Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
13.2.3.5. Перегруппировка Фурье
Перегруппировка Фурье [13.13] основана на принципе «частотарасстояние», который был описан ранее. Метод перегруппировки Фурье
наиболее просто формулируется, когда проекция записывается следующим
образом:
где ;
– угол между LOR и плоскостью xy;
переменная интегрирования – расстояние между положением на LOR и осью .
Из этого следует, что:
где аппроксимация справедлива при . В этом случае интерполяция не
требуется; достаточно масштабировать данные ПЭТ
коэффициентом
.
с весовым
Перегруппировка Фурье использует принцип «частота-расстояние» для
нахождения расстояния , соответствующего определенной части наклонной
синограммы. Как показано на рис. 13.6, расстояние используется для
определения местоположения прямой синограммы, которой должна быть
присвоена эта часть. Обозначив двумерное преобразование Фурье
относительно и как , можно записать это как:
Это уравнение объясняет, как распределить частотные составляющие из
конкретной наклонной синограммы в различные прямые синограммы. Частоты,
457
https://t.me/med1917
Рисунок 13.6 – Перегруппировка Фурье: расстояние от оси вращения получается по принципу
«частота-расстояние». Это расстояние используется для определения соответствующей
прямой синограммы
расположенные на линии в наклонной синограмме , могут быть отнесены
к этой же линии в прямой синограмме .
Окончательный алгоритм перегруппировки (часто называемый «FORE»)
получается путем усреднения всех имеющихся оценок прямой синограммы:
Следует отметить, что выражение перегруппировки справедливо только для
больших
. В низкочастотном диапазоне используется только прямая
синограмма. Последняя строка уравнения (13.28) справедлива, поскольку
предполагается, что изображение
равно нулю за пределами FOV
Более строгий математический вывод соотношения частота–расстояние
приведен в работе [13.14]. Альтернативные выводы, основанные на точных
выражениях перегруппировки, приведены в работе [13.13].
После перегруппировки Фурье результирующий 2-мерный набор данных
может быть восстановлен с помощью любого алгоритма 2-мерной
реконструкции. Популярным методом является комбинация перегруппировки
Фурье с алгоритмом 2-мерной статистической реконструкции.
.
458
https://t.me/med1917
13.2.3.6. Точные методы перегруппировки
Перегруппировка Фурье является приближенным методом, но было
установлено, что он достаточно точен для апертур до и, следовательно,
в значительной степени достаточен для большинства современных систем ПЭТ.
Однако существует тенденция к увеличению углов приема, и в будущем может
потребоваться более точный алгоритм перегруппировки Фурье. Примером
«точного» алгоритма перегруппировки является FOREX [13.13]. Он точен в том
смысле, что выражение для перегруппировки является точным для
непрерывного трехмерного преобразования рентгеновских лучей.
Согласно теореме о центральном сечении, двумерное преобразование
Фурье проекции
Фурье изображения
равно сечению через трехмерное преобразование
:
Подстрочный индекс обозначает преобразование Фурье относительно и .
Определяя:
Уравнение (13.29) можно переписать в виде:
Взяв одномерное преобразование Фурье относительно , получаем:
Сравнивая выражения для
и
, получаем:
Проблема FOREX заключается в том, что он требует одномерного
преобразования Фурье по , которое не может быть вычислено для усеченных
проекций. Как и в случае с трехмерной обратной проекцией с фильтрацией, этой
проблемы можно избежать, дополнив усеченные проекции синтетическими
данными. К счастью, ур. (13.32) может быть использовано в обоих случаях и
позволяет оценить (недостающие) наклонные синограммы по имеющимся
прямым синограммам. Полученный алгоритм медленнее, чем FORE, но все же
значительно быстрее, чем 3-D FBP с репроекцией.
459
https://t.me/med1917
13.2.4. Время пролёта ПЭТ
В методе времени пролёта (TOF) ПЭТ разница во времени прихода двух
обнаруженных фотонов используется для оценки положения их излучения вдоль
LOR. Неопределенность в оценке времени приводит к аналогичной
неопределенности в оценке положения, которая может быть хорошо
смоделирована как гауссово распределение. В результате проекции TOF
соответствуют гауссовым сверткам вдоль линий, а не линейным интегралам, как
показано на рис. 13.7.
Рис. 13.7. Проекция времени пролета может быть хорошо смоделирована как одномерная
гауссова свертка в направлении линии ответа
Соответствующая обратная проекция TOF соответствует свертке
измеренных данных с теми же одномерными гауссианами с последующим
суммированием по всем углам.
Вспомним из уравнения (13.2), что обычная проекция, за которой следует
обычная обратная проекция, соответствует свертке с фильтром размытия:
Преобразование Фурье для
равно
размытие можно устранить с помощью пилообразного фильтра
. Следовательно, это
, который
можно применить либо до или после обратной проекции (см. раздел 13.2.1).
Если
– это стандартное отклонение ядра размытия TOF, то
проекция TOF с последующим обратным проецированием TOF соответствует
свертке с ядром размытия:
460
https://t.me/med1917
Следует отметить, что гауссиан в приведенном выше уравнении имеет
стандартное отклонение
. Это объясняется тем, что гауссово размытие
присутствует как в проекции и в обратной проекции. Фильтр, необходимый в
TOF ПЭТ FBP, получается путем инвертирования преобразования Фурье
и равен:
где
– модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Это выражение FBP получается при использовании «естественной» обратной
проекции TOF, определяемой как смежная с TOF проекция. Эта обратная проекция
также используется в подходах LS, и было показано, что при таком определении
обратной проекции FBP является оптимальным в (невзвешенном) смысле LS
[13.15]. Однако данные TOF ПЭТ избыточны, и можно использовать различные
определения обратной проекции; они дадут различные выражения для
в
ур. (13.34) и, следовательно, различные фильтры реконструкции TOF.
Как и для ПЭТ отсутствии TOF, для ПЭТ с TOF были разработаны точные
и приближенные алгоритмы перегруппировки, позволяющие уменьшить объем
данных. Поскольку информация TOF ограничивает обратную проекцию
небольшой областью, ошибки при приблизительной перегруппировке обычно
намного меньше, чем в случае отсутствия TOF.
13.3. ИТЕРАТИВНАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ
13.3.1. Вступление
13.3.1.1. Дискретизация
При аналитической реконструкции изначально предполагается, что
неизвестный объект может быть представлен в виде функции при
, а
полученные данные – в виде функции при и – единичного вектора
в или
. Затем алгоритм реконструкции выводится путем математической
инверсии (предполагая некоторые удобные свойства для и ), и, наконец,
полученный алгоритм дискретизируется, чтобы сделать его готовым для
программной реализации. При итеративной реконструкции обычно начинают с
461
https://t.me/med1917
дискретизации задачи. Это сводит задачу реконструкции к нахождению конечного
набора неизвестных значений из конечного набора уравнений — задача, которая
может быть решена с помощью численной инверсии. Преимущество численной
инверсии заключается в том, что требуется только модель для процесса получения,
а не его обратная величина. Это облегчает (хотя и может быть нетривиальным) учет
некоторых нежелательных, но неизбежных эффектов, усложняющих процесс
получения, таких как ослабление фотонов, разрешение в зависимости от
положения, зазоры между детекторами и движение пациента.
После дискретизации неизвестные значения изображения и известные
измеренные значения могут быть представлены в виде столбцов – векторов и
. Процесс получения ПЭТ или ОФЭКТ характеризуется системной матрицей
и аддитивным вкладом , а – шумом измерений:
Символ обозначает количество фотонов, измеренных на LOR , где индекс
охватывает все элементы синограммы (объединяя три или четыре измерения
синограммы в один индекс). Индекс охватывает все воксели изображения, а
– вероятность того, что единица радиоактивности в приводит к
обнаружению фотона (ОФЭКТ) или пары фотонов (ПЭТ) на LOR . Оценка
аддитивного вклада обозначается как
. Предполагается, что эта оценка не
содержит шума и включает, например, разброс и случайные события в ПЭТ
или перекрестные помехи между различными энергетическими окнами в
многоизотопных ОФЭКТ-исследованиях. Наконец,
представляет собой
вклад шума на LOR .
Восстановление изображения теперь сводится к нахождению , учитывая
, и , а также статистическую модель для .
Для дальнейшего чтения по этой теме идеальной отправной точкой
является недавняя обзорная статья по итеративной реконструкции, написанная
Ци и Лихи [13.16].
13.3.1.2. Целевые функции
Присутствие шума исключает возможность точной реконструкции. По
этой причине реконструкция часто рассматривается как задача оптимизации:
предполагается, что полезное клиническое изображение может быть получено
путем максимизации хорошо выбранной целевой функции. Когда известна
статистика шума, можно применить байесовский подход для поиска
изображения
по данным:
462
https://t.me/med1917
Второе уравнение — это правило Байеса. Третье уравнение справедливо, потому
что y не зависит от , а четвертое уравнение справедливо, потому что вычисление
логарифма не меняет положение максимума. Вероятность
дает
вероятность измерения определенной синограммы y, когда распределение
изотопов равно . Это распределение часто называют просто вероятностью.
Вероятность
представляет собой априорное знание о распределении
трассера, имеющееся до проведения ПЭТ или ОФЭКТ. Эту вероятность часто
называют предварительным распределением. Знания, доступные после
измерений, равны
и называются постреляционным распределением.
Для упрощения часто предполагается, что предварительная информация
отсутствует, т. е.
максимизации правдоподобия
. Тогда поиск решения сводится к
(или его логарифма). В этом разделе
рассматриваются алгоритмы максимального правдоподобия. Максимально
апостериорные (MAP) алгоритмы обсуждаются в разделе 13.3.5, как стратегия
подавления распространения шума.
