Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
Оба выражения равны, если задать νy = 0:
где
— это «центральный срез» вдоль оси
— это одномерное преобразование Фурье проекции вдоль оси y;
через двумерное
преобразование Фурье изображения. Уравнение (13.6) — это теорема о
центральном срезе для частного случая проецирования вдоль оси y. Этот
результат сохранился бы, если бы объект был повернут или, что эквивалентно,
осям x и y. Следовательно, он справедлив для любого угла :
13.2.1.3. Двухмерная фильтрованная обратная проекция
Теорема о центральном срезе (ур. (13.7)) может быть непосредственно
применена для восстановления неизвестного изображения
известным проекциям
. Одномерное преобразование Фурье проекций
по его
дает все возможные центральные срезы через
, если
известны для всех в интервале с длиной не менее π (условие Туя).
Следовательно,
преобразования Фурье
дает
.
может быть построено из одномерного
. Обратное двумерное преобразование Фурье
Однако базовая реализация метода Фурье с простой интерполяцией в
пространстве Фурье работает плохо. Напротив, в случае алгоритма FBP,
описанного ниже, базовая реализация в реальном пространстве с простой
сверткой и простой интерполяцией в обратной проекции работает хорошо.
Обратное преобразование Фурье ур. (13.5) дает:
В полярных координатах это можно переписать так:
Применение теоремы о центральном срезе (ур. (13.7)) и изменение порядка
интегрирования приводит к тому, что:
447
https://t.me/med1917
что представляет собой алгоритм FBP. Этот алгоритм включает в себя
следующие шаги:
a) применение одномерного преобразования Фурье к
получить
b) фильтрация
;
с так называемым пилообразным фильтром
, чтобы
;
c) применение 1-мерного обратного преобразования Фурье для получения
проекций с пилообразной фильтрацией
d) рименение оператора обратной проекции ур. (13.2) к
получить желаемое изображение
.
;
, чтобы
Следует отметить, что пилообразный фильтр устанавливает постоянную
составляющую (т. е. амплитуду нулевой частоты) изображения равной нулю, в
то время как среднее значение восстановленного изображения определенно
должно быть положительным. В результате простая дискретизация FBP
приводит к значительному отрицательному смещению. Проблема решается с
помощью «заполнения нулем» перед вычислением преобразования Фурье с
помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это увеличивает выборку в
частотной области и приводит к лучшей дискретной аппроксимации
пилообразного фильтра. Однако для эффективного полного устранения
смещения требуется огромное количество нулевого заполнения. В следующем
параграфе показано, как можно легко избежать необходимости в нулевом
заполнении. Следует отметить, что после обратного преобразования Фурье
расширенная область может быть отброшена, поэтому размер отфильтрованной
синограммы остается неизменным.
Вместо фильтрации в области Фурье пилообразная фильтрация также
может быть реализована в виде одномерной свертки в пространственной
области. Для этого необходимо обратное преобразование Фурье
. Такого
обратного преобразования на самом деле не существует, но его аппроксимация
в виде предела для корректной функции
дает [13.3, 13.4]:
На практике всегда используются функции с ограниченным диапазоном,
подразумевающие, что пилообразный фильтр должен быть усечен на частотах
, где – расстояние дискретизации. Соответствующее ядро свертки
тогда равно [13.3]:
448
https://t.me/med1917
;
Ядро обычно требуется только для выборок :
, если четное, и
если нечетное. Фильтр
если
может быть реализован либо в виде свертки, либо преобразование Фурье может
быть использовано для получения цифровой версии пилообразного фильтра.
Интересно, что этот способ вычисления пилообразного фильтра также
уменьшает упомянутое выше отрицательное смещение. Причина в том, что
такой подход дает ненулевое значение для компонента постоянного тока [13.3].
Когда фильтрация выполняется в частотной области, по-прежнему
рекомендуется некоторое заполнение нулем перед БПФ из-за эффектов
круговой свертки, но её требуется гораздо меньше, чем при простой
дискретизации
.
Хотя это не очевидно из приведенных выше уравнений, алгоритм,
эквивалентный FBP, получается путем первого обратного проецирования
проецируемому изображению
, а затем применения двумерного пилообразного фильтра к обратно
[13.4]:
Этот алгоритм часто называют алгоритмом «back project-then-filter».
