12. Дифференциальное уравнение для функции Грина в нкм. Функция Грина свободных частиц. Интегральное уравнение для функции Грина в нкм.

Дифференциальное уравнение для причинной функции Грина G(x₂, x₁)

Получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Грина G(x₂, x₁).

Для этого подействуем оператором уравнения Шредингера (i/t – Ĥ(x)) на обе части соотношения G(x₂,x₁) = _n_n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁) (11), дифференцируя по пространственно-временной точке x₂ (имеем в виду, что _n(x) является решением уравнения Шредингера i(x)/t = Ĥ(x), и учитываем соотношение G(x₂, x₁) = K(x₂, x₁)(t₂-t₁) (10)):

(i/t₂ – Ĥ(x₂))G(x₂, x₁) = _n {(i/t₂ -Ĥ(x₂))_n(x₂)}_n*(x₁)(t₂-t₁) + i_n _n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁) =

= i(t₂-t₁) _n _n(x₂)_n*(x₁) = i(t₂-t₁)⁽³⁾(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁).

Итак, дифференциальное уравнение для причинной функции Грина в НКМ удовлетворяет обычным требованиям для функции Грина – в данном случае это неоднородное уравнение Шредингера с правой частью, представляющей четырехмерную дельта-функцию:

(i/t₂ – Ĥ(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (12)

Гамильтониан Ĥ=Ĥ₀(x)+V(x) – есть сумма гамильтониана свободной частицы Ĥ₀ плюс взаимодействие V(x).

Функция Грина свободной частицы

Функция Грина свободной частицы в силу трансляционной инвариантности пространства при отсутствии взаимодействия должна зависеть только от такой комбинации пространственно-временных точек x₁ и x₂, которая не содержит вектор трансляции, т. е. от разности обеих точек. Обозначим функцию Грина свободной частицы G₀(x₂-x₁).

Дифференциальное уравнение для функции Грина свободной частицы получается, естественно, из уравнения (12), если заменить полный гамильтониан Ĥ на гамильтониан Ĥ₀=(-i)²/2m свободных частиц:

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (13)

G₀(x₂-x₁) можно представить как сумму (11) по свободным решениям уравнения Шредингера, плоским волнам _p(x)=Nexp[-i(Et-px)]. Здесь E=p²/2m, N – нормировочный множитель.

G₀(x₂-x₁) = |N|² _p exp{-i[E(t₂-t₁) – p(x₂-x₁)]}(t₂-t₁) (14)

Нетрудно видеть, что при замене x₂ на x₁: G₀(x₂-x₁) = G₀*(x₁-x₂).

Если обозначить x=x₂-x₁, то G₀(x) = G₀*(-x). (15)

Интегральное уравнение для причинной функции Грина в НКМ

В дальнейшем при выводе правил Фейнмана нам понадобится именно интегральное, а не дифференциальное уравнение для функции Грина.

Пусть функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению (12):

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂) – V(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂—x₁). (12)

Покажем, что интегральное уравнение для функции Грина записывается в виде:

G(x₂, x₁) = G₀(x₂-x₁) +  d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁). (16)

(Это уравнение Фредгольма, т.к. содержит свободный член)

на обе части соотношения (16) оператором (i/t₂ – Ĥ₀(x₂)) и, учитывая соотношение (13), в результате получим дифференциальное уравнение (12):

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + d⁴x₃ i⁽⁴⁾(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁),

(i/t₂ – Ĥ₀(x₂))G(x₂, x₁) =i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + V(x₂)G(x₂, x₁)

В последнем соотношении перенесем последнее слагаемое справа в левую часть и получим уравнение (12). Следовательно, интегральное уравнение (16) справедливо. С математической точки зрения это интегральное уравнение Фредгольма.