Добавил:
Sekretar
kiopkiopkiop18@yandex.ru
t.me/Prokururor I Вовсе не секретарь, но почту проверяю
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Ординатура / Хирургия / Библиотека им академика М.И. Перельмана / Книга_148_библиотеки_им_акад_М_И_Перельмана
.pdf
https://t.me/med1917
Подходящим примером является зрение человека. Один человеческий глаз
может видеть только в двух измерениях; сетчатка представляет собой
двумерную структуру. Благодаря параллаксу, а также другим
физиологическим воздействиям люди с бинокулярным зрением могут
воспринимать глубину каждой точки визуального изображения. Наиболее
подходящей моделью воспринимаемого изображения является многозначная
функция со значениями интенсивности, оттенка, насыщенности и глубины. В
этой модели функция является двухмерной. Эта двумерная функция
представляет поверхность в трехмерном объеме. Со временем разум способен
построить трехмерную модель из последовательных двумерных
поверхностей.
На более базовом уровне оптика моделирует электромагнитный сигнал,
проходящий через апертуру, как сложную двумерную функцию. В дополнение к
информации об амплитуде, которую может воспринимать глаз, функция также
содержит информацию о фазе. Голография использует информацию о фазе,
позволяя наблюдателю «видеть вокруг» объектов, если «на пути» нет других
объектов. Однако основы физики ограничивают объем информации
разреженным (по сути, двумерным) набором данных, содержащихся в
трехмерном пространстве.
Одна из задач визуализации данных заключается в упрощении ввода
трехмерных данных с использованием 2‑мерного канала, предоставляемого
визуальной системой. Часто одно измерение преобразуется во время с помощью
кино или мыши для последовательного просмотра стопки изображений.
Рендеринг, такой как проекция или проекция с максимальной интенсивностью,
также может помочь, предоставляя обзор или повышая заметность наиболее
важных объектов в данных. Оба этих метода визуализации также используют
последовательность изображений для преодоления ограничений двумерного
визуального канала.
12.2.3.1. Непрерывные, дискретные и цифровые функции
Реальный мир обычно моделируется как непрерывный в пространстве и
времени. Непрерывный означает, что пространство или время можно разделить
на бесконечно малые приращения. Функция f (x) называется непрерывной
функцией, если как независимая переменная x, так и зависимая переменная f
представлены непрерывными значениями. Наиболее естественной моделью
распределения радиофармпрепарата в организме является непрерывная
трехмерная функция.
Изображение, разделенное на пиксели, является примером дискретной
функции. Независимые переменные x и y, которые могут принимать значения
только в определенных местах расположения пикселей, являются цифровыми.
Зависимая переменная, интенсивность, является непрерывной. Функция с
независимой переменной (-ми), которые являются цифровыми, и зависимой
переменной (-ми), которые являются непрерывными, называется дискретной
функцией.
397
https://t.me/med1917
Компьютер может представлять только цифровые функции, где как
независимая, так и зависимая переменная (-ые) являются цифровыми. Цифровые
значения предоставляют хорошую модель непрерывных значений, если грубость
цифрового представления мала по отношению к стандартным отклонениям
непрерывных значений. По этой причине цифровые изображения часто дают
правдоподобное представление о непрерывном мире.
Ядерная медицина по своей сути является цифровой в том смысле, что
оборудование для визуализации в ядерной медицине обрабатывает
сцинтилляционные события индивидуально. Оригинальные
сцинтилляционные камеры Ангера выдавали аналоговые сигналы
горизонтального и вертикального положения, но современные
сцинтилляционные камеры обрабатывают сигналы в цифровом виде, и на
выходе получаются цифровые сигналы положения. Большинство камер
позитронно-эмиссионной томографии (ПЭТ) имеют дискретные кристаллы,
так что линии отклика по своей сути являются цифровыми.
12.2.3.2. Матричное представление
Поверхность гамма-камеры можно визуализировать как разделенную на
крошечные квадраты. Элемент в двумерной матрице может представлять
каждый из этих квадратов. Трехмерная матрица может представлять
динамическую серию изображений или сбор данных однофотонной
эмиссионной компьютерной томографии (ОФЭКТ). Трехмерная матрица
эквивалентна трехмерной цифровой функции f[x, y, z]. Оба представления
эквивалентны представлению на языке компьютерной программы f[z][y][x].
