вероятность успеха p. Из ур. (5.23) следует,
что требуется только один параметр – среднее значение . Это очень полезное
упрощение, поскольку, используя только среднее значение распределения, можно
вычислить все остальные значения распределения Пуассона. Это очень полезно для
процессов, в которых можно измерить или оценить среднее значение, но для
которых нет информации ни об индивидуальной вероятности, ни о размере
выборки. Так обстоит дело в ядерном подсчете и визуализации.
Свойства распределения Пуассона заключаются в следующем.
Распределение Пуассона является нормированным распределением частот (см.
ур. (5.6) и (5.7)):
157
https://t.me/med1917
Среднее значение или первый момент для распределения Пуассона
вычисляется путем подстановки распределения Пуассона (ур. (5.22)) в
уравнение для вычисления среднего значения для частотного распределения
(ур. (5.8)):
Это тот же результат, который был получен для биномиального
распределения.
Предсказанная дисперсия распределения Пуассона отличается от дисперсии
биномиального распределения и может быть получена из ур. (5.9) и (5.22):
Из ур. (5.26) прогнозируемая дисперсия сводится к важному общему
уравнению:
Прогнозируемое стандартное отклонение представляет собой квадратный
корень из прогнозируемой дисперсии (ур. (5.4)):
Предсказанное стандартное отклонение любого распределения
Пуассона — это просто квадратный корень из среднего значения,
характеризующего то же распределение.
Предсказанное дробное стандартное отклонение σF (дробная ошибка или
коэффициент вариации) — это стандартное отклонение, деленное на среднее
значение (ур. (5.5)):
Дробное стандартное отклонение — это величина, обратная квадратному
корню из среднего значения распределения.
Уравнения (5.28) и (5.29) являются важными уравнениями и часто находят
применение в ядерном обнаружении и визуализации.
158
https://t.me/med1917
5.3.4. Нормальное распределение
Распределение Пуассона является математическим упрощением
биномиального распределения в пределе p < 1. Если, кроме того, среднее
значение велико (>30), то, как правило, можно провести дополнительное
упрощение что приводит к нормальному или гауссовскому распределению:
Функция распределения определена только для целых значений x.
Рисунок 5.4 для = 100 и p = 0,0001 демонстрирует, что для этих значений
нормальное распределение идентично распределению Пуассона и
биномиальному распределению. Нормальное распределение всегда
симметрично или «колоколообразно» (рис. 5.4). Оно обладает следующие
свойства с распределением Пуассона:
— оно нормируется (см. раздел 5.2.1.2 и ур. (5.6) и (5.7)):
— распределение характеризуется единственным параметром = pn;
— предсказанная дисперсия нормального распределения задается средним
значением x:
— прогнозируемое стандартное отклонение представляет собой
квадратный корень из прогнозируемой дисперсии (ур. (5.4)):
— прогнозируемое дробное стандартное отклонение σF (дробная ошибка
или коэффициент вариации) — это стандартное отклонение, деленное на среднее
значение (ур. (5.5)):
Дробное стандартное отклонение — это величина, обратная квадратному
корню из среднего значения распределения.
159
Количество стандартных отклонениий
СО
Норм.
https://t.me/med1917
5.3.4.1. Непрерывное нормальное распределение: доверительные интервалы
В экспериментах, где размер выборки невелик, существует лишь
несколько дискретных исходов. По мере увеличения объема выборки растет
и число возможных исходов. Когда размер выборки приближается к
бесконечности, возникает, по сути, непрерывное распределение исходов.
Кроме того, некоторые случайные величины, такие как рост и вес, являются
по сути непрерывными и имеют непрерывные распределения. В этих
ситуациях вероятность единичного события не мала, как предполагалось для
дискретных распределений Пуассона и нормального распределения, и
уравнение σ =
не применимо. Непрерывное нормальное распределение
имеет вид:
Свойства (рис. 5.5) непрерывного нормального распределения таковы:
— это непрерывная, симметричная кривая с обоими хвостами, уходящими
в бесконечность;
— все три показателя центральной тенденции — среднее, медиана и мода
– одинаковы;
— оно описывается двумя параметрами: средним арифметическим и
стандартным отклонением σ.
Среднее значение определяет местоположение центра кривой, а
стандартное отклонение σ представляет собой разброс вокруг среднего.
Рис. 5.5. Непрерывное нормальное распределение, указывающее уровни вероятности при
различных стандартных отклонениях (СО) от среднего значения
160
Норм.
Расстояние (мм)
FWHM
СО
https://t.me/med1917
Рисунок 5.6 – Кривая линейного отклика источника, полученная с помощью сцинтилляционной
камеры, установленной по модели нормального распределения. Разрешение изображения
измеряется как расстояние полной ширины на уровне половны высоты (FWHM) процентного
отклика. Стандартное отклонение (СО) σ — это полуширина при процентном отклике 60,65 %
Все непрерывные нормальные распределения обладают тем свойством, что
между средним значением и одним стандартным отклонением включается 68 %
по обе стороны, между средним значением и двумя стандартными отклонениями
средним и двумя стандартными отклонениями 95 %, а между средним и тремя
стандартными отклонений 99,7 % от общей площади под кривой.
5.3.4.2. Непрерывное нормальное распределение: применение в медицинской физике
Нормальное распределение часто используется в радионуклидных
измерениях и визуализации для подгонки к экспериментальным данным. В этом
случае уравнение модифицируется следующим образом следующим образом:
где — максимальное значение распределения в точке нормировано на 100.
Пространственное разрешение устройств визуализации, таких как
сцинтилляционные камеры и позитронно-эмиссионная томография
определяется как полная ширина на половине максимальной (FWHM)
характеристики нормального распределения, подогнанного к точечной или
линейной (рис. 5.6). FWHM устройства формирования изображений,
используемого на рис. 5.6 составила 23,6 мм. Соотношение для нормального
распределения между FWHM и стандартным отклонением σ можно получить,
задав P(x) = 50 и решив ур. (5.36):
161
https://t.me/med1917
Для системы формирования изображений, использованной на рисунке 5.6,
стандартное отклонение σ = 10 мм. Значение отклика P(x) составляет 60,65 % на
расстоянии σ = (ур. (5.36)). Таким образом, значение стандартного отклонения
σ также может быть получено из измеренной кривой процентного отклика, найдя
значение x при процентном отклике 60,65 % (рис. 5.6).
В радионуклидной энергетической спектроскопии распределение
фотопика может быть подогнано подгоняется под нормальное распределение
(рис. 5.1). Энергетическое разрешение сцинтилляционных детекторов
выражается как FWHM распределения фотопиков, деленная на энергию
фотопика E. Энергетический спектр в приложениях медицинской физики
измеряется в килоэлектронвольтах или мегаэлектронвольтах. Дробное
энергетическое разрешение RE составляет:
5.4. ОЦЕНКА ПРЕЦИЗИОННОСТИ ОДНОГО ИЗМЕРЕНИЯ ПРИ ПОДСЧЕТЕ
ОБРАЗЦОВ И ВИЗУАЛИЗАЦИИ
5.4.1. Допущение
Ценное применение статистики подсчета относится к случаю, когда
доступно только одно измерение определенной величины, и требуется
определить неопределенность, связанная с этим измерением. Квадратный корень
из выборочного квадратного корня из дисперсии выборки σ должен служить
мерой отклонения любого одного измерения от истинного среднего значения и
будет служить показателем степени точности, которая должна быть связана с
измерением из этого набора.
Поскольку доступно только одно измерение, выборочная дисперсия не
может быть рассчитана вычислить непосредственно с помощью ур. (5.3) или
(5.9) и должна быть оценена по аналогии с помощью соответствующей
статистической модели. Соответствующее теоретическое распределение может
быть сопоставлено с имеющимися данными, если измерение было взято из
популяции, теоретическая функция распределения которой предсказывается
либо распределением Пуассона или Гаусса. Поскольку значение единичного
измерения x является единственная доступная информация, предполагается, что
среднее значение распределения равно единственному измерению:
Получив предполагаемое значение , вся предсказанная функция
распределения вероятностей Функция распределения вероятностей P(x)
определяется для всех значений x.
162
Интервал
(относительное σ)
Интервал
(значения)
Вероятность того, что включено
истинное среднее значение (%)
x ± 0,67σ
93,3–106,7
50
x ± 1,00σ
90,0–110,0
68
x ± 1,64σ
83,6–116,4
90
x ± 2,00σ
80,0–120,0
95
x ± 2,58σ
74,2–125,8
99
x ± 3,00σ
70,0–130,0
99,7
https://t.me/med1917
Ожидаемая выборочная дисперсия s2 может быть выражена в терминах
дисперсии выбранной статистической модели:
Таким образом, наилучшая оценка отклонения σ от истинного среднего,
которая должна быть характерна для одного измерения x, дается:
Для иллюстрации применения ур. (5.41) предполагается, что функция
распределения вероятностей является гауссовой с большим значением для
измерения x. Диапазон значений x ± σ или x ±
будет содержать истинное
среднее значение с вероятностью 68 %.
Если предполагается, что существует единственное измерение x = 100, то:
В таблице 5.3 показаны различные варианты, доступные для указания
неопределенности связанных с одним измерением. Обычный вариант – указать
значение измерения x плюс или минус стандартное отклонение σ или 100 ± 10.
Ожидается, что этот интервал будет содержать истинное среднее значение с
вероятностью 68 %. Вероятность того, что истинное среднее значение будет
включено в диапазон, можно увеличить, если расширения интервала, связанного
с измерением, как показано в таблице 5.3. Например, для достижения 99 %
вероятности того, что истинное среднее включено в диапазон, интервал должен
быть увеличен на 2,58σ. В данном примере диапазон составляет 100 ± 25,8.
Если сообщается об ошибках, то соответствующий уровень вероятности
должен быть указан в отчете в разделе «Методы».
ТАБЛИЦА 5.3. ПРИМЕРЫ ИНТЕРВАЛОВ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО
ИЗМЕРЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЯ X = 100
163
https://t.me/med1917
5.4.2. Важность фракции σF как показателя точности одного измерения при
подсчете образцов и визуализации
Связь между точностью и единичным отсчетом x дается ур. (5.40).
Прецизионность, выраженная в виде стандартного отклонения σ, будет
увеличиваться пропорционально квадратному корню из измерения x. Таким
образом, если значение единичного измерения x увеличивается, то стандартное
отклонение также увеличится. Увеличение стандартного отклонения будет
меньше, чем увеличение стандартное отклонение будет меньше, чем увеличение
измерения x. Связь между стандартным отклонением и лучше всего
продемонстрировать, рассчитав относительное или дробное стандартного
отклонения σF:
Таким образом, зарегистрированное число отсчетов или значение
единичного измерения x полностью определяет относительную точность.
Относительная точность уменьшается с увеличением числа отсчетов. Поэтому
для достижения требуемой относительной точности, необходимо накопить
минимальное количество отсчетов.
Следующий пример иллюстрирует важную зависимость между
относительной точностью и количеством зарегистрированных отсчетов. Если
записано 100 отсчетов, относительное стандартное отклонение составит 10 %.
Если записано 10 000 отсчетов, относительное стандартное отклонение
уменьшается до 1 %. Этот пример демонстрирует важность получения
достаточного количества отсчетов для достижения требуемой точности.
Легче достичь требуемой точности при измерении образцов в счетных
пробирках, чем при измерениях in vivo на пациентах. Одно измерение
радиоактивного образца с высокой скоростью счета в счетной трубке будет
получено за короткое время. Однако если измеряется образец с низкой
активностью, время измерения придется увеличить, чтобы достичь желаемой
точности. Желаемую точность можно удобно получить с помощью
автоматических счетчиков. Эти счетчики могут быть настроены на прекращение
счета по истечении заданного времени или по достижении заданного количества.
Выбрав опцию предустановленного счета, можно добиться желаемой точность
может быть достигнута для каждого образца.
Время получения результатов измерений in vivo с использованием
коллимированного детектора зондов, таких как исследования поглощения йода
щитовидной железой или визуализационные исследования, часто не могут не
может быть увеличено для достижения желаемой точности в результате
движения пациента. В таких единичных измерениях можно выбрать
высокочувствительные детекторы излучения или более высокую, но можно
выбрать более высокую, но приемлемую дозу радиоактивного излучения.
164
https://t.me/med1917
Точность одного измерения очень важна при радионуклидной
визуализации. Если количество отсчетов, полученных в элементе изображения
или пикселе, невелико, то и точность будет низкой. В этом случае будет
наблюдаться широкий диапазон флуктуаций между соседними пикселями. В
результате низкое качество изображений позволяет выявить только можно
выявить только большие объемы дефектов или дефекты с высоким контрастом.
