Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
Как и прежде, функция логарифмического правдоподобия имеет вид:
Следует отметить, что член можно опустить, поскольку он не является
функцией . Поскольку является нелинейной функцией , решение не может
быть записано в виде произведения матриц. Однако иногда полезно знать, что
свойства пуассоновской целевой функции часто очень похожи на свойства
функции WLS (ур. (13.44)).
13.3.2. Алгоритмы оптимизации
Для оптимизации целевых функций
и
было предложено
множество итерационных алгоритмов реконструкции. Здесь кратко описаны
только два подхода: методы сопряженного градиента с предусловиями и
оптимизационный перенос, частным случаем которого является максимизация
ожиданий (EM).
13.3.2.1. Градиентные методы с предварительным условием
Целевая функция будет оптимизирована, если ее первые производные
равны нулю:
Оптимизация может быть проведена методом подъема по самому крутому
градиенту, который может быть сформулирован следующим образом:
467
https://t.me/med1917
где надстрочные знаки и обозначают номера итераций, а – вектор
первых производных по отношению к
.
Известно, что подъем по самому крутому градиенту неоптимален и требует
множества итераций для разумной сходимости. Чтобы найти лучшее
обновление, необходимо, чтобы после обновления первые производные были
равны нулю, как и предполагалось. Приближение с помощью разложения
Тейлора первого порядка дает:
где гессиан – матрица вторых производных от . Это, очевидно, очень большая
матрица, но ее элементы относительно легко вычислить:
Для гауссовского правдоподобия ур. (13.52) фактически является точным,
и достаточно одной итерации. Однако, как было показано ранее, вычислить
обычно невозможно. Вместо этого можно использовать приближения к гессиану
(или другие эвристики) для получения хорошего для вывода так называемого
алгоритма подъема по предварительно обусловленному градиенту:
468
https://t.me/med1917
Для сохранения сходимости матрица должна быть симметричной
положительно определенной (следует отметить, что
симметрична
положительно определенна, так как симметрична отрицательно определенна,
если имеет максимальный ранг).
Простой способ получения разумного заключается в использовании
только диагональных элементов : и , если . Более
сложный подход обсуждается в работе [13.17]: предлагается циркулянтная, т. е.
сдвигово-инвариантная аппроксимация гессиана. Такое приближение легко
вычислить, зафиксировав в определенном месте изображения в ур. (13.53) или
(13.54), что дает изображение, которое можно рассматривать как функцию
распределения точек оператора свертки. Этот инвариантный по сдвигу оператор
затем инвертируется с помощью преобразования Фурье, в результате чего
получается недиагональная матрица . Для случаев, когда истинный гессиан
сильно зависит от положения, этот подход можно повторить для нескольких
хорошо выбранных положений , применяя линейную интерполяцию для всех
остальных положений.
13.3.2.2. Методы сопряженного градиента
На рисунке 13.11 показана сходимость алгоритма подъема по самому
крутому градиенту для почти квадратичной функции двух переменных. На
каждой итерации алгоритм начинает двигаться в направлении максимального
градиента (то есть перпендикулярно изоконтуру) и продолжает двигаться по той
же линии, пока не будет достигнут максимум (то есть пока линия не станет
касательной к изоконтуру). Это часто приводит к зигзагообразной линии,
требующей много итераций для хорошей сходимости.
Алгоритм сопряженного градиента разработан таким образом, чтобы
избежать этих колебаний [13.18]. Первая итерация идентична итерации подъема
по самому крутому градиенту. Однако на последующих итерациях алгоритм
пытается двигаться в направлении, для которого градиент по предыдущему(им)
направлению(ям) остается неизменным (т. е. равным нулю). Идея состоит в том,
чтобы устранить необходимость в новой оптимизации вдоль этих предыдущих
направлений. Пусть
е. вторые производные). Теперь требуется, чтобы новое направление
таким, что градиент вдоль
– предыдущее направление, а – матрица Гессиана (т.
не изменяется. При движении в направлении
было
469
https://t.me/med1917
Рис. 13.11. Светлые линии – изоконтуры целевой функции. Сплошная линия показывает
сходимость алгоритма крутого градиентного восхождения, пунктирная – сходимость
алгоритма сопряженного градиентного восхождения. Следует отметить, что начальные
точки эквивалентны в силу симметрии. Объективная функция равна
, при = 2,15
градиент изменится (с помощью квадратичной аппроксимации) как
Требование, чтобы результирующее изменение вдоль
было равно нулю,
дает условие:
Это поведение иллюстрирует пунктирная линия на рисунке 13.11: на
второй итерации алгоритм движется в таком направлении, что траектория
пересекает изоконтуры под тем же углом, что и в начальной точке. Для
квадратичной функции в n измерениях сходимость достигается не более чем за
n итераций. Поскольку функция на рис. 13.11 не является квадратичной, для
полной сходимости требуется более двух итераций.
Новое направление может быть легко вычислено из предыдущих, отсутствии
вычисления гессиана . Алгоритм Полака-Рибьера приводится в [13.18]:
;
.
470
https://t.me/med1917
Этот алгоритм требует хранения предыдущего градиента
предыдущего направления поиска
. На каждой итерации он вычисляет новый
и
градиент и направление поиска и применяет линейный поиск вдоль нового
направления.
13.3.2.3. Методы сопряженного градиента с предварительным условием
Оба метода, упомянутые выше, могут быть объединены для получения
алгоритма быстрой реконструкции, как описано в работе [13.17]. Алгоритм
подъема по сопряженному градиенту с предварительным условием (с матрицей
предварительного условия M) может быть записан следующим образом:
13.3.2.4. Перенос оптимизации
Функцию логарифмического правдоподобия (ур. (13.47)) можно
максимизировать, установив ее градиенты (ур. (13.50)) в ноль для всех
. Проблема заключается в том, что каждая из этих производных является
функцией многих вокселей , что делает набор уравнений очень сложным для
решения. Идея «переноса оптимизации» заключается в замене проблемной
функции логарифмического правдоподобия другой функцией
, которая
приводит к более простому набору уравнений, обычно такому, где
производная по является функцией только , а не других вокселей . Это
делает задачу разделяемой на одномерных оптимизаций, которые легко
решаются. В идеале и должны иметь один и тот же оптимум, но это
слишком многого требует. Ключ заключается в том, чтобы спроектировать
таким образом, чтобы максимизация
. Это приводит к итерационному алгоритму, так как для максимизации
гарантированно увеличивала
придется разрабатывать и максимизировать новые функции . На
итерации суррогатная функция
должна удовлетворять следующим
условиям (показано на рис. 13.12):
471
Правдоподобие
L
https://t.me/med1917
Рис. 13.12. Перенос оптимизации: разрабатывается суррогатная функция, которая равна
правдоподобию в текущей реконструкции и меньше или равна везде
Отсюда следует, что новое изображение реконструкции
максимизирующее , имеет большее правдоподобие, чем
:
На основе этого подхода было разработано несколько алгоритмов
реконструкции по принципу максимального правдоподобия и MAP в
эмиссионной и трансмиссионной томографии. Де Пьерро [13.19] показал, как
хорошо известный алгоритм максимизации ожидания максимального
правдоподобия (MLEM) может быть выведен с использованием принципа
переноса оптимизации. Он также показал, как этот альтернативный вывод
предоставляет естественный способ расширить его до алгоритма MAP.
13.3.3. Максимизация ожидания максимального правдоподобия
13.3.3.1. Реконструкция по данным синограммы
Существует множество способов вывести алгоритм MLEM, включая
оригинальный статистический вывод Шеппа и Варди [13.20] (основанный на
работе Демпстера и др. [13.21]) и подход Де Пьерро [13.19], основанный на
переносе оптимизации. Ниже приводится только метод EM.
,
472
https://t.me/med1917
Напомним, что мы хотим найти изображение , которое максимизирует
функцию правдоподобия
образом. Вместо того чтобы сосредоточиться на
из ур. (13.47). EM делает это удивительным
, альтернативная (другая)
функция правдоподобия получается путем введения набора так называемых
«полных данных»
, определяемых как количество фотонов, которые были
испущены в вокселе и обнаружены в LOR во время измерения. Эти
ненаблюдаемые данные являются «полными» в том смысле, что они более
подробно, чем наблюдаемые данные
время измерения. Эти переменные
Так же, как и для фактических данных
логарифмического правдоподобия для наблюдения за данными
ожидании
:
, описывают то, что произошло во
имеют пуассоновское распределение.
, можно написать функцию
при
Однако это правдоподобие не может быть вычислено, поскольку данные
недоступны. Измерение эмиссии дает только суммы полных данных, так как:
где
представляет собой реальный (также ненаблюдаемый) аддитивный
вклад в LOR .
Метод EM предписывает вычислить ожидание
имеющихся данных и текущей реконструкции
реконструкции, можно записать
что
должно удовлетворять ур. (13.64). Можно показать, что это приводит к
. Основываясь только на
. Однако также известно,
, основываясь на
следующей оценке:
где
– оценка
отсутствии шума, которая предполагается доступной.
Вставив это в ур. (13.63), получаем математическое ожидание
и
завершаем шаг получения математического ожидания (E). Для шага
максимизации (M) первые производные просто равны нулю:
473
https://t.me/med1917
Это легко решается для , что приводит к новой реконструкции
:
Это хорошо известный алгоритм MLEM для эмиссионной томографии.
Можно показать, что этот метод обладает тем замечательным свойством,
что каждая новая итерация EM увеличивает значение правдоподобия
Следует отметить, что полные данные
не фигурируют в ур. (13.67); они
нужны в выводе, но их не нужно вычислять явно. Это очень удачно, так как их
огромное количество.
Для начала итераций требуется начальное изображение
. Поскольку
опыт (и теоретический анализ) показал, что при более высоких
пространственных частотах сходимость замедляется, а также потому, что
предпочтительны гладкие изображения, начальное изображение обычно
выбирают однородным, задавая
и , где - строго
положительная константа.
Алгоритм MLEM является мультипликативным, что означает, что он не
может изменить значение вокселя реконструкции, если его текущее значение
равно нулю. По этой причине воксели в исходном изображении должны быть
установлены в нулевое значение только в том случае, если априори известно, что
они действительно нулевые. При выводе алгоритма MLEM используется
предположение, что все , все и все
что и , и учесть, что вероятности
очевидно, что, когда начальное изображение
последующие изображения
также будут неотрицательными. Однако если по
неотрицательны. Если предположить,
также неотрицательны, то
неотрицательно, все
какой-то причине значение реконструкции становится отрицательным
(например, из-за того, что одно или несколько значений синограммы
отрицательны), то сходимость уже не гарантируется. На практике в этом случае
почти гарантирована дивергенция. Следовательно, если синограмма
предварительно обрабатывается процедурой, которая может давать
отрицательные значения (например, вычитание случайных событий в ПЭТ),
реконструкция MLEM будет работать только в том случае, если все
отрицательные значения будут установлены в неотрицательное значение.
13.3.3.2. Восстановление по данным в списочной моде
Измеренные данные
, рассмотренные в приведенных выше выводах
(так называемые «бинированные» данные), представляют собой количество
отсчетов, полученных в рамках отдельной пары кристаллов (LOR ), то есть
представляет собой сумму тех полученных событий (индексированных ),
которые были отнесены (гистограммированы) к -му LOR:
.
.
474
https://t.me/med1917
Однако в современных системах ПЭТ количество возможных LOR в пределах
FOV обычно превышает (часто во много раз) количество событий,
полученных в ходе клинического ПЭТ-исследования. Следовательно,
данные, полученные в результате биннинга, очень разрежены, и эффективнее
хранить и обрабатывать каждое полученное событие (со всей
соответствующей информацией) отдельно, в так называемом формате
«списочной моды».
Модификация алгоритмов максимального правдоподобия (будь то MLEM
или ускоренные алгоритмы на основе упорядоченных подмножеств, о которых
речь пойдет ниже) проста, как показано в работах Парры и Барретта [13.22], а
также Ридера и др. Следует отметить, что это не относится к другим алгоритмам,
например, к алгоритмам с аддитивными обновлениями. Алгоритм MLEM для
данных списочной моды можно получить, заменив
в уравнении MLEM
(ур. (13.67)) на вышеупомянутую сумму по событиям, пропуская LOR с
нулевыми счетами (которые не вносят вклад в сумму MLEM), и объединив
сумму по LORs с суммой по событиям :
где представляет собой индекс LOR, в котором было зарегистрировано -е
событие.
Основное отличие заключается в том, что теперь сумма MLEM
оценивается (включая расчеты соответствующих прямых и обратных проекций)
только над списком доступных событий (в любом порядке). Однако здесь важно
отметить, что нормирующий член перед суммой (матрица чувствительности
) по-прежнему должен вычисляться для всех возможных LOR, а не только
для тех, где счетчики ненулевые. Это представляет собой проблему для данных
с ослаблением (ослабление рассматривается как часть системной матрицы ),
поскольку матрица чувствительности должна быть рассчитана специально для
каждого объекта и, следовательно, не может быть вычислена заранее. Для
современных систем с большим числом LOR ее вычисление часто занимает
больше времени, чем сама реконструкция в списочной моде. По этой причине
для вычисления матрицы чувствительности рассматривались альтернативные
подходы (с определенными приближениями), такие как подходы на основе
подвыборки [13.24] или подходы, основанные на методе Фурье [13.25].
13.3.3.3. Восстановление данных ПЭТ о времени пролета
В случае TOF вероятность того, что пара фотонов прибудет из
определенной точки вдоль LOR (как сообщается на основе разности времен их
обнаружения), задается гауссовым ядром с шириной, определяемой
неопределенностью времени системы обнаружения. В отличие от этого, в случае
отсутствия TOF вероятность обнаружения события приблизительно равномерна
475
Гистопроекция
(события в бинах LOR
и TOF)
Проекция
(события в бинах LOR)
Проекция
(события в бинах LOR)
Гистоизображение
(события в бинах
изображения)
Воксели гистоизображение =
воксели изображения
Бины гистопроекции =
бины проекции с расширением TOF
https://t.me/med1917
вдоль LOR. Модификация итерационных алгоритмов реконструкции (как для
данных с бинами, так и для данных в списочной моде) для учета TOF не
представляет сложности. Интегралы по LOR (основной компонент системной
матрицы A) просто нужно заменить на взвешенные по ядру TOF интегралы по
LOR. Теперь прямую проекцию (или обратную проекцию) в определенном
направлении можно рассматривать и выполнять как свертку изображения с
соответствующим ядром TOF в направлении LOR (см. рис. 13.13). Остальная
часть алгоритма, то есть формулы, выведенные в предыдущих подразделах,
остается точно такой же (меняется только форма системной матрицы ).
Дополнительная информация, предоставляемая измерениями TOF, позволяющая
получить более локализованные данные, приводит к более быстрой и
равномерной сходимости, а также к улучшению соотношения сигнал/шум в
реконструированных изображениях, о чем широко сообщается в литературе.
Рис. 13.13. Сравнение форматов данных для биннированных данных по времени полета (TOF)
(слева: гистопроекция для вида 45°) и для подхода DIRECT (прямая реконструкция изображения
для TOF) (справа: гистоизображение для вида 45°). Гистопроекции можно рассматривать как
расширение отдельных не-TOF-проекций на TOF-направления (временные бины), а их интервалы
дискретизации зависят от геометрии проекции и временного разрешения. Гистоизображения
определяются геометрией и желаемой дискретизацией реконструированного изображения.
Полученные события и поправочные коэффициенты непосредственно помещаются в элементы
разрешения изображения отдельных гистоизображений (по одному гистоизображению на вид),
имеющих одно к одному соответствие с вокселями реконструированного изображения
Режим работы TOF имеет некоторые практические последствия (и новые
возможности) для способов хранения и обработки полученных данных. Формат
списочной моды очень похож на формат при отсутствии TOF. Структура
событий лишь немного расширяется на несколько бит (5–8 бит/событие), чтобы
включить информацию TOF, и события обрабатываются событие за событием,
как и в случае при отсутствии TOF.
С другой стороны, бинированные данные подвергаются значительному
расширению при учете информации TOF. Проекционные структуры
(преобразование рентгеновских лучей) расширяются на одно измерение, то есть
каждый проекционный бин расширяется в направлении LOR на набор временных
476
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана