Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
сигналов осуществляется путем свертки. Преобразование сложного процесса
свертки в одной области в простой процесс умножения в другой области
является одним из ключевых свойств представления сигналов в терминах
набора базисных функций.
Точно аналогичным образом преобразование Фурье преобразует свертку в
умножение. Преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению
преобразований Фурье функций. Символически:
где символ «↔» представляет преобразование Фурье, левая сторона показывает
операции во временной области, а правая сторона показывает операции в
области Фурье. Сложный интеграл во временной области преобразуется в
простое умножение в частотной области.
На первый взгляд может показаться, что операция преобразования Фурье
так же сложна, как и свертка. Однако, поскольку алгоритм быстрого
преобразования Фурье осуществляет эффективный метод вычисления
преобразования Фурье, оказывается, что, в общем, наиболее эффективным
методом выполнения свертки является преобразование двух функций,
умножение их преобразований и выполнение обратного преобразования
произведения. Вычисление сверток является одним из основных практических
применений преобразования Фурье.
12.3.4. Фильтрация
Слово «фильтрация» относится к обработке данных в области Фурье путем
умножения данных на функцию, фильтр. Концептуально идея заключается в том,
что частотные составляющие сигнала изменяются. Данные рассматриваются с
точки зрения их частотного или пространственно-частотного содержания, а не с
точки зрения их временного или пространственного содержания. Наиболее
эффективным процессом в целом является: преобразование Фурье, умножение с
помощью фильтра и обратное преобразование Фурье. Свертка выполняет ту же
операцию во временной или пространственной области, но, в целом, менее
эффективна.
Однако, если фильтр может быть представлен во временной или
пространственной области только небольшим числом компонентов, отличных от
нуля, то реализация фильтра с использованием свертки становится более
эффективной. Многие операции фильтрации при обработке изображений
реализуются с помощью свертки. Ненулевая часть временного или
пространственного представления этих фильтров называется ядром. В этом
разделе приводится множество примеров небольших ядер, которые
используются при обработке изображений.
Процесс умножения сигнала на функцию во временной или
пространственной области иногда называется оконным преобразованием.
407
https://t.me/med1917
Умножение сигнала на окно изменяет амплитуду временной или пространственной
составляющих сигнала. Из-за двойственности фильтрация и управление окнами –
это, по сути, одна и та же операция, и различие не всегда сохраняется.
Психологи называют едва заметную разницу наименьшей разницей,
которую может воспринять человек. В зрении едва заметная разница является
функцией пространственной частоты (точнее, угловой частоты). Люди
обладают ограниченным пространственным разрешением и не могут
обнаружить вариации на очень высокой пространственной частоте. При
несколько более низкой частоте можно воспринимать детали, но только при
очень высокой контрастности. По мере уменьшения частоты можно
воспринимать все меньшие и меньшие вариации контрастности. При очень
низких пространственных частотах чувствительность к низкой контрастности
снова снижается. Едва заметная контрастная чувствительность достигает
максимума примерно при 2 циклах на градус и быстро снижается при более
высоких и медленнее при более низких угловых частотах. Эти характеристики
важны при проектировании фильтрации изображений, которая часто
направлена на максимальную передачу информации об изображении
человеку.
12.3.4.1. Одномерная обработка
Одномерный сигнал f(t) может быть отфильтрован сигналом H(ω) в
частотной области путем преобразования f(t) в F(ω), перемножения сигналов для
получения G(ω) = F(ω)H(ω) и обратного преобразования G(ω) для получения
результата g(t). Альтернативно, представление H(ω) во временной области, h(t),
может быть свернуто с f(t):
Хорошим примером одномерной обработки является графический
эквалайзер. Ползунки на графическом эквалайзере представляют H(ω).
Каждый ползунок соответствует диапазону частот. Тоны во входном сигнале
умножаются на значения, представленные ползунком, для получения
выходного сигнала.
12.3.4.2. Двух- и трехмерная обработка
Двумерная обработка в точности аналогична одномерной обработке с
заменой одномерных переменных t и ω на двухмерные переменные x, y и kx, ky.
Для трехмерной обработки t заменяется на x, y, z, а w заменяется на kx, ky, kz.
Четырехмерная, пяти-, шестимерная и т.д. обработка может быть выполнена
аналогичным образом.
Свойством уравнений преобразования Фурье является разделимость —
сначала может быть выполнено преобразование по x, за которым следует
408
https://t.me/med1917
преобразование по y. Иногда удобно реализовать двумерное преобразование,
сначала выполнив преобразование по строкам, а затем выполнив
преобразование по столбцам. Все, что требуется, – это подпрограмма
одномерного преобразования Фурье, и любое количество измерений может
быть реализовано простым управлением индексацией.
12.3.5. Полосовые фильтры
Полосовые фильтры поддерживают диапазон частот, исключая все
остальные частоты. Идеальный полосовой фильтр равен ровно единице для
некоторого диапазона частот и ровно нулю для остальных частот.
Существует очень резкий переход между зонами пропуска и остановки.
Общая эвристика заключается в том, что резкий край в одной области будет
иметь тенденцию создавать рябь в другой области. Идеальная полосовая
фильтрация часто создает рябь вблизи резких переходов в сигнале. Поэтому
обычно переход от зоны пропуска к зоне остановки делается более
постепенным.
12.3.5.1. Низкочастотные, шумоподавляющие и сглаживающие фильтры
Фильтр нижних частот – это тип полосового фильтра, который пропускает
низкие частоты и останавливает высокие частоты. В изображении высокие
пространственные частоты необходимы для детализации. Обнуление высоких
пространственных частот сглаживает изображение. Подавляя высокие частоты
по сравнению с более низкими частотами, шум изображения часто подавляется.
Фильтры нижних частот как сглаживают изображение, так и уменьшают шум в
изображении.
Теория информации говорит нам, что обработка изображений может
только уменьшить количество информации в изображении. (Исключение
составляют случаи, когда обработка включает априорную информацию.)
Фильтрация подавления шума снижает количество информации,
переносимой шумом. Принято говорить, что обработка «выявляет»
особенность, но на самом деле то, что она делает, – это подавляет шум,
который сбивает с толку зрителя. Вся информация о контенте содержится в
исходном изображении; обработка просто уменьшает «бесполезную
информацию», содержащуюся в шуме.
Несколько похожий эффект часто можно получить, просто отойдя от
изображения или уменьшив размер изображения. При удалении
высокочастотный шум соответствует угловым частотам, при которых зрение
обладает низкой контрастной чувствительностью. Эти операции не полностью
эквивалентны фильтрации нижних частот. Они также могут переместить важный
контент в точку, где контрастная чувствительность снижается. Вместо этого
лучше всего просматривать изображение такого размера, при котором
содержание имеет максимальную визуальную чувствительность, а шум
подавляется с помощью фильтра нижних частот.
409
Сглаживание
3 × 3
1 2 1 2 4 2 1 2 1
Сглаживание
5 × 5
1 2 3 2 1 2 4 8 4 2 4 8 16 8 4 2 4 8 4 2 1 2 3 2 1
Увеличение резкости
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
25
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
Нерезкое маскирование
0 0 –1 0 0 0 –1
–2
–1 0 –1
–2
17
–2
–2 0 –1
–2
–1 0 0 0 –1 0 0
X градиент
0
–1 0 1 0 0
–1 0 1 0 0
–1 0 1 0 0
–1 0 1 0 0
–1 0 1 0
Y градиент
0 0 0 0 0
–1
–1
–1
–1
–1 0 0 0 0
0
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
https://t.me/med1917
Распространенным методом реализации фильтра нижних частот является
свертка с небольшим ядром. Например, в таблице 12.3 показано ядро
сглаживания размером 3 × 3, также обычно называемое ядром сглаживания с 9
точками. Каждая точка на сглаженном изображении состоит из
масштабированной суммы девяти окружающих точек. Также показано ядро
сглаживания размером 5 × 5. Каждая точка состоит из масштабированной суммы
25 окружающих точек. Вверху на рис. 12.2 показано влияние ядра 5 = 5 на круглую
ТАБЛИЦА 12.3. ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ЯДРА В ОБРАБОТКЕ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
410
https://t.me/med1917
область постоянной интенсивности. Эффекты относительно невелики и
ограничены краями круга. В нижней части рис. 12.2 показано воздействие на
сильно зашумленное изображение того же объекта. В этом случае эффект
гораздо более выражен.
Рис. 12.2. Верхний левый квадрант показывает круговую область постоянной интенсивности;
верхний правый квадрант показывает эффект применения ядра сглаживания 5 на 5; нижний
левый квадрант показывает версию круговой области с очень большим шумом; нижний правый
квадрант показывает эффект применения сглаживания 5 на 5 ядер
Распространенным методом задания фильтра нижних частот в частотной
области является фильтр Баттерворта:
Фильтр Баттерворта имеет два параметра, k0 и n. Параметр k0 – это частота
среза, а n – порядок. Фильтр достигает значения , когда пространственная
частота k равна k0. Параметр n определяет скорость перехода между зоной
пропуска и зоной остановки.
Иногда фильтр показан (рис. 12.3) в виде квадрата фильтра, равного 1/(1 +
(k/k0)2n). В этом случае фильтр достигает значения половины на частоте среза.
411
циклы/пиксель
n = 2, 3, 5, 7, 10
Фильтр Баттерворта
k0 = 0,25
https://t.me/med1917
Может возникнуть путаница, поскольку иногда сам фильтр определяется как
квадратное значение, т. е. при отсутствии квадратного корня. Кроме того, фильтр
иногда определяется с показателем степени n вместо 2n.
Рис. 12.3. На этом рисунке показана площадь фильтра Баттерворта в пространственночастотной области с порогом, равным 0,25 циклов/пиксель, и n, равным 2, 3, 5, 7 и 10
12.3.5.2. Высокие частоты и обнаружение краев
Края и, в более общем плане, детали изображения кодируются с
высокими пространственными частотами. Большие области постоянной
интенсивности кодируются с низкими пространственными частотами. Таким
образом, фильтр высоких частот будет стремиться выделить края
изображения.
Распространенным методом реализации фильтра верхних частот
является свертка с небольшим ядром. В таблице 12.3 показано ядро
повышения резкости размером 5 на 5. Вверху на рис. 12.4 показан эффект
применения этого фильтра к круглой области с гладкими краями. Фильтр
высоких частот также выделит помехи от пикселя к пикселю. Внизу на
рис. 12.4 показан тот же круглый объект с небольшим количеством шума.
Применение фильтра высоких частот к этому изображению приводит к
получению изображения, в котором преобладает шум. Как правило,
высокочастотный фильтр с определением границ используется, когда
исходное изображение имеет низкий уровень шума.
412
https://t.me/med1917
Рис. 12.4. Верхний левый квадрант показывает гладкую круглую область; верхний правый
квадрант показывает эффект применения ядра повышения резкости размером 5 на 5;
нижний левый квадрант показывает круглую область с небольшим количеством шума;
нижний правый квадрант показывает влияние ядра повышения резкости на усиление шума
12.3.5.3. Нерезкая маскировка и ганглиозные клетки сетчатки
Полосовой фильтр, который пропускает промежуточные частоты и
останавливает как низкие, так и высокие частоты, будет как сглаживать, так и
усиливать границы. Он сгладит небольшой диапазон пикселей и усилит границы
между областями на немного большем расстоянии. Как и фильтры нижних и
верхних частот, этот фильтр часто реализуется в пространственной области путем
свертки с небольшим ядром. В таблице 12.3 показано полосовое ядро. Пиксели,
расположенные вблизи центра ядра, будут добавлены вместе; эти пиксели сгладят
самые высокие частоты на изображении. Кольцевое пространство из пикселей,
расположенных на большем расстоянии, вычитается из центральных пикселей.
Эта часть ядра выделит края, которые находятся на этом расстоянии.
Двумерные ядра с такой формой иногда называют «ядрами мексиканской
шляпы», потому что пространство ядра выглядит, примерно, как мексиканская
шляпа. Фильтр гладкой мексиканской шляпы можно создать из разности двух
гауссианов. Эта же операция также называется нерезкой маскировкой из-за
сходства метода обработки пленки с таким названием.
413
https://t.me/med1917
Высокая широта означает, что могут отображаться изображения с большим
динамическим диапазоном, с ярким солнечным светом и тенями. Поскольку пленка
не обладает динамическим диапазоном человеческого глаза, единственный способ
получить максимальную широту – это иметь низкую контрастность. Хуже того,
динамический диапазон печатного изображения, даже глянцевого, на много
порядков ниже, чем у человеческого глаза. В нерезком замаскированном
изображении контраст интенсивности в диапазоне нерезкого ядра восстанавливается
по сравнению с оригиналом с низкой контрастностью. Контраст между более
удаленными объектами уменьшается. Несмотря на заметные изменения, нерезкие
изображения в масках часто выглядят очень похожими на естественную сцену. На
самом деле, иногда они выглядят «лучше», чем естественная сцена. Нерезкая
маскировка широко используется в «журнальных столиках».
Чтобы понять, почему эти искаженные изображения выглядят
правдоподобно по сравнению с исходной сценой, полезно рассмотреть первые
ганглиозные клетки сетчатки. Первые ганглиозные клетки сетчатки имеют
центральную/окружающую организацию. На сетчатке есть небольшая область, где
клетки имеют возбуждающий вход в клетку. Существует более обширная
окружающая область, где клетки имеют тормозящий вход в клетку. То, что
закодировано в зрительном нерве, – это отношение небольших возбуждающих
областей к окружающим тормозящим областям. Обработка ганглиозных клеток
очень похожа на нерезкую маскировку. Затем мозг декодирует эти входные данные,
чтобы составить окончательное впечатление о том, что показывает сцена.
Одной из важных особенностей человеческого зрения является его
способность не учитывать освещенность. В очень значительной степени люди
видят одни и те же цвета при самых разнообразных условиях освещения.
Зрительная система не учитывает освещенность. В сцене с ярким солнечным
светом и тенями человек осознает освещенность, но внутри области объекты все
равно распознаются, даже несмотря на то, что отражающийся от них свет может
отличаться на порядки в зависимости от того, в какой части сцены они находятся.
Вполне вероятно, что этот центральный/объемный механизм является ключевым
для снижения освещенности.
Важная вещь, которую следует помнить с точки зрения обработки
изображений, заключается в том, что, хотя нерезкое замаскированное изображение
может показаться людям правдоподобным по сравнению с естественной сценой,
оно было значительно изменено по сравнению с исходной сценой.
12.3.6. Деконволюция
Деконволюция – это процесс отмены свертки. Если мы знаем входные
данные f(t) для системы h(t) и выходные данные g(t) из системы, то деконволюция
— это процесс нахождения h(t) при заданных f(t) и g(t). В частотной или
пространственно—частотной области деконволюция проста – простое разделение:
414
https://t.me/med1917
Существует проблема с этой простой деконволюцией. Если F(ω) равно
нулю для любого ω, то H(ω) неоганиченно. Кроме того, поскольку ядерная
медицина имеет дело с реальными системами, в которых есть шум, каждый
раз, когда F(ω) мал, любой шум в G(ω) усиливается. Решение состоит в том,
чтобы отфильтровать простую деконволюцию фильтром, который зависит от
мощности в F(ω).
Поскольку сигналы обычно имеют меньшую мощность на высокой
частоте или высокой пространственной частоте, первая практическая
деконволюция была выполнена с помощью простой фильтрации верхних
частот. Фильтр Меца (раздел 12.3.7.2) может быть использован для выделения
среднечастотного диапазона при одновременном ослаблении высоких частот.
Если статистические свойства сигнала и шума известны или могут быть
разумно аппроксимированы, то можно использовать фильтр Винера
(раздел 12.3.7.3).
12.3.7. Фильтры восстановления изображений
Некоторые фильтры пытаются восстановить ухудшенные изображения.
Ухудшения могут исходить из многих источников, но наиболее важными для
этой книги являются ухудшения, вызванные приборами обработки
изображений, такими как гамма-камеры. Если система обработки
изображений не зависит от линейного сдвига, то ее можно смоделировать с
помощью свертки. Восстанавливающий фильтр необходим для устранения
эффекта системы формирования изображений, что приводит к деконволюции
системной функции. Даже в случае, когда система не является линейной или
не зависящей от сдвига, часто можно улучшить эффекты системы с помощью
фильтра.
12.3.7.1. Рамповый фильтр
Эффект проекции/обратной проекции заключается в сглаживании объекта
(см. раздел 12.3.5.1). В полярных координатах системная функция задается
простым уравнением:
Следует отметить, что системная функция не является функцией θ. Более
высокие частоты на изображении уменьшаются на коэффициент,
пропорциональный их пространственным частотам.
Очевидным методом восстановления исходного изображения является
умножение его на фильтр восстановления, заданный:
415
https://t.me/med1917
Фильтр восстановления увеличивается по величине пропорционально
пространственной частоте. Из-за формы фильтра он называется рамповым
фильтром. Рамповый фильтр отменяет операцию проецирования/обратной
проекции.
12.3.7.2. Фильтр Меца
Если шум в обнаруженном сигнале однороден, то восстановительный
фильтр изменит спектр шума. Для небольших реставраций соотношение
сигнал/шум все еще может быть благоприятным, но для частот с большими
реставрациями шум может доминировать. Наилучший результат часто
заключается в полном восстановлении небольших эффектов, но меньшем
восстановлении крупных эффектов. Фильтр Меца объединяет эти две цели в один
фильтр. Для любой системной функции H(k, θ) фильтр Меца задается формулой:
Системная функция часто записывается как MTF(k, θ), чтобы
акцентировать, что это MTF.
Первый член в этом уравнении, 1/H(k, θ), обращает эффект системы вспять.
Когда H(k, θ) почти равно единице, второй член примерно равен единице; когда
H(k, θ) почти равен нулю, второй член примерно равен нулю; при промежуточных
значениях второй член плавно переходит между этими двумя значениями. На рис.
12.5 пунктирными линиями показана имитируемая системная функция. Показаны
четыре фильтра Меца с различными параметрами X. На низких частотах фильтр
Меца нейтрализует эффекты системы формирования изображения. На высоких
частотах он приобретает характер фильтра нижних частот. Переход между
символами контролируется параметром X.
12.3.7.3. Фильтр Винера
Фильтрация Винера используется, когда известны статистические
свойства сигнала и шума. Функция, известная как спектральная плотность
мощности, S(ω), дает ожидаемое количество мощности в сигнале в зависимости
от частоты. «мощность» означает, что функция связана с квадратом величины
сигнала. Фильтр Винера задается формулой:
где Sf (ω) – спектральная плотность мощности сигнала f(t), а Sn(ω) – спектральная
плотность мощности шума n(t). При соответствующих обстоятельствах можно
показать, что фильтр Винера является оптимальной оценкой процесса f(t) с
учетом зашумленных данных, f(t) + n(t).
416
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана