13. Теория возмущений. Представление функции Грина в виде ряда теории возмущений по взаимодействию. Графическая интерпретация.

Теория возмущений

Преимущество интегрального уравнения G(x₂, x₁) = G₀(x₂-x₁) +  d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G(x₃, x₁) (16) состоит в том, что его можно решать итерациями в случае, когда потенциал взаимодействия V(x) можно считать малым. Характерная величина потенциала должна быть мала по сравнению с характерной кинетической энергией системы в эффективной области взаимодействия. Представим его решение в виде ряда теории возмущений по потенциалу:

G(x₂, x₁) = _k=0 ^ G^(k)(x₂, x₁). (17)

Нулевое приближение (~V⁰):

G⁽⁰⁾ = G₀(x₂-x₁) (18)

– описывает свободное перемещение системы из пространственно-временной точки x₁ в точку x₂.

Рисунок, изображающий перемещение частицы без взаимодействия – соответствует свободной функции Грина G₀(x₂-x₁).

Первое приближение (~V):

G⁽¹⁾ = d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₁) (19)

– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с однократным взаимодействием в произвольной точке 3 (по координатам x₃ и времени t₃ происходит интегрирование). Первая поправка к свободному движению получается, если в интегральном уравнении (16) заменить G под знаком интеграла нулевым приближением G⁽⁰⁾.

Рисунок диаграммы первого порядка теории возмущений.

Символически G⁽¹⁾ можно записать в виде: G⁽¹⁾ = G⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾.

Второе приближение (~V²):

G⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₄)(-iV(x₄))G₀(x₄-x₁)} (20)

– описывает перемещение системы из точки 1 в точку 2 с двукратным взаимодействием в произвольных точках 3 и 4. Поскольку интегрирование происходит как по времени t₃, так и по времени t₄, то взаимодействие в точке 3 может произойти или раньше взаимодействия в точке 4, или позже. Таким образом, допустимы оба случая t₃>t₄ и t₃<t₄. Чтобы учесть одновременно обе возможности, вводят операцию хронологического произведения или упорядочения операторов по времени – оператор, зависящий от более позднего времени, стоит слева от оператора, зависящего от более раннего времени. Операция обозначается знаком “T”. Операция хронологического произведения определяется следующим образом:

T{V(x)V(x`)} = V(x)V(x`), если t>t` (21)

V(x`)V(x), если t`>t

Рисунок двух диаграмм, соответствующих второму порядку теории возмущений.

Символически поправку второго порядку к функции Грина можно записать в виде:

G⁽²⁾ = T{G⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾VG⁽⁰⁾}

Интегральное уравнение для функции Грина (16) можно записать графически (Рис.1.):

Рис. 1.

Если “мысленно” разрезать каждую диаграмму, начиная со второй (показано пунктирной линией), так, чтобы слева осталась сплошная линия G₀ и одна акция взаимодействия V, то вся бесконечная совокупность диаграмм справа даст функцию Грина G, и мы получим интегральное уравнение (16) в графической форме. Символически: G = G₀ + G₀VG.

14. S-матрица. Инвариантная амплитуда (амплитуда рассеяния). Правило получения инвариантной амплитуды из функции Грина в n-ном порядке теории возмущений.

S-матрица. Инвариантная амплитуда.

S-матрица преобразует начальное состояние квантово-механической или квантово-полевой системы в отдаленном прошлом (t-) _нач в конечное состояние в отдаленном будущем (t) _кон.

Определим оператор S следующим образом:

S_кон = _нач. (22)

Пусть начальное состояние характеризуется совокупностью квантовых чисел i, _нач=_i, и возможен переход в совокупность конечных состояний {_n}.

Разложим начальное состояние _i по полному набору конечных состояний _n:

_i(x) = _n c_n_n(x)  _n S_ni_n(x)

S_ni = d³x_n*(x)_i(x) (23)

S_ni – матричные элементы S-матрицы для перехода из состояния _i в состояние _n; они образуют элементы S-матрицы. Поскольку совокупность начальных и конечных состояний представляют полную систему собственных функций, то S-матрица унитарна

S⁺S=SS⁺ =1. (24)

Из совокупности конечных состояний n выберем конкретное состояние с n=f и запишем (23), используя формулу (2`). Мы получим общее определение элемента S-матрицы в форме:

S_fi = d³x₂ _f*(x₂)_i(x₂) = (lim_t1-)(lim_t2)d³x₂d³x₁ _f*(x₂)G(x₂, x₁)_i(x₁) (25)

Представим в (25) функцию Грина G в виде ряда теории возмущений G(x₂, x₁) = _k=0 ^ G^(k)(x₂, x₁).

В нулевом порядке получим:

S_fi⁽⁰⁾ =  d³x₂d³x₁ _f*(x₂)G₀(x₂, x₁)_i(x₁) (26)

Используя формулу (2`), интеграл d³x₁G₀(x₂, x₁)_i(x₁) = _i(x₂). Функция Грина G₀ переносит волновую (полевую) функцию _i(x₁) из точки x₁ в точку x₂ без взаимодействия, т. е. не меняет квантовых числе i.

S_fi⁽⁰⁾ = d³x₂ _f*(x₂)_i(x₂) = _if, (26`)

Действительно, соотношение ортогональности (26`) выполняется, так как _i и _f в бесконечном прошлом и бесконечном будущем, т. е. бесконечно далеко от источника взаимодействия, являются обычными плоскими волнами, отвечающими движению свободных частиц, все эти волновые функции ортонормированы.

Определим инвариантную амплитуду (или амплитуду рассеяния) T_fi следующим образом:

S_fi = _fi + iT_fi (27)

Очевидно, что инвариантная амплитуда определяет динамику взаимодействия. При отсутствии взаимодействия T_fi=0.

Из (25) в первом порядке теории возмущений, c учетом формулы (19), получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d³x₂d³x₁ _f*(x₂) {d⁴x₃G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₁)}_i(x₁) (*)

Интегрирование по x₁ на основании формулы (2`) c заменой G на G₀ дает:

d³x₁ G₀(x₃-x₁)_i(x₁) = _i(x₃) (**)

Интегрирование по x₂ на основании формулы (2`) и свойства (15) для свободной функции Грина G⁽⁰⁾(x)=G⁽⁰⁾*(-x) приводит к выражению:

d³x₂_f*(x₂)G₀(x₂-x₃) = d³x₂G₀*(x₃-x₂)_f*(x₂) = _f*(x₃) (***)

Подставляя оба выражения (**) и (***) в формулу для инвариантной амплитуды, получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x₃ _f*(x₃)(-iV(x₃))_i(x₃) Индекс “3” теперь можно убрать:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x _f*(x)(-iV(x))_i(x) (28)

Формула (28) соответствует в квантовой механике первому борновскому приближению (первому порядку теории возмущений) для амплитуды рассеяния.

Сравним формулу (28) с формулой (19) для функции Грина в первом порядке теории возмущений, имеющей вид:

G⁽¹⁾ = d⁴x₃ G₀(x₂-x₃)(-iV(x₃)G₀(x₃-x₁) (19)

Легко понять, что для получения инвариантной амплитуды в первом порядке теории возмущений надо заменить функции Грина свободных частиц на волновые (полевые) функции частиц соответственно в конечном состоянии (слева от взаимодействия V(x)) и в начальном состоянии (справа от V(x)).

Аналогичное правило мы получим для инвариантной амплитуды во втором порядке теории возмущений из соотношений (2`) и (20):

iT_fi⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄ _f*(x₃)(-iV(x₃))G₀(x₃-x₄)(-iV(x₄))_i(x₄)} (29)

Снова надо заменить функции Грина свободных частиц слева и справа на волновые (полевые) функции в конечном и начальном состояниях.

Не забудьте, что стоящий перед интегралом оператор T – это оператор хронологического произведения.

Эту процедуру получения инвариантной амплитуды по функции Грина можно продолжить.

Итак, сформулируем общее правило получения инвариантной амплитуды по функции Грина.

Правило получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений

Для получения инвариантной амплитуды в n-ном порядке теории возмущений необходимо найти из интегрального уравнения для функции Грина (16) функцию Грина в n-ном порядке теории возмущений, заменив в полученном выражении функции Грина свободных частиц, стоящие в начале и конце выражения для G(n), соответственно волновыми (полевыми) функциями начального нач и конечного *кон состояний.

15. Изменения в проблеме причинности в релятивистской квантовой теории. Функция Грина (пропагатор) свободной дираковской частицы в импульсном представлении. Учет причинности – фейнмановское доопределение +iε.

Метод функций Грина в релятивистской квантовой теории

В релятивистской квантовой теории наряду с состояниями частиц присутствуют состоянии античастиц, которые трактуются как состояния с отрицательной энергией и импульсом, направленным в противоположную сторону.

Схема допустимых “траекторий” в НКМ

Рис.1 Рассеяние частиц

Схема допустимых “траекторий” в РКМ

Рис.2. (а) Рассеяние частиц. (б) Рассеяние античастиц. (в) Аннигиляция и рождение пар.

Элементарные процессы в РКМ

Рис. 2`. (a) Движение частицы; (б) движение античастицы; (в) аннигиляция пары; (г) рождение пары; (д) замкнутая петля – флуктуация вакуума.

В релятивистской квантовой теории нам надо иметь не только амплитуду рождения, распространения и уничтожения электрона, но и те же характеристики для позитрона. Схемы на рисунках соответствуют распространению вперед по времени частиц и назад по времени – античастиц.

В релятивистской квантовой теории нам надо изменить два правила для функций Грина по сравнению с НКМ.

1 При вычислении матричных элементов перехода для античастиц полевые функции начального и конечного состояний надо поменять местами:

Для частиц: d⁴x_конF_нач,

Для античастиц: d⁴x_начF_кон.

2 Очевидно, что причинность в релятивистской квантовой теории тоже изменяется. Если в НКМ возможно было развитие физического процесса только из прошлого в будущее, то в релятивистской области формально античастицы описываются как частицы, движущиеся в противоположном направлении по времени. Поэтому причинная функция Грина должна содержать решения для частиц при t₂>t₁ и решения для античастиц при t₂<t₁. Функцию Грина для спинорных частиц принято обозначать S(x₂, x₁).

S(x₂, x₁) = _n _n⁽⁺⁾(x₂)_n⁽⁺⁾(x₁) при t₂>t₁,

S(x₂, x₁) = -_n _n^(-)(x₂)_n^(-)(x₁) при t₂<t₁.

Знак (-) от вклада античастиц будет получен позже.

Дифференциальное уравнение для функции Грина спинорных (дираковских) частиц*

Запишем уравнение Дирака для свободных частиц:

(i__ - m)(x) = 0

Введем в уравнение Дирака взаимодействие с электромагнитным полем, для чего в соответствии с требованием локальной калибровочной инвариантности заменим _ на ковариантную производную D_=_ + ieA_(x), получим:

(i__ -e_A_ - m)(x) = 0 или (i__ - eÂ(x) – m)(x) =0

Составим по аналогии с НКМ дифференциальное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

(i__2 - eÂ(x₂) – m) S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (1)

Для функции Грина свободных частиц S₀(x₂-x₁) дифференциальное уравнение будет иметь вид:

(i__2 - m) S₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) (2)

Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц*

По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

S(x₂, x₁) = S₀(x₂, x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂, x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁) (3)

Докажем справедливость интегрального уравнения (3).

Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i__2 - m) и, с учетом уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + d⁴x₃ i⁽⁴⁾(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁). Или

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + eÂ(x₂)S(x₂, x₁), что совпадает с дифференциальным уравнением (1) для функции Грина.

Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия является постоянная тонкой структуры =e²/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений прекрасно “работает” в КЭД.

Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.

Функция Грина свободной дираковской частицы (пропагатор) в импульсном представлении

Запишем уравнение Дирака (i__ - m)S₀(x₂-x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁)

Для перехода к импульсному представлению проведем Фурье-преобразование – представим функцию Грина S₀ и дельта-функцию в виде интеграла Фурье.

Произвольную функцию четырех переменных f(x)=f(t,x) можно представить в форме интеграла Фурье:

f(x) = [d⁴p/(2)⁴] f(p)exp[-i(px)]. Здесь (px)p_x_=p₀t-px. Фурье-образ f(p) – обратное преобразование Фурье: f(p) = d⁴x f(x)exp[i(px)].

Представим S₀ в виде разложения в интеграл Фурье, обозначим x₂-x₁=x (традиционно из Фурье-образа S₀ выносится мнимая единица -i):

S₀(x₂-x₁)  S₀(x) = [d⁴p/(2)⁴i] S₀(p)exp[-i(px)]; (4)

Разложение дельта-функции: ⁽⁴⁾(x) = (d⁴p(2)⁴)exp[-i(px)] (4`)

Подставим (4) и (4`) в уравнение Дирака:

(i__2 - m)(d⁴p/(2)⁴i) S₀(p)exp[-i(px)] = i(d⁴p/(2)⁴)exp[-i(px)]

Внесем оператор уравнения Дирака под знак интеграла (оператор дифференцирует только экспоненту):

(d⁴p/(2)⁴i) (_p_ - m)S₀(p)exp[-i(px)]. Отсюда: S₀(p) = (-1)/(p̑-m).

Но такая форма записи S₀(p) бессмысленна по двум причинам:

(a) легко устранимая причина – операции деления на матрицы не существует; (б) в S₀(p) содержатся полюса, которые следует должным образом обходить (смотрите дальнейшие рассуждения).

Устраним первую некорректность в записи S₀(p), домножив числитель и знаменатель S₀(p) на ‘сопряженное’ выражение (p̑+m) (вспомните, что p̑²=p²):

S₀(p) = (-1)(p̑+m)/(p̑-m)(p̑+m) = -(p̑+m)/(p²-m²) (5)

В формуле (5) содержатся два полюса:

p² - m²  (p_² - m²) = (p₀² – p² - m²) = 0  p₀^(пол) = (p² + m²)^(1/2) = E, где E – энергия свободной частицы. Полюс p₀=+E соответствует частицам, полюс p₀=-E – античастицам. При интегрировании по переменной p₀ (d⁴p=dp₀d³p) в формуле (4) для S₀(x) полюса лежат на действительной оси p₀ и их следует правильным образом обходить. Критерием правильности для нас является причинность: при t₂>t₁ вклад в S₀(x₂-x₁) должны давать частицы, а при t₂<t₁ – античастицы. Для этого надо доопределить знаменатель формулы (5). Это сделал Ричард Фейнман: он ввел в знаменатель формулы (5) дополнительное бесконечно малое слагаемое “+i”. Это ‘доопределение’ так и называется – ‘фейнмановское доопределение’.

С учетом доопределения Фейнмана S₀(p) принимает окончательный вид:

S₀(p) = -(p̑+m)/(p²-m²+i) (6)

Теперь нам следует доказать, что фейнмановское доопределение действительно приводит к правильной концепции причинности.

Прежде всего поймем, что “происходит” с полюсами при фейнмановском доопределении. Рассмотрим знаменатель формулы (6):

p²-m²+i = p₀²-E²+i = 0  p₀^(пол) = (E²-i)^1/2 = E(1-i/E²)^1/2  E(1-i`/E), где `=/2E – бесконечно малая величина, которую без потери общности можно снова обозначить буквой . Таким образом, S₀(p) содержит два полюса:

p₀⁽¹⁾ = +E - i

p₀⁽²⁾ = -E + i

Очевидно, что благодаря фейнмановскому доопределению оба полюса переместились с действительной оси p₀ в комплексную плоскость p₀ (смотрите рисунок 3), причем полюс с p₀=+E (полюс, соответствующий частицам) переместился в нижнюю часть комплексной плоскости p₀, а полюс p₀=-E (полюс, соответствующий античастицам) переместился в верхнюю часть комплексной плоскости p₀. Следовательно, убрав полюса с действительной оси p₀, мы сделали формулу для S₀(p) осмысленной в математическом смысле.

Рис. 3.

Далее покажем, что фейнмановское доопределение приводит к правильной концепции причинности.*

1. Рассмотрим случай t₂>t₁.

Подставим выражение (6) для S₀(p) в формулу (4):

S₀(x)  S₀(x₂-x₁) = (d⁴p/(2)⁴i) [-(p̑+m)/(p²-m²+i)] exp[-i(p(x₂-x₁))] =

= (d³p/(2)³)exp[ip(x₂-x₁)] _-^ (dp₀/2i){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] (7)

Вычислим интеграл по p₀ с помощью теории функций комплексного переменного – используя вычет в нижней полуплоскости (“cрабатывает” вычет в точке p₀=E-i). Замкнем контур полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости (Рис. 4). Интеграл по замкнутому контуру пропорционален вычету в точке p₀=E-i:

_-^(dp₀/(2i)){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]} exp[-ip₀(t₂-t₁)] +

+ _CR (dp₀/2i){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]} exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= (-2i)ResF(E-i)|_0

Здесь F обозначена подынтегральная функция. Знак минус в множителе (-2i) возникает потому, что обход контура происходит по часовой стрелке. Интеграл по полуокружности C_R обращается в нуль по лемме Жордана, так как содержит затухающую экспоненту:

exp[-i(Rep₀+iImp₀)(t₂-t₁)]~exp[(Imp₀)(t₂-t₁)]0 на C_R (Imp₀<0, t₂-t₁>0).

Рис.4.

Напоминаем, что вычет первого порядка в точке b вычисляется по формуле

ResF(b) = lim_zb{F(z)(z-b)}. Используя эту формулу, получим:

_-^(dp₀/(2i)) {-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= (-2i)/(2i){-(E₀-p+m)/2E}exp[-iE(t₂-t₁)] = {(p̑+m)/2E}exp[-iE(t₂-t₁)] (8)

Имея в виду, что (p̑+m) = _u^(p)u^(p) (-спиральность), подставим (8) в соотношение (7):

S₀(x₂-x₁) = _d³p/(2)³ {[u^(p)/2E]exp[-i(Et₂-px₂)}{[u^(p)/2E]exp[i(Et₁-px₁)]} =

= _p, ⁽⁺⁾_p(x₂)⁽⁺⁾_p(x₁). (9)

Таким образом, мы показали, что при t₂>t₁ свободная функция Грина фермионов, спинорных частиц, S₀(x₂-x₁) содержит сумму по положительно-частотным решениям, которые описывают частицы, что и требуется причинностью.

2 Рассмотрим случай t₂<t₁.

Вычисления аналогичны случаю t₂>t₁ с некоторыми изменениями. Во-первых, замкнем контур интегрирования в комплексной плоскости переменной p₀ полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Теперь “срабатывает” полюс p₀=-E+i (Рис.5). Интеграл по полуокружности С`_R обращается в нуль по лемме Жордана, так как опять содержит затухающую экспоненту (t₂-t₁<0, Imp₀>0). Обход контура интегрирования происходит против часовой стрелки. Получим формулу, аналогичную (8), для интеграла по переменной p₀.

_-^(dp₀/(2i)){-(p₀₀-p+m)/[p₀-(E-i)][p₀-(-E+i)]}exp[-ip₀(t₂-t₁)] =

= {-(-E₀-p+m)/(-2E)}exp[iE(t₂-t₁)] (10)

Подставим (10) в формулу (7), где сделаем замену импульса p на -p.

S₀(x₂-x₁) = (d³p/(2)³)exp[-ip(x₂-x₁)]{(-E₀+p+m)/2E}exp[iE(t₂-t₁)] (11)

Величина (-E₀+p+m) = -(p̑-m) = -_ v^(p)v^(p) (11`)

Подставляя (11`) в формулу (11), окончательно получим:

S₀(x₂-x₁) = -_p ^(-)_-p-(x₂)^(-)_-p-(x₁)

Мы показали, что свободная функция Грина S₀(x₂-x₁) спинорных частиц при t₂<t₁ содержит сумму по отрицательно-частотным решениям, которые описывают античастицы, но со знаком минус.