FBP предполагает, что проекции являются линейными
интегралами. Как обсуждалось в главе 11, данные ПЭТ и ОФЭКТ не являются
линейными интегралами из-за ослабления, неоднородностей детектора, вклада
рассеянных фотонов и/или случайных совпадений и т.д. Из этого следует, что
необходимо восстановить (хорошие оценки) линейных интегралов,
предварительно скорректировав данные с учетом этих эффектов. Однако особую
проблему представляет затухание в ОФЭКТ, поскольку, в отличие от ПЭТ,
затухание зависит от положения вдоль линии проекции, что исключает
возможность простой предварительной коррекции. Подробное обсуждение этой
проблемы выходит за рамки данного материала, но здесь кратко упоминаются
три решения:
a) Если можно предположить, что затухание постоянно внутри выпуклого
контура тела, то FBP может быть модифицирован для коррекции затухания.
Алгоритмы были предложены Беллини, Третьяком, Метцем и другими; один из
алгоритмов представлен в работе [13.3].
449
https://t.me/med1917
b) Если затухание непостоянно, можно применить алгоритм
приближенной коррекции, предложенный Чангом [13.5]. Это метод
посткоррекции, применяемый к изображению, полученному отсутствии
коррекции затухания. Чтобы улучшить аппроксимацию, можно вычислить
ослабленную проекцию первой реконструкции и снова применить метод к
разности измерений и этой вычисленной проекции.
c) Наконец, модифицированный алгоритм FBP, компенсирующий
неоднородное затухание в ОФЭКТ, был найден Новиковым в 2000 году.
Эквивалентный алгоритм был получен Наттерером [13.6]. Однако, поскольку
этот алгоритм был найден только после успешного внедрения итеративной
реконструкции в клиническую практику, он не привлек большого внимания в
сообществе ядерной медицины.
13.2.2. Соотношение частота-расстояние
Несколько очень интересных методов реконструкции изображений,
включая перегруппировку Фурье, основаны на так называемом соотношении
частота-расстояние, предложенном Эдхольмом, Левиттом и Линдхольмом и
подробно описанном в работе [13.7]. Это приблизительное соотношение
между ортогональным расстоянием до детектора и направлением частоты на
синограмме. Интуитивно это соотношение можно понять следующим
образом.
Рассмотрим ПЭТ-съемку точечного источника, как показано на рис. 13.3.
Обычно съемка описывается вращением проекционных линий при сохранении
неподвижности объекта. Однако здесь рассматривается эквивалентное описание,
где проекция всегда выполняется вдоль оси y, а томографическое изображение
получается путем поворота объекта вокруг начала координат. Предположим, что
точка расположена на оси x, когда . При получении параллельных проекций
для угла точка имеет полярные координаты , где – расстояние от центра
поля зрения (FOV), а – угол с осью x. Расстояние до оси x равно .
Соответствующая синограмма
везде равна нулю, за исключением кривой
(рис. 13.3). Полная синограмма получается поворотом точки на 360°
. Рассмотрим небольшую часть этой кривой, которая может быть
хорошо аппроксимирована как отрезок касательной линии вблизи определенной
450
a
a
y
x r
s s d
https://t.me/med1917
Рис. 13.3. Принцип зависимости частоты от расстояния. Слева: синограмма; справа:
вертикальная проекция точки, расположенной в полярных координатах
точки
, как показано на рис. 13.3. В двумерном преобразовании Фурье
синограммы этот отрезок вносит основной вклад в частоты в направлении,
ортогональном к отрезку. Это направление представлено углом , который задается:
Таким образом, в двумерном преобразовании Фурье
в конкретной точке
расположенных на расстоянии
несет в основном информацию о точках,
значение
от прямой, проходящей
через центр, параллельно детектору. Это соотношение может быть использовано
для применения к синограмме операций, зависящих от расстояния. Одним из
примеров является деконволюция, зависящая от расстояния, для компенсации
зависящего от расстояния размытия в ОФЭКТ. Другим примером является
алгоритм перегруппировки (пересортировки) Фурье, при котором данные из
наклонных синограмм пересортировываются в прямые синограммы.
13.2.3. Полностью трехмерная томография
13.2.3.1. Обратная проекция с фильтрацией
Благодаря использованию электронной коллимации ПЭТ-сканер может
одновременно получать информацию в четырехмерном пространстве линейных
интегралов. Это так называемые LORs, где каждая пара детекторов при
451
https://t.me/med1917
совпадении определяет одну LOR. В этом разделе дискретный характер
детектирования игнорируется, поскольку аналитический подход легче
описывается в предположении непрерывных данных. Рассмотрим
преобразование рентгеновских лучей в трехмерном пространстве, которое
можно записать в виде:
где LOR определяется как прямая, параллельная и проходящая через точку .
Вектор – единичный вектор, а вектор s ограничен плоскостью, ортогональной
, поэтому
является 4-мерным.
Большинство ПЭТ-систем сконструированы либо в виде цилиндрической
матрицы детекторов, либо в виде вращающегося набора плоских матриц
детекторов и, следовательно, имеют цилиндрическую симметрию. По этой
причине инверсия ур. (13.17) изучается для случая, когда ограничено полосой
на единичной сфере, определяемой
, как показано на рис. 13.4.
Следует отметить, что на самом деле нужна только половина сферы, поскольку
, но работать с полной сферой удобнее.
Рис. 13.4. Каждая точка на единичной сфере соответствует направлению параллельной
проекции. Идеальная вращающаяся гамма-камера с коллиматором с параллельными
отверстиями проходит только через точки на экваторе. Идеализированная ПЭТ-система
также получает проекции вдоль наклонных линий; она собирает проекции для всех точек
множества . Множество , определяемое
Чтобы восстановить определенную частоту (преобразование Фурье объекта), необходима
хотя бы одна точка на окружности
, — это незатененная часть единичной сферы.
452
https://t.me/med1917
При задача сводится к двумерному параллельному проецированию
(для нескольких срезов), которое, как было показано, имеет единственное
решение. Отсюда следует, что при
задача становится переопределенной,
и существует бесконечно много способов вычислить решение. Это можно
представить следующим образом. Каждой точке соответствует параллельная
проекция. Согласно теореме о центральном срезе, это дает центральную
плоскость, перпендикулярную трехмерного преобразования Фурье
. Таким образом, множество
на рисунке 13.4) содержит все плоскости, пересекающие ось
для восстановления всего изображения
(т. е. все точки на экваторе единичной сферы
, что достаточно
с помощью обратного
от
преобразования Фурье. Набор с предоставляет дополнительные
(косые) плоскости через
, которые, очевидно, являются избыточными.
Простым решением было бы выбрать достаточное подмножество из данных.
Однако если данные зашумлены, то более стабильное решение можно получить,
используя все измерения. Это достигается путем вычисления
из линейной
комбинации всех доступных плоскостей:
Здесь
– это двумерное преобразование Фурье относительно s
проекции . Функция Дирака выбирает параллельные проекции ,
которые перпендикулярные ν (т. е. точки на окружности
Наконец, фильтр
наборов данных
присваивает определенный вес каждому из имеющихся
. Суммарный вес для каждой частоты должен быть равен
на рис. 13.4).
единице, что приводит к уравнению фильтра:
Решение, эквивалентное решению невзвешенных наименьших
квадратов (LS), получается путем присвоения одинакового веса всем
доступным данным [13.8]. В результате получается фильтр Колшера,
который можно записать в виде:
где – угол между и осью :
. Здесь можно применить прямой
метод восстановления Фурье, используя простое обратное преобразование
Фурье уравнения (13.18). Однако обычно предпочтение отдается методу FBP,
который можно записать в виде:
453
(a)
(b)
(c)
https://t.me/med1917
Здесь получается путем фильтрации с помощью фильтра Колшера (или
другого фильтра удовлетворяющим ур. (13.19):
Координата — это проекция точки на плоскость,
перпендикулярную ; она выбирает LOR через в параллельной проекции .
13.2.3.2. Алгоритм репроекции
В предыдущем анализе предполагалось, что угол принятия
является
константой, не зависящей от . Как показано на рис. 13.5, на практике это не так.
Угол приёма максимален в центре FOV, становится меньше с увеличением
расстояния до центра и исчезает вблизи осевых краев FOV. Другими словами,
проекции являются полными для , ортогональных к оси (это двухмерные
многолучевые проекции параллельных лучей), и усеченными для наклонной
параллельных проекций. Усечение становится более сильным для сильнее
наклоненных проекций (рис. 13.5).
.
Рис. 13.5. Осевое сечение через цилиндрическую ПЭТ-систему, иллюстрирующее зависимость
угла приема от положения (a), наклоненные проекции усечены (b). В алгоритме репроекции
недостающие наклоненные проекции (пунктирные линии) вычисляются на основе временной
многосрезовой двухмерной реконструкции (c)
Поскольку угол приема зависит от положения, требуемая фильтрация
также зависит от положения и не может быть реализована в виде свертки, не
зависящей от сдвига (или фильтра Фурье). Было разработано несколько
стратегий для решения этой проблемы усечения. Один из подходов
заключается в разделении изображения на набор областей, а затем
оптимизации фильтра, не зависящего от сдвига, в каждой из областей.
Фильтр определяется наименьшим углом восприятия области, поэтому
454
https://t.me/med1917
некоторые данные использоваться не будут. Необходимо найти хороший
компромисс между минимальной потерей данных и практической
реализацией [13.9].
