22. Точная функция Грина фотона. Уравнение Дайсона.

Рассмотрим распространение фотона из пространственно-временной точки x₁ в точку x₂ с учетом всех процессов взаимодействия с собственным электрон-позитронным полем. Мы получим точную функцию Грина фотона – функцию Грина с учетом всех допустимых взаимодействий.

Обозначим точную функцию Грина фотона D жирной волнистой линией. Функцию Грина (пропагатор) свободного фотона D₀ будем обозначать тонкой волнистой линией. Изобразим графически все процессы, дающие вклад в точную функцию Грина фотона (Рис.5).

Рис.5.

D(k) можно представить в виде суммы вкладов диаграмм, содержащих все более высокие степени ^s – электромагнитной константы связи – постоянной тонкой структуры =e²/4.

D_(k) = _s=0^ D_^(s)

Во втором порядке теории возмущений ~ e²~ получим диаграмму (Рис.6)

Рис.6.

Компактными называются диаграммы, которые нельзя разрезать на части, соединенные только одной линией (фотонной, фермионной). Компактные диаграммы описывают связные флуктуации, происходящие за короткое время.

Введем для фотона понятие поляризационного оператора П_(k) как сумму всех компактных диаграмм без внешних фотонных линий (Рис.7).

Рис.7.

Разрежем (мысленно) каждую диаграмму, начиная со второй, входящую в точную функцию Грина фотона, по фотонной линии, стоящей за первым поляризационным оператором (Рис.8). Справа от разреза будет стоять бесконечная последовательность диаграмм, которая снова определяет точную функцию Грина фотона D.

Рис.8.

Тогда можно записать точную функцию Грина фотона в виде интегрального уравнения. Символически уравнение примет вид

D = D₀ + D₀ПD (2)

Полученное уравнение (2) представляет интегральное уравнение – уравнение Дайсона для точной функции Грина фотона. Его можно получить с помощью итерационной процедуры, суммируя последовательность фейнмановских диаграмм:

D = D₀ + D₀ПD₀ + D₀ПD₀ПD₀ + ... = D₀{1 + (ПD₀) + (ПD₀)(ПD₀) + ... } = D₀/(1 - ПD₀) (3)

Сумма в фигурных скобках представляет формально бесконечную геометрическую прогрессию.

Умножим уравнение Дайсона (2) слева на D₀^-1 и справа на D^-1, получим:

D₀^-1 = D^-1 + П или

D^-1 = D₀^-1 - П (4)

Функция Грина (пропагатор) невзаимодействующего фотона равен D₀ =1/(k²+i), D₀^-1=k²+i

Из соотношения (4) находим точную функцию Грина фотона:

D(k) = 1/[k²+i - П(k)] = [1/(k²+i)][1/(1 – П(k)/k²] (5)

Мы оперировали со всеми величинами так, как если бы они были конечными, и намеренно не обращали внимание на то, что в теории встречаются бесконечности. При фактическом вычислении D по теории возмущений встречаются расходящиеся выражения, которым без привлечения дополнительных соображений нельзя приписать какого-либо определенного значения. В появлении таких ультрафиолетовых расходимостей проявляется логическое несовершенство КЭД.

Однако в теории можно установить определенные предписания, позволяющие однозначно “обходить” такие расходимости и в результате получать конечные выражения для всех величин, имеющих физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования: (a) масса фотона должна равняться нулю; (b) заряд и масса электрона должны быть равны их наблюдаемым значениям.

Тогда на точный фотонный пропагатор D(k) следует наложить условие – пропагатор должен иметь полюс при k²=0, совпадающий с квадратом массы реального фотона. Из (5) следует, что П(0)=0.

Способ устранения бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, установленных физическими требованиями. Об этой процедуре говорят как о перенормировке соответствующих величин.

Далее мы подробно рассмотрим перенормировку заряда. Квантово-полевой процесс, “ответственный” за перенормировку заряда – это рождение виртуальными фотонами короткоживущих состояний, пар заряженных частиц e⁺e^-. То есть перенормировку заряда генерирует поляризационный оператор П(k).

Действительно, рассмотрим какую-либо частицу с зарядом e₀, являющимся источником электромагнитного поля. Назовем заряд e₀ “затравочным” или “голым” зарядом. Фотоны, представляющие кванты электромагнитного поля “голой” частицы могут распадаться виртуально на пары. Если начальный затравочный заряд, например, отрицательный, то он будет притягивать к себе компоненты пар с положительными зарядами, а отрицательные заряды отталкивать на физическую бесконечность. Вокруг затравочного заряда образуется облако зарядов противоположного знака, которые экранируют затравочный заряд. Каждая заряженная частица в квантово-полевом смысле – это сложнейшее “распухшее образование”, состоящее из начального затравочного заряда, окутанного облаком зарядов противоположного знака, а также фотонами, квантами поля исходного заряда, со всеми допустимыми в КЭД взаимодействиями между заряженными компонентами виртуальных пар, между фотонами и заряженными частицами пар и т. д.

Что же “увидит” фотон, испущенный, например, пучком пролетающих электронов, если он будет зондировать это сложнейшее по структуре квантово-полевое “образование”?

Мягкий фотон с большой длиной волны, много большей размеров этого “образования”, увидит все распухшее образование как целое. Он увидит постоянную тонкой структуры =1/137 (что и видели Кулон и Герц, Максвелл и Томсон). Жесткий высокоэнергичный фотон сможет проникнуть внутрь этого образования в облако экранировки и “видеть” все больший заряд. Однако до точки расположения затравочного заряда он проникнуть не сможет (собственная энергия затравочного заряда e²/r, когда r0). В этом смысле затравочный, голый заряд оказывается неизмеримым.

Таким образом, перенормировка заряда обязана квантово-полевому процессу образования пар виртуальными фотонами, следовательно, для проведения процедуры перенормировки нам необходимо вычислить поляризационный оператор П_(k).