3. Решение уравнения Клейна-Гордона для свободных частиц. Интерпретация решений с отрицательной энергией. Положительно-частотные и отрицательно-частотные решения.

Решение уравнения Клейна – Гордона для свободных частиц

Для свободных частиц с массой m (при отсутствии сил) сохраняется импульс p=const. Введем 4-импульс p_(p₀,p). Обозначим пока нулевую компоненту 4-импульса p₀. Решения для свободных частиц представляются в виде плоских волн:

_p(x)=Nexp{-i(px)}=Nexp{-i(p₀t-px)}. (1)

Здесь и в дальнейшем (px)=p_x_=p₀t-px; N – нормировочный множитель.

Подставим (1) в уравнение Клейна-Гордона (_²+m²)(x)=0 (*) :

(_²+m²)_p=(-p₀²+p²+m²)_p=0. Отсюда p₀²=p²+m²=E²; p₀=E.

Итак, в релятивистской области существуют решения как с положительной, так и с отрицательной (!) энергией.

Рассмотрим решения с положительной энергией p₀=+E:

_p⁽⁺⁾=Nexp{-iEt+ipx}. (2)

Если энергию и импульс устремить к нерелятивистским значениям, то (2) будет соответствовать обычной плоской волне для нерелятивистской частицы. Поэтому естественно назвать это решение решением для частиц. Но уравнение Клейна-Гордона (*) содержит также решения для античастиц, которые получаются из решений для частиц с помощью операции зарядового сопряжения – для уравнения Клейна – Гордона это операция комплексного сопряжения. Определим решения для античастиц:

_p^(-)=Nexp{iEt-ipx}=Nexp{-i(-E)t+i(-p)x} (3)

Из (3) следует, что решения для античастиц (впервые эта интерпретация дана Ричардом Фейнманом и Штюкельбекером) можно представить как решения для частиц, но (чисто формально!) с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную сторону по отношению к движению частиц.

Формально позитрон с массой m, энергией E и импульсом p можно трактовать как электрон с энергией –E и импульсом –p. В данной интерпретации Фейнмана (формально!) античастица эквивалентна частице с отрицательной энергией, которая движется “вспять по времени”.

позитрон с E, p эквивалентен электрону c –E, -p 

(время течет вверх)

Откуда же берутся отрицательные плотности вероятности? Для этого вычислим _p:

_p^()=i[_p^()*(/t)_p^()-_p^()(/t)_p^()*]=2|N|²E (4)

Итак, очевидно, что отрицательные плотности вероятности соответствуют античастицам.

Решения (2) для частиц называются положительно-частотными решениями, а решения (3) для античастиц – отрицательно-частотными решениями.

Квантовые релятивистские уравнения, в отличие от уравнения Шредингера, имеют вдвое больше фундаментальных решений для свободных частиц – они соответствуют частицам и античастицам.

В заключение получим нормировочный множитель N. Условимся решения нормировать так, чтобы в единичном объеме V=1 находилась ровно одна частица.

dV|_p|=1 (интеграл берется по единичному объему). Подставляя сюда _p из (4) (эта величина не зависит от объема), найдем для N значение: N=(1/2E)^1/2.

Итак, окончательно: уравнение Клейна – Гордона имеет два типа фундаментальных решений:

_p⁽⁺⁾(x)=(1/2E)^1/2exp{-i(px)} – положительно-частотное решение, отвечающее частицам (5)

_p^(-)(x)=(1/2E)^1/2exp{i(px)} –отрицательно-частотное решение, отвечающее античастицам (6)

Положительно-частотные решения, так же, как и отрицательно-частотные решения, образуют ортонормированную систему:

_p⁽⁺⁾*₀^<sub>p`</sub><sup>(+)</sup>(x)d<sup>3</sup>x = (2)<sup>3</sup><sup>(3)</sup>(p-p`) (7)

Оператор ₀^ действует следующим образом:

A(t)₀^B(t) = A(t)(B(t)/t) – (A(t)/t)B(t).

В связи с уравнением Клейна – Гордона были обнаружены следующие трудности:

(a) имелись решения с отрицательной энергией;

(b) ток j_ не был связан с положительно определенной плотностью вероятности , как это было в случае уравнения Шредингера.

По этим причинам мы вынуждены отказаться от интерпретации уравнения Клейна – Гордона как одночастичного уравнения. Однако скалярные частицы, частицы со спином 0, существуют (-мезоны, K-мезоны, -мезоны, бозон Хиггса и т. д.), так что, несомненно, должна быть возможна разумная интерпретация этого уравнения.