Другой подход заключается в том, чтобы начать с первой реконструкции,
используя наименьший допустимый угол по всем позициям x в поле зрения.
Обычно это означает, что используются только параллельные проекции,
ортогональные оси . Недостающие значения наклонной проекции вычисляются
из этой первой реконструкции (рис. 13.4) и используются для завершения
измеренных наклонных проекций. Это устраняет усечение, и позволяет
применить метод трехмерного FBP из предыдущего раздела. Этот метод [13.10]
был стандартным методом трехмерной ПЭТ-реконструкции в течение
нескольких лет, пока его не заменил более быстрый подход, основанный на
перегруппировке Фурье (см. ниже).
13.2.3.3. Методы перегруппировки
Сложность (оцениваемая как количество LORs) линейно возрастает с
увеличением осевой протяженности для 2-мерного ПЭТ, но квадратично для 3мерного ПЭТ. Чтобы сохранить приемлемое время обработки, исследователи
искали способы максимально уменьшить размер данных, сведя к минимуму
потерю информации, вызванную этим сокращением.
Большинство ПЭТ-систем имеют цилиндрическую поверхность детектора:
детекторы расположены на кольцах радиусом , а кольца объединены в цилиндр
вдоль оси z. Данные обычно упорядочиваются в виде синограмм, которые могут
быть записаны в виде:
где – единичный вектор в направлении LOR:
Параметр представляет собой расстояние между LOR и осью . LOR
соответствует совпадению точек детектора с осевыми положениями и
. Наконец, — это угол между осью y и проекцией LOR на плоскость
. Координаты идентичны тем, которые часто используются в
двумерной томографии. Следует отметить, что на практике и, как
следствие, направление LOR, вектор , практически не зависят от . Другими
словами, набор LOR с фиксированным
параллельную проекцию с хорошим приближением. LORs с часто
называют «прямыми» LORs, в то время как LORs с называются
«наклонными».
455
тогда можно рассматривать как
https://t.me/med1917
Основная идея алгоритмов перегруппировки заключается в вычислении
оценок прямых синограмм по наклонным синограммам. Если алгоритм
перегруппировки хорош, то большая часть информации из наклонных
синограмм попадет в эти оценки. В результате данные были сокращены из
сложной трехмерной геометрии в гораздо более простую двухмерную
геометрию отсутствии потери измеренного сигнала. Окончательная
реконструкция может быть выполнена с помощью двумерных алгоритмов,
которые, как правило, работают гораздо быстрее, чем полностью трехмерные
алгоритмы. Популярным подходом является использование перегруппировки
Фурье с последующей реконструкцией по принципу максимального
правдоподобия.
13.2.3.4. Перегруппировка одного и нескольких срезов
Простейший способ перегруппировать данные - рассматривать наклонные
LOR как прямые [13.11]. Это соответствует приближению:
Аппроксимация является точной только в том случае, если объект состоит
из точек, расположенных на оси z, и это приводит к ошибкам неправильного
позиционирования, которые увеличиваются с увеличением расстояния до оси z и
увеличением
объект небольшой и расположен по центру сканера или когда
. Следовательно, перегруппировка одного среза применима, когда
невелик. Осевая
протяженность большинства современных систем ПЭТ слишком велика, чтобы
перегруппировать весь трехмерный набор данных с помощью ур. (13.23). Однако
перегруппировка одного среза используется во всех системах ПЭТ для
уменьшения дискретизации измерения
объединения синограмм с одинаковыми
в трехмерных данных путем
. Это обычно уменьшает размер
данных примерно в десять раз по сравнению с максимально возможной выборкой.
Применение ур. (13.23), очевидно, приводит к размытию в направлении z,
в степени, пропорциональной расстоянию от оси z. Однако это также может
привести к серьезным несоответствиям в синограммах, создавая артефакты
размытия и в плоскости xy восстановленных изображений. Льюитт и др. [13.12]
предложили распределить значения наклонных LOR
с
в пределах FOV с радиусом
, т.е. по всем срезам, пересекаемым LOR, и
. Эта так называемая многосрезовая
по всем LORs
перегруппировка уменьшает несоответствия в синограммах, устраняя
большинство артефактов размытия xy при реконструкции. К сожалению,
улучшение достигается ценой сильного осевого размытия. Это размытие сильно
зависит от z, но оказалось, что оно примерно не зависит от и . Для уменьшения
этого осевого размытия применяется 1-мерный осевой фильтр, зависящий от
[13.12]. Многосрезовая перегруппировка превосходит перегруппировку с одним
срезом, но шумовые характеристики не являются оптимальными.
456
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана