16. Интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц в электромагнитном поле. Решение в виде итераций – ряды теории возмущений в кэд.

Интегральное уравнение для функции Грина спинорных частиц

По аналогии с НКМ запишем интегральное уравнение для функции Грина дираковских частиц:

S(x₂, x₁) = S₀(x₂, x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂, x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁) (3)

Докажем справедливость интегрального уравнения (3).

Подействуем на обе части (3) оператором свободного уравнения Дирака (i__2 - m) и, с учетом уравнения (2) для функции Грина свободных частиц, получим:

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + d⁴x₃ i⁽⁴⁾(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁). Или

(i__2 - m)S(x₂, x₁) = i⁽⁴⁾(x₂-x₁) + eÂ(x₂)S(x₂, x₁), что совпадает с дифференциальным уравнением (1) для функции Грина.

Будем искать решение интегрального уравнения (3) в виде итераций – в виде ряда теории возмущений. Квантовая электродинамика (КЭД) – это квантово-полевая теория взаимодействия спинорных заряженных частиц с электромагнитным полем. Константой взаимодействия является постоянная тонкой структуры =e²/41/137 <<1, и поэтому теория возмущений прекрасно “работает” в КЭД.

Мы будем описывать физические процессы в импульсном представлении. Поэтому сначала получим функцию Грина свободной спинорной частицы в импульсном представлении. А затем сформулируем правила Фейнмана для диаграммной техники в КЭД.

Теория возмущений и диаграммный язык Фейнмана для КЭД

Рассмотрим ряд теории возмущений, который получается из интегрального уравнения для функции Грина дираковских частиц.

Снова запишем интегральное уравнение для функции Грина спинорных, дираковских частиц:

S(x₂, x₁) = S₀(x₂-x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁).

1 Рассмотрим первый порядок теории возмущений (первую итерацию) S⁽¹⁾(x₂, x₁):

S⁽¹⁾(x₂, x₁) = d⁴x₃ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S₀(x₃-x₁).

Пусть, для определенности, частица c 4-импульсом p₁ и спиральностью ₁, описываемая в начальном состоянии полевой функцией _i(x), переходит в результате взаимодействия в конечное состояние _f(x) с 4-импульсом p₂ и спиральностью ₂. Запишем инвариантную амплитуду процесса, исходя из общего правила получения амплитуды по функции Грина (лекция №9). В первом порядке теории возмущений получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x_f(x)(-ieÂ(x))_i(x) (1)

Здесь _i(x) = (u^1(p₁)/2E₁)exp(-i(p₁x)); _f(x) = (u^2(p₂)/2E₂)exp(i(p₂x)). (2)

A_(x) – 4-потенциал взаимодействия с внешним электромагнитным полем или фотоном. Покажем, что в первом порядке теории возмущений допустимо взаимодействие только с внешним электромагнитным полем. Подставим (2) в формулу (1):

iT_fi⁽¹⁾ = [u^2(p₂)/2E₂][-ie_][u^1(p₁)/2E₁] d⁴x A_(x)exp[i((p₂-p₁)x)] (3)

Интеграл в (3) представляет Фурье-образ 4-потенциала A_(x):

A_(q)  A_(p₂-p₁) = d⁴x A_(x)exp(i(qx)), (4)

q_=(p₂-p₁)_– передаваемый 4-импульс при рассеянии, (qx)q_x_=q₀x₀-qx.

Если в качестве электромагнитного поля в процессе рассеяния участвовал бы фотон, то

A_(x) = (_^()/2)exp(-i(kx)) (полевая функция фотона) (5)

Поскольку фотон является собственным состоянием оператора зарядовой четности, т. е. является истинно нейтральной частицей, то зарядовое сопряжение, меняющее положительно-частотное решение на отрицательно-частотное снова дает полевую функцию фотона:

A_(x)= (*_^()/2)exp(ikx) (тоже полевая функция фотона) (5`)

(5) и (5`) можно объединить в единую формулу:

A_(x) = (^⩮_^()/2)exp(ikx) (5``)

Здесь значок ⩮ означает, что экспоненте со знаком плюс соответствует комплексно-сопряженная поляризация *, а экспоненте со знаком минус –  без комплексного сопряжения.

Тогда интеграл (4) был бы пропорционален фактору: d⁴x exp[i(p₂-p₁∓k] = (2)⁴⁽⁴⁾(p₂-p₁∓k), т.е. должен выполняться закон сохранения энергии-импульса процесса. Но из кинематики процесса следует, что p₂p₁k. Это очевидно и из классической теории поля – свободная заряженная частица не излучает – не может испустить или поглотить фотон.

Таким образом, первый порядок теории возмущений может описывать только рассеяние частиц (или античастиц) внешним электромагнитным полем.

В случае стационарного (не зависящего от времени) электромагнитного поля A_(x) можно проинтегрировать соотношение (4) по времени:

A_(p₂-p₁) = d³xA_(x)exp(-i(p₂-p₁)x)_-^dt exp(i(E₂-E₁)t) = A_(p₂-p₁)(2)(E₂-E₁). (6)

В стационарном случае имеет место закон сохранения энергии.

Окончательно, амплитуда рассеяния частиц внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений имеет вид:

iT_fi⁽¹⁾ = [u^2(p₂)/2E₂] [(-ie_)A_(p₂-p₁)] [u^1(p₁)/2E₁] (частицы) (7)

Если рассматривать рассеяние античастиц внешним электромагнитным полем, то начальные и конечные состояния античастиц следует поменять местами по отношению к амплитуде для частиц, как указано в предыдущей лекции, и, кроме того, надо заменить биспиноры u^(p) на биспиноры v^(p):

iT_fi⁽¹⁾ =[v^1(p₁)/2E₁] [(-ie`_)A_(p₁-p₂)][v^2(p₂)/2E₂] (античастицы) (8)

Здесь e`=-e – заряд античастиц.

Графическая диаграмма процесса для частиц изображена на Рис.1, для античастиц – на Рис.2. Условимся, что время “течет” слева направо. Каждой спинорной частице сопоставляется сплошная прямая линия со стрелкой по направлению времени, античастице – то же со стрелкой против направления времени. Взаимодействие с внешним полем будем графически изображать волнистой линией с крестиком на конце (волнистая линия без крестика будет означать взаимодействие с фотоном). В одной точке – точке взаимодействия, называемой вершиной, в КЭД сходятся две сплошные и одна волнистая линия, что соответствует лагранжиану взаимодействия КЭД:

L_int = e(x)_(x)A_(x).

Рис.1 Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

Рис.2. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) античастицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

2 Рассмотрим второй порядок теории возмущений (вторую итерацию) для функции Грина S(x₂, x₁):

S(x₂, x₁) = T{d⁴x₃d⁴x₄ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S₀(x₃-x₄)(-ieÂ(x₄))S₀(x₄-x₁)}.

По общим правилам запишем инвариантную амплитуду во втором порядке теории возмущений (рассмотрим, для определенности, процесс для частиц):

iT_fi⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄_f(x₃) (-ie_)A_(x₃)S₀(x₃-x₄)(-ie_)A_(x₄)_i(x₄)} (9)

T{...} означает хронологическое произведение операторов.

Будем рассматривать взаимодействие с фотонами (формула (5``)):

A_(x₃) = (^⩮_2^(2)/2₂)exp(ik₂x₃)

A_(x₄) = (^⩮_1^(1)/2₁)exp(ik₁x₄).

_i и _f описываются формулами (2).

S₀(x₃-x₄) запишем в виде разложения Фурье:

S₀(x₃-x₄) = (d⁴p/(2)⁴i) [-(p̂+m)/(p²-m²+i)] exp[-ip(x₃-x₄)]

Подставим приведенные выше выражения в формулу (9) и проинтегрируем экспоненциальные множители по переменным x₃ и x₄ при t₃>t₄:

d⁴x₃ exp[i(p₂-pk₂)x₃] = (2)⁴⁽⁴⁾(p∓k₂-p₂),

d⁴x₄ exp[i(p-p₁k₁)x₄] = (2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₁-p).

Формула (9) при t₃>t₄ приобретет вид:

iT_fi⁽²⁾ = (d⁴p/(2)⁴i)[u^2(p₂)/2E₂][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p∓k₂-p₂)][^⩮_2^(2)/2₂]

[-(p̂+m)/(p²-m²+i)][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₁-p)]^⩮_1^(1)/2₁][u^1(p₁)/2E₁]. (10)

При t₃<t₄ взаимодействия в точках x₃ и x₄ меняются местами.

iT_fi⁽²⁾ = (d⁴p`/(2<sup>4</sup>)i) [u<sup>2</sup>(p<sub>2</sub>)/2E<sub>2</sub>][(-ie<sub></sub>)(2)<sup>4</sup><sup>(4)</sup>(p`∓k₁-p₂)][^⩮_1^(1)/2₁]

[-(p̂`+m)/(p`²-m²+i)][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₂-p`)][^⩮_2^(2)/2₂][u^1(p₁)/2E₁] (11)

Для античастиц надо поменять u^1(p₁)/2E₁ на v^2(p₂)/2E₂, и u^2(p₂)/2E₂ на v^1(p₁)/2E₁.

Теперь дадим графическую интерпретацию инвариантной амплитуды процессов (10) и (11)

Рис.3. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (10).

Рис.4. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (11).

В каждой вершине взаимодействия с фотоном стоит -функция, знаменующая закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине. Верхний знак минус в -функции формул (10-11) соответствует излучаемому фотону и поляризации *, нижний знак – поглощаемому фотону и поляризации .

Свободная функция Грина спинорной частицы (отныне мы будем называть ее пропагатором) переносит частицу без взаимодействия из одной пространственно-временной точки в другую. В графической интерпретации пропагатору соответствует внутренняя линия диаграммы – это виртуальная частица, которая рождается в некоторой точке и уничтожается в другой точке. Ее время жизни ограничено (в КЭД характерное время жизни составляет ~10^-16-10^-18 сек). Из принципа неопределенности Гейзенберга следует, что такая частица не может обладать строго заданной энергией или импульсом. Поэтому в формулах (10-11) происходит интегрирование по всей области энергий-импульсов. Но поскольку пропагатор имеет полюсной характер, то наибольший вклад в процесс всегда дают конфигурации частиц вблизи полюсов.

Сопоставляя графическую запись амплитуды с ее аналитической записью (7-8;10-11), мы приходим к наиважнейшим понятиям - правилам Фейнмана. Правила Фейнмана для элементов S-матрицы сопоставляют каждому графическому элементу диаграммы аналитический элемент.

Полный перечень правил Фейнмана для инвариантной амплитуды (элементов S-матрицы) в КЭД приведен ниже в Приложении к лекции 11.

17. Первый и второй порядки теории возмущений (упорядочение по времени акций взаимодействия во втором порядке теории возмущений). Как получаются правила Фейнмана для аналитической и графической записи инвариантной амплитуды в КЭД?

Теория возмущений и диаграммный язык Фейнмана для КЭД

Рассмотрим ряд теории возмущений, который получается из интегрального уравнения для функции Грина дираковских частиц.

Снова запишем интегральное уравнение для функции Грина спинорных, дираковских частиц:

S(x₂, x₁) = S₀(x₂-x₁) + d⁴x₃ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S(x₃, x₁).

1 Рассмотрим первый порядок теории возмущений (первую итерацию) S⁽¹⁾(x₂, x₁):

S⁽¹⁾(x₂, x₁) = d⁴x₃ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S₀(x₃-x₁).

Пусть, для определенности, частица c 4-импульсом p₁ и спиральностью ₁, описываемая в начальном состоянии полевой функцией _i(x), переходит в результате взаимодействия в конечное состояние _f(x) с 4-импульсом p₂ и спиральностью ₂. Запишем инвариантную амплитуду процесса, исходя из общего правила получения амплитуды по функции Грина (лекция №9). В первом порядке теории возмущений получим:

iT_fi⁽¹⁾ = d⁴x_f(x)(-ieÂ(x))_i(x) (1)

Здесь _i(x) = (u^1(p₁)/2E₁)exp(-i(p₁x)); _f(x) = (u^2(p₂)/2E₂)exp(i(p₂x)). (2)

A_(x) – 4-потенциал взаимодействия с внешним электромагнитным полем или фотоном. Покажем, что в первом порядке теории возмущений допустимо взаимодействие только с внешним электромагнитным полем. Подставим (2) в формулу (1):

iT_fi⁽¹⁾ = [u^2(p₂)/2E₂][-ie_][u^1(p₁)/2E₁] d⁴x A_(x)exp[i((p₂-p₁)x)] (3)

Интеграл в (3) представляет Фурье-образ 4-потенциала A_(x):

A_(q)  A_(p₂-p₁) = d⁴x A_(x)exp(i(qx)), (4)

q_=(p₂-p₁)_– передаваемый 4-импульс при рассеянии, (qx)q_x_=q₀x₀-qx.

Если в качестве электромагнитного поля в процессе рассеяния участвовал бы фотон, то

A_(x) = (_^()/2)exp(-i(kx)) (полевая функция фотона) (5)

Поскольку фотон является собственным состоянием оператора зарядовой четности, т. е. является истинно нейтральной частицей, то зарядовое сопряжение, меняющее положительно-частотное решение на отрицательно-частотное снова дает полевую функцию фотона:

A_(x)= (*_^()/2)exp(ikx) (тоже полевая функция фотона) (5`)

(5) и (5`) можно объединить в единую формулу:

A_(x) = (^⩮_^()/2)exp(ikx) (5``)

Здесь значок ⩮ означает, что экспоненте со знаком плюс соответствует комплексно-сопряженная поляризация *, а экспоненте со знаком минус –  без комплексного сопряжения.

Тогда интеграл (4) был бы пропорционален фактору: d⁴x exp[i(p₂-p₁∓k] = (2)⁴⁽⁴⁾(p₂-p₁∓k), т.е. должен выполняться закон сохранения энергии-импульса процесса. Но из кинематики процесса следует, что p₂p₁k. Это очевидно и из классической теории поля – свободная заряженная частица не излучает – не может испустить или поглотить фотон.

Таким образом, первый порядок теории возмущений может описывать только рассеяние частиц (или античастиц) внешним электромагнитным полем.

В случае стационарного (не зависящего от времени) электромагнитного поля A_(x) можно проинтегрировать соотношение (4) по времени:

A_(p₂-p₁) = d³xA_(x)exp(-i(p₂-p₁)x)_-^dt exp(i(E₂-E₁)t) = A_(p₂-p₁)(2)(E₂-E₁). (6)

В стационарном случае имеет место закон сохранения энергии.

Окончательно, амплитуда рассеяния частиц внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений имеет вид:

iT_fi⁽¹⁾ = [u^2(p₂)/2E₂] [(-ie_)A_(p₂-p₁)] [u^1(p₁)/2E₁] (частицы) (7)

Если рассматривать рассеяние античастиц внешним электромагнитным полем, то начальные и конечные состояния античастиц следует поменять местами по отношению к амплитуде для частиц, как указано в предыдущей лекции, и, кроме того, надо заменить биспиноры u^(p) на биспиноры v^(p):

iT_fi⁽¹⁾ =[v^1(p₁)/2E₁] [(-ie`_)A_(p₁-p₂)][v^2(p₂)/2E₂] (античастицы) (8)

Здесь e`=-e – заряд античастиц.

Графическая диаграмма процесса для частиц изображена на Рис.1, для античастиц – на Рис.2. Условимся, что время “течет” слева направо. Каждой спинорной частице сопоставляется сплошная прямая линия со стрелкой по направлению времени, античастице – то же со стрелкой против направления времени. Взаимодействие с внешним полем будем графически изображать волнистой линией с крестиком на конце (волнистая линия без крестика будет означать взаимодействие с фотоном). В одной точке – точке взаимодействия, называемой вершиной, в КЭД сходятся две сплошные и одна волнистая линия, что соответствует лагранжиану взаимодействия КЭД:

L_int = e(x)_(x)A_(x).

Рис.1 Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) частицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

Рис.2. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (элемента S-матрицы) античастицы, взаимодействующей с внешним электромагнитным полем в первом порядке теории возмущений.

2 Рассмотрим второй порядок теории возмущений (вторую итерацию) для функции Грина S(x₂, x₁):

S(x₂, x₁) = T{d⁴x₃d⁴x₄ S₀(x₂-x₃)(-ieÂ(x₃))S₀(x₃-x₄)(-ieÂ(x₄))S₀(x₄-x₁)}.

По общим правилам запишем инвариантную амплитуду во втором порядке теории возмущений (рассмотрим, для определенности, процесс для частиц):

iT_fi⁽²⁾ = T{d⁴x₃d⁴x₄_f(x₃) (-ie_)A_(x₃)S₀(x₃-x₄)(-ie_)A_(x₄)_i(x₄)} (9)

T{...} означает хронологическое произведение операторов.

Будем рассматривать взаимодействие с фотонами (формула (5``)):

A_(x₃) = (^⩮_2^(2)/2₂)exp(ik₂x₃)

A_(x₄) = (^⩮_1^(1)/2₁)exp(ik₁x₄).

_i и _f описываются формулами (2).

S₀(x₃-x₄) запишем в виде разложения Фурье:

S₀(x₃-x₄) = (d⁴p/(2)⁴i) [-(p̂+m)/(p²-m²+i)] exp[-ip(x₃-x₄)]

Подставим приведенные выше выражения в формулу (9) и проинтегрируем экспоненциальные множители по переменным x₃ и x₄ при t₃>t₄:

d⁴x₃ exp[i(p₂-pk₂)x₃] = (2)⁴⁽⁴⁾(p∓k₂-p₂),

d⁴x₄ exp[i(p-p₁k₁)x₄] = (2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₁-p).

Формула (9) при t₃>t₄ приобретет вид:

iT_fi⁽²⁾ = (d⁴p/(2)⁴i)[u^2(p₂)/2E₂][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p∓k₂-p₂)][^⩮_2^(2)/2₂]

[-(p̂+m)/(p²-m²+i)][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₁-p)]^⩮_1^(1)/2₁][u^1(p₁)/2E₁]. (10)

При t₃<t₄ взаимодействия в точках x₃ и x₄ меняются местами.

iT_fi⁽²⁾ = (d⁴p`/(2<sup>4</sup>)i) [u<sup>2</sup>(p<sub>2</sub>)/2E<sub>2</sub>][(-ie<sub></sub>)(2)<sup>4</sup><sup>(4)</sup>(p`∓k₁-p₂)][^⩮_1^(1)/2₁]

[-(p̂`+m)/(p`²-m²+i)][(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p₁∓k₂-p`)][^⩮_2^(2)/2₂][u^1(p₁)/2E₁] (11)

Для античастиц надо поменять u^1(p₁)/2E₁ на v^2(p₂)/2E₂, и u^2(p₂)/2E₂ на v^1(p₁)/2E₁.

Теперь дадим графическую интерпретацию инвариантной амплитуды процессов (10) и (11)

Рис.3. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (10).

Рис.4. Диаграмма Фейнмана для инвариантной амплитуды (11).

В каждой вершине взаимодействия с фотоном стоит -функция, знаменующая закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине. Верхний знак минус в -функции формул (10-11) соответствует излучаемому фотону и поляризации *, нижний знак – поглощаемому фотону и поляризации .

Свободная функция Грина спинорной частицы (отныне мы будем называть ее пропагатором) переносит частицу без взаимодействия из одной пространственно-временной точки в другую. В графической интерпретации пропагатору соответствует внутренняя линия диаграммы – это виртуальная частица, которая рождается в некоторой точке и уничтожается в другой точке. Ее время жизни ограничено (в КЭД характерное время жизни составляет ~10^-16-10^-18 сек). Из принципа неопределенности Гейзенберга следует, что такая частица не может обладать строго заданной энергией или импульсом. Поэтому в формулах (10-11) происходит интегрирование по всей области энергий-импульсов. Но поскольку пропагатор имеет полюсной характер, то наибольший вклад в процесс всегда дают конфигурации частиц вблизи полюсов.

Сопоставляя графическую запись амплитуды с ее аналитической записью (7-8;10-11), мы приходим к наиважнейшим понятиям - правилам Фейнмана. Правила Фейнмана для элементов S-матрицы сопоставляют каждому графическому элементу диаграммы аналитический элемент.

Полный перечень правил Фейнмана для инвариантной амплитуды (элементов S-матрицы) в КЭД приведен ниже в Приложении к лекции 11.

Свободная функция Грина фотона – пропагатор фотона в импульсном представлении

Мы пока не получили свободной функции Грина фотона (пропагатора фотона) в импульсном представлении. Получим пропагатор фотона по аналогии с фермионным пропагатором, не рассматривая интегрального уравнения для фотонов.

Внутренняя фотонная линия (обозначается волнистой линией) связывает две вершины с индексами  и .

Пропагатор спинорной частицы в импульсном представлении:

S₀(p) = -(p̂+m)/(p²-m²+i) = -[_ u^(p)u^(p)]/(p²-m²+i)

Построим по тому же принципу фотонный пропагатор в импульсном представлении.

Во-первых, фотон безмассовый m=0. Во-вторых, сумма по поляризациям __^()_^() =-g_. Заменим в S₀(p) сумму по спиральностям суммой по поляризациям фотона и положим m=0.

Пропагатор фотона (его обозначают D_(k)) в импульсном представлении имеет вид:

D_(k) = g_/(k²+i) (12)

Далее, исходя из полученных результатов (7), (8), (10), (11), получим соответствие между графическими и аналитическими элементами для инвариантной амплитуды (S-матрицы). Это и есть правила Фейнмана для вычисления инвариантной амплитуды процессов квантовой электродинамики (КЭД). Порядку n теории возмущений соответствует диаграмма с n вершинами. Условимся, что время “течет” слева направо. Из формул (7,8,10,11) с очевидностью следуют правила Фейнмана.

Например, каждой входящей спинорной частице (т.е. частице в начальном состоянии) с 4-импульсом p сопоставляется графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной вперед по времени, причем эта сплошная линия снабжается значением 4-импульса р. Из формул (7-10) ясно, что аналитически ей соответствует величина в S-матрице [u^(p)/2E]. Аналогично, выходящей частице (частице в конечном состоянии) соответствует фактор [u^(p)/2E].

Входящей спинорной античастице (в начальном состоянии) с 4-импульсом p сопоставляется графически сплошная прямая линия со стрелкой, направленной против направления времени, и она снабжается индексом 4-импульса (-p); аналитически ей соответствует величина [v^(p)/2E], выходящей спинорной античастице (в конечном состоянии) соответствует величина [v^(p)/2E].

Свободному излучаемому фотону сопоставляется волнистая линия c индексом k и аналитический фактор [*_^()2], поглощаемому фотону – фактор [_^()2].

Вершине взаимодействия с фотоном из формул (7, 8, 10, 11) соответствует фактор:

(-ie_)(2)⁴⁽⁴⁾(p_i). p_i означает закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине.

Вершине взаимодействия с внешним электромагнитным полем соответствует фактор:

(-ie_)A_(q), где A_(q) = d⁴x A_(x)exp(iqx) – Фурье-образ 4-потенциала электромагнитного поля.

Аналитический фактор, соответствующий пропагатору спинорных частиц:

(d⁴p/(2)⁴i) .... [-(p̂+m)(p²-m²+i)]

Аналитический фактор, соответствующий пропагатору фотона:

(d⁴k/(2)⁴i) ... [g_/(k²+i)]

и так далее.

Очень важна очередность аналитических факторов при записи инвариантной амплитуды, поскольку все аналитические величины, связанные с фермионами, спинорными частицами, представляют матрицы, которые не коммутируют друг с другом.

Еще надо отчетливо понимать, что фермионные (антифермионные) линии на диаграммах Фейнмана никогда не прерываются в силу закона сохранения заряда, поскольку каждый фермион несет заряд, который нельзя передать фотону, который является истинно нейтральной частицей.

Подробно правила Фейнмана изложены в Приложении к лекции №11.