Линии отклика в ПЭТ-камере при отсутствии осевой коллимации более
сложны. Возможно, самый простой способ понять данные – рассмотреть кольцо
дискретных детекторов. Кольцо может быть представлено в виде двумерной
матрицы — одно осевое и одно тангенциальное измерение. Любая линия отклика
(LOR) может быть определена двумя кристаллами, и каждый из этих двух
кристаллов определяется двумя измерениями. Таким образом, каждый LOR
определяется четырьмя измерениями. Четырёмерная матрица может
представлять линии отклика (не все пары кристаллов совпадают, поэтому
матрица разрежена, но это деталь).
Для компьютера особенно просто представить матрицу, когда количество
элементов в каждом измерении равно степени двойки. В этом случае значения x,
y и z совпадают с битами в адресе памяти. Ранние размеры компьютерных
изображений обычно были степенями двойки. Современная практика
программирования значительно уменьшила преимущества этой простой схемы
адресации. Однако там, где аппаратная реализация составляет значительную
часть задачи, по-прежнему существует сильная тенденция использовать
значения в степени двойки.
398
https://t.me/med1917
12.3. ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ
В этом разделе будет представлено введение в общие принципы
обработки изображений.
12.3.1. Пространственные частоты
12.3.1.1. Зрение и слух
Люди концептуализируют изображения в терминах того, что они
воспринимают. Думать об изображениях в терминах пространственных частот
неестественно. Однако взаимосвязь между восприятием, f(x, y), и
представлением пространственной частоты, F(kx, ky), можно понять,
обратившись к аналогии со слухом. Звуковые волны, ударяющие по барабанной
перепонке, могут быть представлены функцией времени, f(t). Чистый тон – это
синусоидальное изменение давления в зависимости от времени. Люди не думают
о синусоиде, когда слышат чистый тон; гораздо естественнее думать о чистом
тоне в терминах музыкальной ноты.
Улитка преобразует синусоидальные изменения давления с течением
времени в возбуждение единственного нерва в слуховом нерве, который
представляет этот тон. Сигнал давления, f(t), преобразуется в частоты. Если ω
представляет частоты, то преобразованный сигнал может быть представлен
функцией F(ω). Напомним, что угловая частота ω в 2π раз больше частоты. В
этом простом случае F(ω) – импульс на частоте, соответствующей тону.
Процесс, который выполняет улитка, может быть математически представлен
преобразованием Фурье. Представление сигнала давления во временной
области, f(t), преобразуется в сигнал в частотной области, F(ω), передаваемый по
слуховому нерву.
Люди слышат тоны; они не ощущают волны давления. Таким образом,
частотная область более естественна. Поскольку звуковые волны являются частью
раннего образования каждого человека, они менее естественны, чем тоны, но не
кажутся чуждыми. Пространственные частоты действительно кажутся чуждыми
большинству людей. Однако соотношение между f(t) и F(ω) в точности аналогично
соотношению между f(x, y) и F(kx, ky). Эта аналогия может помочь врачам и другим
медицинским работникам, не ориентированным на математику, осмыслить
взаимосвязь между пространством и пространственными частотами.
12.3.1.2. Пространственные синусоиды
«Чистая» пространственная частота соответствует синусоидальной функции
в пространственной области. Синусоидальный означает синус, косинус или их
комбинацию. На рисунке 12.1 показан ряд различных синусоидальных функций.
Переменные пространственной частоты kx и ky часто задаются в терминах
циклов на пиксель. Сигнал, который имеет последовательные максимумы и
минимумы в соседних пикселях, будет иметь один полный цикл в двух пикселях
399
https://t.me/med1917
или 0,5 цикла на пиксель. Шкала пространственных частот часто отображается в
диапазоне от 0 до 0,5 циклов на пиксель, где 0 циклов на пиксель представляет
собой постоянное значение в области изображения, а 0,5 циклов на пиксель
представляет изображение, которое варьируется от максимального до
минимального в 2 пикселя.
Рис. 12.1. Верхний левый квадрант представляет собой синусоиду с одной частотой в
направлении x; верхний правый квадрант представляет собой синусоиду с удвоенной
частотой; нижний левый квадрант представляет собой синусоиду с одной частотой в
направлении y; а нижний правый квадрант представляет собой одиночную синусоиду,
которая изменяется как в направлении x, так и в направлении y
12.3.1.3. Собственные функции
Собственные функции или векторы могут быть сложной математической
концепцией. Их часто представляют как продвинутую концепцию. Однако
собственные функции на самом деле являются базовой концепцией. Их
относительно легко понять, если избегать детальной математики.
Собственные функции – это «естественные» функции системы. Например,
собственная функция качелей – это синусоидальное возвратно-поступательное
движение. Качели, естественно, хотят совершать возвратно-поступательное
синусоидальное движение. Выходные данные системы, когда входными данными
является собственная функция, представляют собой масштабированную версию
входных данных. Система не изменяет форму собственной функции, она просто
400
https://t.me/med1917
масштабирует величину. Например, если чистый тон поместить в хороший аудиоусилитель, получится тот же самый тон, только усиленный.
Модель, подразумеваемая этими описаниями, заключается в том, что
существует система, у которой есть вход и выход. В первом случае система
представляет собой качели; во втором система представляет собой усилитель
звука. Следует отметить, что собственные функции являются свойствами систем.
Более уместным примером является ситуация, когда система представляет собой
гамма-камеру, входным сигналом является распределение радиоактивности от
пациента, а выходным – изображение.
Качели и усилитель имеют синусоиды в качестве собственных функций.
Фактически, большой класс систем имеет синусоиды в качестве собственных
функций. Все системы, инвариантные к линейному времени или линейному
сдвигу, имеют синусоиды в качестве собственных функций. Инвариантность ко
времени или сдвигу означает, что свойства систем не меняются ни со временем,
ни с положением. Реальные системы визуализации редко являются системами,
инвариантными к линейному сдвигу, но часто существует область, в которой их
можно смоделировать как систему, инвариантную к линейному сдвигу, поэтому
синусоиды будут очень полезны.
Обычное применение собственных функций в ядерной медицине
заключается в измерении передаточной функции модуляции (MTF). MTF
измеряется путем визуализации пространственной синусоиды и наблюдения за
тем, насколько хорошо сохраняются (передаются системой) пики и впадины
синусоиды (модуляция). Если они полностью сохранены, передача модуляции
равна 1. Если пики и впадины составляют только половину от оригинала,
передача модуляции равна 0,5. Типичный фантом полосы является
приближением синусоидальной функции.
Ключевым моментом для этого раздела является то, что пространственная
синусоида является собственной функцией системы формирования
изображения, по крайней мере, в некоторой области. Изображение имеет ту же
форму, что и входное, изменяется только амплитуда (модуляция) синусоиды.
Основные свойства системы могут быть определены путем измерения передачи
модуляции собственных функций. Линейность означает, что влияние системы
формирования изображения на любой сигнал, представляющий собой
комбинацию собственных функций, затем может быть определено как
масштабированная сумма собственных функций.
12.3.1.4. Базовые функции
Функция, f(t), может быть составлена из суммы ряда других функций, gk(t).
Например, функция может быть создана из константы, прямой, проходящей
через начало координат, параболы с центром в начале координат и т.д. Эта
функция может быть записана как сумма K степеней t:
401
https://t.me/med1917
Эти функции являются просто полиномами. Члены tk в полиноме являются
базисными функциями с коэффициентами αk. Выбирая различные
коэффициенты αk, можно представить большое количество функций.
Обычно кажется, что степени независимой переменной tk являются
наиболее важной частью многочлена, и во многих отношениях так оно и есть.
Однако будет полезно сместить акцент со степеней t на коэффициенты αk. Чтобы
создать новый многочлен, ключевым моментом является выбор коэффициентов.
С этой точки зрения термины tk являются просто заполнителями.
Расширяя эту точку зрения, можно представить коэффициенты как
дискретную функцию F[k]. Полиномиальную функцию можно переписать так:
Эта полиномиальная функция предоставляет метод преобразования из
функции коэффициентов в функцию времени. Этот процесс называется
вычислением полинома. Две функции, функция коэффициентов и функция
времени, являются эквивалентными представлениями в том смысле, что с
помощью этого преобразования можно преобразовать функцию
коэффициентов в функцию времени. Также возможно выбрать K точек в f(t) и
преобразовать их в F[k]. Этот процесс, называемый интерполяцией, выходит за
рамки данной главы.
Для этого обсуждения ключевым моментом является то, что
представления коэффициента и времени могут быть преобразованы взад и
вперед с помощью процессов вычисления и интерполяции. f(t) может быть
описана как функция во «временной области». F[k] можно описать как
дискретную функцию в «области коэффициентов». Эти две очень разные
функции представляют одно и то же в том смысле, что, используя вычисление
или интерполяцию, можно выполнять обратное преобразование между
представлениями.
12.3.1.5. Область Фурье — «k-пространство»
Когда мы узнаем о новом способе представления знакомого понятия,
естественно думать о знакомом понятии как о «реальном» представлении, а о
новом представлении как об «искусственном». Временные или пространственные
области являются реальными областями, частотные или пространственночастотные области являются искусственными или преобразованными областями.
Однако на самом деле они являются эквивалентными представлениями. Один из
способов понять это – подумать о слухе и зрении. Естественной областью для
зрения является пространственная область, но естественной областью для слуха
является частотная область. В одном случае естественной областью являются
частоты, а в другом естественная область прямо противоположна.
Эквивалентность двух областей называется двойственностью. Двойственность –
сложная концепция. Инженеры-электрики, которые постоянно работают с
402
https://t.me/med1917
преобразованиями Фурье, все еще думают о временной области как о
реальной области, а о частотной области как о области преобразования.
Одним из лучших примеров двойственности является МРТ. Химики,
привыкшие работать с ядерным магнитным резонансом, считают сигнал времени
естественным сигналом, а частотный сигнал – преобразующим сигналом.
Изображения воспринимайте изображение с магнитно-резонансных
изображений как естественный сигнал, а пространственные частоты – как
область преобразования. Однако из-за градиентов частотный сигнал дает
пространственное представление, а сигнал времени является пространственночастотным сигналом. Не существует «реальной» области и «трансформируемой»
области; все зависит от точки зрения.
12.3.1.6. Преобразование Фурье
Уравнения преобразования Фурье могут быть записаны компактно с
использованием комплексной экспоненциальной:
где i равно
Первое уравнение (ур. (12.3)), переходящее из временной или
пространственной области в частотную, называется анализом Фурье; второе
уравнение (ур. (12.4)), переходящее из частотной области во временную или
пространственную область, называется синтезом Фурье. Анализ Фурье
аналогичен полиномиальной интерполяции; синтез Фурье аналогичен
полиномиальному вычислению. Связь этих уравнений с синусоидальными и
косинусоидальными преобразованиями можно увидеть, заменив комплексную
экспоненту формулой Эйлера:
Эти уравнения были записаны в терминах времени и частоты.
Аналогичные уравнения могут быть записаны в терминах пространства и
пространственной частоты. Для двумерного случая:
403
https://t.me/med1917
Распространенное использование буквы k с подстрочным индексом для
переменной пространственной частоты привело к привычке называть
пространственно-частотную область «k-пространством», особенно в МРТ. Эти
уравнения в точности аналогичны уравнениям времени и частоты, где t заменено на x,
y, а ω заменено на kx, ky. В случае трех измерений t заменено на x, y, z, а ω на kx, ky, kz.
Предыдущие уравнения относятся к непрерывным функциям. Пределы
интегрирования интегралов не были указаны, но на самом деле предполагается, что
пределы составляют от –∞ до +∞. Однако компьютерное представление является
цифровым. Компьютерное представление часто считается дискретным, а не
цифровым, поскольку точность представления чисел часто высока, так что эффекты
количественной оценки можно игнорировать (см. раздел 12.2.3.1). Уравнения
преобразования Фурье в дискретной форме могут быть записаны в виде:
При обработке изображений единицей измерения n часто являются
пиксели, а единица измерения частоты k часто задается в виде дроби,
циклов/пиксель. Пространственная переменная n изменяется от 0 до N – 1;
пространственная частотная переменная k изменяется от –0,5 циклов/пиксель до
(но не включая) +0,5 циклов/пиксель с шагом 1/N.
12.3.1.7. Преобразование Фурье как корреляция
Некоторое представление о том, как работает пара преобразований Фурье,
можно получить, отметив аналогию между этими уравнениями и корреляцией.
Коэффициент корреляции записывается:
где x и y – две переменные, а i индексирует количество выборок. Знаменатель –
это просто нормализация, так что r находится в диапазоне от –1 до 1. Действие
указано в числителе. Следует отметить, что ключевой особенностью корреляции
является то, что она представляет собой сумму произведений.
Существует аналогия между уравнением корреляции и уравнением
преобразования Фурье. Индекс i аналогичен переменной t; xi аналогичен f(t); yi
аналогичен синусоиде. Уравнение преобразования Фурье определяет, насколько
функция «похожа» на синусоиду, точно так же, как и коэффициент корреляции
определяет, насколько похожи две переменные.
404
https://t.me/med1917
12.3.2. Требования к выборке
Для представления функции, f[n], с N точками, необходимы N значений
частоты, F[k]; для представления сигнала частотной области, F[k], с N точками,
необходимы N значений времени или пространства, f[n]. В качестве общей
эвристики, если сигнал имеет N точек в одном представлении, N точек
необходимы в другом представлении. Эта эвристика предполагает, что N точек
независимы.
Типичным свойством реальных систем является то, что они могут
обрабатывать изменения сигнала только до определенной максимальной
частоты. Таким образом, реальные сигналы часто имеют ограниченное
частотное содержание. Теорема о выборке гласит, что если сигнал содержит
частоты максимум до f, то он может быть точно воспроизведен из выборок,
которые берутся каждые 2/f в секунду. Выборка должна быть в два раза выше
максимальной частоты. Если выборка выполняется недостаточно быстро, то
высокие частоты, по-видимому, возникают на более низких частотах. Этот
процесс, который происходит при выборке слишком низкой частоты,
называется сглаживанием.
12.3.3. Свертка
Свертка может использоваться для описания любой линейноинвариантной по времени или линейно-инвариантной по сдвигу системы.
Входные данные, система и выходные данные описываются функцией.
Системная функция h(t) определяется как выходная g(t), когда входное значение
f(t) равно дельта-функции δ(t).
В общем, входные данные f(t) могут быть концептуализированы как
последовательность дельта-функций δ(t – τ), масштабируемых входными
данными в момент времени f(τ). Каждая дельта-функция выдает компонент
выходного сигнала, который является системной функцией h(t – τ), которая
была сдвинута на время, равное времени ввода, и масштабирована на
величину f(τ). Поскольку система не зависит от времени, один и тот же отклик
h(t) может использоваться для ввода в любое время. Поскольку система
линейна, входные данные в разное время могут рассматриваться отдельно и
могут быть добавлены отдельные выходные данные. Формула для свертки
имеет вид:
12.3.3.1. Сдвижение, масштабирование, добавление
Свертку можно суммировать как сдвижение, масштабирование, a
добавление — сдвинуть системную функцию на величину, равную времени
ввода, масштабировать на размер входных данных и сложить все
405
https://t.me/med1917
результирующие сдвинутые и масштабированные системные функции. Свертка
может быть использована для описания кривой зависимости времени от
активности в интересующей области. Входными данными являются
артериальная концентрация, системной функцией является кривая временной
активности после артериальной инъекции болюса активности, а кривая
временной активности после внутривенного введения представляет собой
свертку артериальной концентрации и системной функции.
Свертка не ограничивается одномерными примерами. Системной
функцией для Ангер-камеры является изображение, получаемое в ответ на
точечный источник активности. Точечный источник может быть смоделирован
как двумерная дельта‑функция. Изображение точечного источника будет
представлять собой большой двоичный объект, размер которого зависит от
разрешения камеры. Большой объект можно переместить в любую точку поля
зрения (FOV); его можно масштабировать в зависимости от количества
активности в каждом местоположении; и все большие объекты можно
суммировать. Этот процесс — сдвиг, масштабирование, добавление — приведет
к получению окончательного выходного изображения.
Формула для двумерной свертки такова:
В трех измерениях:
12.3.3.2. Сопоставление свертки с умножением
В разделе 12.3.1.4, посвященном базисным функциям, было отмечено, что
интерполяция может использоваться для преобразования набора значений сигнала
в представление в терминах коэффициентов полиномиальной функции, и что
вычисление может использоваться для преобразования коэффициентов
полиномиальной функции в значения. Коэффициенты можно рассматривать как
функцию в области коэффициентов, а значения можно рассматривать как функцию
в области значений. Процесс умножения двух многочленов включает отслеживание
коэффициентов t0s, t1s, t2s и т.д. Буквы «t», по сути, являются заполнителями.
При умножении полиномов коэффициенты первого многочлена
сдвигаются на показатель степени второго многочлена, масштабируются на
коэффициенты второго многочлена и произведения складываются. Процесс —
сдвиг, масштабирование, сложение — является сверткой. Умножение
многочленов является сложным. Однако в области значений процесс намного
проще. Два сигнала умножаются в области значений простым умножением их
значений. В области значений умножение двух сигналов осуществляется
путем умножения их значений; в области коэффициентов умножение двух
406
Соседние файлы в папке Библиотека им академика М.И. Перельмана