Популярным подходом к решению уравнений в форме уравнения (13.37)
является LS-оценка. Это эквивалентно подходу максимального правдоподобия,
если предполагается, что шум является гауссовским с нулевым средним и
фиксированным, не зависящим от положения стандартным отклонением .
Вероятность измерения зашумленного значения
тогда равна:
при ожидаемом значении
Поскольку шум в синограмме не коррелирован, вероятность (т.е. вероятность
измерения всей зашумленной синограммы ) равна:
Удобнее максимизировать логарифм
целевую функцию
:
; отбросив константы, в итоге получаем
463
АА
А
https://t.me/med1917
где штрих обозначает транспонирование матрицы. Установка первых
производных по равными нулю для всех дает:
при условии, что несингулярно. Оператор — это дискретная проекция; его
транспонирование – дискретная обратная проекция. Его аналитический аналог
приведен в ур. (13.2) и проиллюстрирован на рис. 13.1. На этом же рисунке
видно, что оператор ведет себя как фильтр размытия.
Рис. 13.8. Изображение точечных источников проецируется и снова обратно проецируется
вдоль идеальных параллельных пучков. Это дает инвариантное к сдвигу размытие
Рисунок 13.8 аналогичен, но иллюстрирует и на изображении трех
точечных источников, используя идеальную параллельно-лучевую проекцию. На
рисунке показаны результирующие функции распределения точек для
каждого из точечных источников. Они идентичны: для идеальной параллельно-
лучевой проекции является инвариантной по сдвигу, что эквивалентно
свертке. Из этого следует, что
— это соответствующая сдвигово-
инвариантная деконволюция, которая, легко вычисляется с помощью
преобразования Фурье. В этой ситуации LS-реконструкция (ур. (13.43)) является
дискретным эквивалентом алгоритма «back project-then-filter» (ур. (13.15)),
применяемого к данным после предварительной коррекции на
.
На рисунке 13.9 показаны и для излучателя, моделирующего
зависящее от положения размытие типичного коллиматора параллельного луча
ОФЭКТ. Размытие, вызванное , теперь является сдвигово-вариантным — оно
464
А
АА
https://t.me/med1917
не может быть смоделировано как свертка, и его обратная величина не может
быть вычислена с помощью преобразования Фурье. Для реальных задач прямое
инвертирование не представляется возможным. Вместо этого применяется
итерационная оптимизация для нахождения максимума ур. (13.42).
Рисунок 13.9 – Изображение точечных источников проецируется и снова обратно проецируется
с коллиматорным размытием. В результате получается размытие с переменным сдвигом
Известно, что количество обнаруженных фотонов подвержено
пуассоновскому, а не равномерному гауссовскому шуму. Распределение Пуассона
можно хорошо аппроксимировать гауссовым распределением, где дисперсия
гаусса равна его среднему значению. При таком приближении в ур. (13.40)
нужно заменить на , поскольку теперь для каждого пикселя синограммы
существует свое гауссово распределение. Продолжая действовать, как и раньше,
целевая функция взвешенных наименьших квадратов (WLS) имеет вид:
где
– ковариационная матрица данных.
Для эмиссионной томографии это диагональная матрица (все ковариации
равны нулю) с элементами
может быть записана как:
Оператор
лучевой томографии. Это показано на рис. 13.10. Бесшумная синограмма
вычисляется для определенного распределения активности. Установив
, оператор
. Соответствующая WLS-реконструкция
465
всегда сдвигово-вариантен, даже для идеальной параллельно-
можно проанализировать, применив его к
Эмиссионное изображение
y x Ax
C
y
–1
Ax
A'C
y
–1
Ax
https://t.me/med1917
изображению нескольких точечных источников, названных на рисунке .
Изображение проецируется, синограмма делится на попиксельно и
результат проецируется обратно. Очевидно, что получается размытие, зависящее
от положения. Следовательно, для восстановления WLS необходимо
использовать итерационную оптимизацию.
Рис. 13.10. Оператор
слева) и затем применен к нескольким точечным источникам x. Хотя использовалась
идеальная проекция параллельного луча, получено размытие, зависящее от сдвига
получен для определенного распределения активности (вверху
На практике, поскольку имеется только зашумленная синограмма , для
нахождения необходимо оценить синограмму отсутствии шума. В основном
существует два подхода. В первом подходе оценивается по , например, путем
сглаживания для подавления шума. При втором подходе оценивается как
во время итерационной оптимизации, где
– оценка реконструкции,
доступная на итерации . Недостатком первого подхода является то, что шум в
данных влияет на весовые коэффициенты, с тенденцией придавать больший вес,
когда вклад шума оказывается отрицательным. Сложность второго подхода
заключается в том, что он делает функцией . В этом случае нормализующая
амплитуда
ур. (13.44) следует добавить дополнительный член
гауссианов не может быть отброшена, что означает, что к
.
Можно использовать само распределение Пуассона, вместо того чтобы
аппроксимировать его гауссовым. Вероятность реализации шума
тогда
становится:
466
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана