23. Перенормировка заряда в кэд (пользоваться конспектом для расчета поляризационного оператора в однопетлевом приближении при низких энергиях).

Процедура перенормировки заряда

В Приложении к лекции №15 мы вычислили поляризационный оператор во втором порядке теории возмущений, то есть в однопетлевом приближении. Выпишем еще раз основные результаты, полученные в Приложении.

П_(k) = П₀(k²)(k_k_ - k²g_) (1)

П₀(k²) при низких энергиях |k|<<m имеет вид:

П₀(k²)  (/3)ln(L²/m²) + (/15)(k²/m²) (2)

L – нефизический обрезающий параметр.

П₀(k²) при высоких энергиях |k|>>m имеет вид:

П₀(k²)  (/3)ln(L²/m²) – (/3)ln|-k²/m²|. (3)

Рассмотрим процедуру перенормировки заряда на примере одной из амплитуд ee-рассеяния. Добавим к амплитуде низшего порядка теории возмущений ~e² амплитуду ~e⁴, радиационную поправку, когда при однофотонном обмене один раз образуется виртуальная электрон-позитронная пара (однопетлевое приближение), которая описывается поляризационным оператором.

Рис.1.

iT =N M (2)⁴⁽⁴⁾ (p₁+p₂-p₁`-p<sub>2</sub>`) Здесь N – константа, содержащая числовые множители и корни из энергии в знаменателе, не играющая никакой роли в процессе перенормировки.

Матричный элемент процесса с точностью до ~e⁴ записывается в виде:

M = e²(u₁`<sub></sub>u<sub>1</sub>)(g<sub></sub>/k<sup>2</sup>)(u<sub>2</sub>`_u₂) + e²(u₁`<sub></sub>u<sub>1</sub>) (g<sub>`</sub>/k²)[k_{`</sub>k<sub>`} - k²g_``]П₀(k²)(g<sub>`</sub>/k<sup>2</sup>)(u<sub>2</sub>`_u₂). (4)

Продольное слагаемое поляризационного оператора, пропорциональное k_k_, вклада не дает. Действительно:

k_ = p_1` - p<sub>1</sub> = p<sub>2</sub>` - p_2. Если k_ внести в левый множитель (u₁`<sub></sub>u<sub>1</sub>) или в правый множитель (u<sub>2</sub>`_u₂), то, имея в виду алгебраические уравнения, которым подчиняются биспиноры u и u:

(p̑-m)u=0 и u(p̑-m)=0, получим: u₁`(p̑<sub>1</sub>`-p̑₁)u₁ = u₁`(m-m)u₁ = 0.

Продольное слагаемое поляризационного оператора обычно не дает вклада в процессы.

Упростим формулу (4):

M = e²(u₂`<sub></sub>u<sub>2</sub>)[1-П<sub>0</sub>(k<sup>2</sup>)](1/k<sup>2</sup>)(u<sub>1</sub>`_u₁). (5)

Назовем перенормированным зарядом e_R заряд, который “видит” мягкий фотон с большой длиной волны, с 0 – этот фотон “видит” как целое все сложнейшее квантово-полевое образование с затравочным зарядом в центре. Заряд, который “видит” фотон, есть постоянная тонкой структуры e_R²/4 = _R  1/137.

Подставим в формулу (5) значение П₀(k²) при низких энергиях:

M = e²(u₂`<sub></sub>u<sub>2</sub>)[1 – (/3)ln(L<sup>2</sup>/m<sup>2</sup>)](1/k<sup>2</sup>)(u<sub>1</sub>`_u₁). (6)

Изменение пропагатора в формуле (6) за счет учета поляризационного оператора физически приводит к изменению заряда (его экранировке). Поэтому назовем перенормированным зарядом в однопетлевом приближении заряд:

e_R²  e²(1 – П₀(0)) = e²(1-(/3)ln(L²/m²)]  e²Z₃. (7)

Соотношение (7) представляет перенормировку заряда в однопетлевом приближении. Z₃ называется константой перенормировки в однопетлевом приближении.

Мы получим точную перенормировку заряда, если учтем все возможные образования пар в фотонном пропагаторе, то есть рассмотрим точную функцию Грина фотона. Точная функция Грина фотона получена нами из уравнения Дайсона:

D = 1/[(k²+i)(1-П(k)/k²)] (8)

Для низких энергий

D = [1/k²+i][1/(1+(/3)ln(L²/m²))] (9)

Для точной перенормировки заряда надо заменить пропагатор в однопетлевом приближении (6):

D⁽¹⁾ = [1 – (/3)ln(L²/m²)](1/k²)

точным пропагатором (9).

Тогда мы получим точную перенормировку заряда.

Точная перенормировка заряда в КЭД

R = eR2/4 = /[1 + (/3)ln(L2/m2)] - точная перенормировка заряда (10) Z3= 1/[1 + (/3)ln(L2/m2)] - константа перенормировки заряда

В формулу для перенормировки заряда (10) входят два нефизических параметра – это затравочный заряд (=e²/4), не измеримый на опыте, и параметр обрезания L ультрафиолетовой расходимости в интеграле по петле. Объединив их в единой формуле, определяющей физически наблюдаемый заряд _R=1/137, мы “избавились” от расходимости, “завуалировали” ее в формуле (10).

Когда-то Ричард Фейнман назвал эту процедуру устранения расходимости “заметанием мусора под ковер”. Лучше и не скажешь! Принципиальная проблема существования ультрафиолетовых расходимостей в квантово-полевых теориях остается, но мы ее “спрятали” в физически наблюдаемой величине.

Лэмбовский сдвиг

Второе слагаемое в поляризационном операторе при низких энергиях дает вклад в амплитуду (5), пропорциональный:

~(_R²/15)(k²/m²)(1/k²) В координатном представлении k²², 1/k²1/r Мы имеем поправку к кулоновскому потенциалу ~ ²(1/r) = -4⁽³⁾(r). Эта поправка приводит к расщеплению уровней 2s и 2p в атоме водорода на 27 Мгц – это лэмбовский сдвиг. В лэмбовский сдвиг дает вклад, кроме того, вершинная диаграмма, которая модифицирует электронный ток. На эксперименте наблюдается расщепление 2s-2p уровня за счет лэмбовского сдвига ~ 1057 Мгц.

Внешние фотонные линии не перенормируются, они не дают вклада в перенормировку заряда. Реальный фотон не индуцирует токов e⁺e^- в вакууме. Действительно: П_(k) = (k_k_ - k²g_)П₀(k²). Для реального фотона k²=0. Кроме того, для реального фотона П_ всегда умножается на поляризацию фотона _, но _k_=0. Поэтому поляризация вакуума во внешние фотонные линии вклада не дает.