Чтобы обнаружить дефекта, измеренное число отсчетов от дефекта должно
находиться вне диапазона фоновых измерений плюс-минус два стандартных
отклонения (x ± 2σ). Во время визуализации количество отсчетов, измеренных в
целевом объеме, будет определяться временем регистрации, активностью в
целевом объеме и чувствительностью измерительного оборудования.
измерительного оборудования. Чувствительность оборудования для получения
изображений может быть увеличена путем увеличения пространственного
разрешения FWHM. Существует компромисс между точностью подсчета
образцов и пространственным разрешением устройства формирования
изображений для получения изображений, предоставляющих максимальную
диагностическую ценность при визуальной интерпретации изображений
врачами ядерной медицины.
Статистика подсчета также очень важна при количественной оценке
изображений, например, при измерении функции почек, фракции выброса левого
желудочка и опухолевого поглощения. В процессе количественной оценки
необходимо точно определить накопленные количества в органе или в
необходимо точно определить накопленные количества в органе или в целевом
объеме. При проведении количественных исследований учитываются
необходимо корректировать фоновую активность, ослабление и вклад рассеяния.
Эти процедуры еще больше снижают точность количественного определения.
5.4.3. Предостережение по использованию оценки прецизионности одного
измерения при подсчете образцов и визуализации
Все выводы основаны на измерении подсчитанного числа успеха
(количество голов при подбрасывании монеты). В ядерных измерениях или
визуализации, оценка точности одного измерения с помощью σ =
применена только в том случае. может быть применена только в том случае, если
x представляет собой подсчитанное число успехов, то есть число событий,
зарегистрированных за определенное время наблюдения.
Оценка точности одного измерения с помощью σ =
использована, если x не является непосредственно измеряемым показателем.
Например, ассоциация не применяется:
— к cкорости счета;
— cуммам или разности отсчетов;
— cредним значениям независимых отсчетов;
— подсчетам пикселей после реконструкции томографического
изображения;
— любым производным величинам.
165
может быть
не может быть
https://t.me/med1917
В этих случаях количество рассчитывается как функция от числа
зарегистрированных отсчетов. Ошибка, связанная с этой величиной, должна
быть рассчитана в соответствии с методами распространения ошибки,
описанными в следующем разделе.
5.5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОШИБКИ
В предыдущем разделе описаны методы оценки случайной погрешности
или точности одного измерения при ядерных измерениях или визуализации.
Большинство процедур в ядерной медицине включает в себя несколько ядерных
измерений и процедур визуализации для расчета таких результатов, как
поглощение йода щитовидной железой поглощение йода щитовидной железой,
фракция выброса, почечный клиренс, объем крови или время выживания
эритроцитов, на которых основывается клинический диагноз. Аналогичным
образом проводится внутренняя дозиметрия, используя ядерные измерения и
данные визуализации. Чтобы оценить соответствующую точность полученной
величины, как ошибка, связанная с первоначальными измерениями,
распространяется через вычисления, которые были выполнены для получения
для получения требуемого результата. Для этого применяются формулы
погрешности формулы распространения. Переменные, используемые при
расчете погрешностей, должны быть независимыми, чтобы избежать эффекта
корреляции. Предполагается, что погрешность в ядерных измерениях возникает
только из-за случайных флуктуаций скорости распада и статистически
независима от других ошибок.
Формулы погрешности распространения применимы к измерениям,
полученным на основе непрерывного распределения, а также к пуассоновскому
и дискретному нормальному распределениям. Измерения, полученные из
непрерывных распределений, будут представлены x1, x2, x3... с дисперсиями
σ(x1)2, σ(x2)2, σ(x3)2... Эти уравнения можно использовать для оценки точности
таких измерений, как рост и вес.
Дискретные ядерные измерения с пуассоновским или нормальным
распределением представлены N1, N2, N3... с дисперсиями σ(N1)2, σ(N2)2, σ(N3)2 ...
или N1, N2, N3...
5.5.1. Суммы и разности
Произведение xs суммы или разности ряда измерений с непрерывным
нормальным распределением дается:
Дисперсия xs определяется:
166
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана