8. Лагранжианы свободных частиц материи (для дираковских и клейн-гордоновских заряженных частиц). Глобальная калибровочная инвариантность. Теорема Нетер.

Уравнение Эйлера – Лагранжа в квантовой теории поля, полученное тоже из принципа наименьшего действия, например, для скалярного поля, имеет вид:

d/dx_(L_полев)/(_)) - L_полев/ = 0 (или с заменой *). (2)

Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного скалярного поля

Лагранжиан зависит от независимых переменных – полевых функций  и *, а также от их производных:

L_0(скал) = _*_ - m²* (4)

Производя в (4) дифференцирование по * и по _*, получим уравнение Клейна – Гордона для частиц, а при дифференцировании по  и _ - для античастиц.

Для частиц:

(_² +m²) = 0

Для античастиц:

(_² + m²)* = 0

Лагранжиан и уравнение Лагранжа для свободного заряженного спинорного (дираковского) поля

Лагранжиан спинорных частиц зависит от биспиноров  и , а также от их производных.

Поскольку функция Лагранжа не наблюдаема и допускает произвол в выборе, лишь бы этот выбор не менял динамических уравнений Эйлера – Лагранжа, то можно выбрать полевой лагранжиан свободных спинорных (со спином 1/2) частиц наиболее простым образом, но так, чтобы он приводил к правильному динамическому уравнению – уравнению Дирака:

L_{0(спинор)} = i__ - m (5)

Покажем, что уравнение Эйлера – Лагранжа является уравнением Дирака.

L/(_) = 0, L/() = (i__ - m) = 0 – мы получили уравнение Дирака.

Глобальная калибровочная инвариантность

Мы знаем, что из инвариантности относительно временных сдвигов следует закон сохранения энергии, пространственных сдвигов – закон сохранения импульса, поворотов – закон сохранения углового момента. Это составляет суть теоремы Нетер в классической механике. Мы не будем исследовать эти свойства инвариантности в квантово-полевом аспекте, поскольку в этом разделе нас интересуют не они, а преобразования внутренней симметрии, не затрагивающие пространственно-временных координат.

Заряженные частицы со спином 0 или ½ описываются комплексными полями. Их лагранжианы (4), (5) инвариантны относительно калибровочного преобразования – хорошо известной нам неоднозначности волновой функции в НКМ e^i |e^i|=1, связанной с ненаблюдаемостью фазы волновой функции:

(x)  exp(ie)(x) или (x)  exp(ie)(x); (8)

(x)  exp(-ie)(x) или *(x)  exp(-ie)*(x).

Здесь  - произвольная действительная константа, переопределим константу , заменив ее на e, где e – заряд рассматриваемых частиц. Производные _, _, _, _* меняются при калибровочном преобразовании по тому же закону (e=const).

По сути, это преобразование калибрует фазу полевой функции. Данное преобразование называется калибровочным преобразованием первого рода.

Можно придать калибровочному преобразованию (8) геометрическую форму. Представим, например, комплексное скалярное поле в форме:

 = (₁ + i₂)/2; * = (₁ - i₂)/2, (9)

Из соотношения (4) получим:

L_0(скал) = _₁_₁ + _₂_₂ – m²(₁² + ₂²). (9`)

Теперь запишем поле  в виде вектора:

 = i₁ + j₂, (10)

т.е. в виде вектора в двумерном пространстве с ортонормированными базисными векторами i и j. Лагранжиан принимает вид:

L_0(cкал) = (_)(_) – m². (10`)

Калибровочные преобразования запишутся в виде:

₁` + i<sub>2</sub>` = exp(ie)(₁ + i₂) (11)

₁` - i<sub>2</sub>` = exp(-ie)(₁ - i₂)

или в эквивалентном виде

`<sub>1</sub> = <sub>1</sub>cos(e) - <sub>2</sub>sin(e) (11`)

`₂ = ₁sin(e) + ₂cos(e)

(11`) определяет вращение двумерного вектора  в плоскости (1,2) на угол (e).

Преобразование (8) U=exp(ie) – унитарное: UU⁺=1, U представляется в виде одномерной матрицы.

Совокупность элементов образует группу, если в данной совокупности задана операция группового умножения, которая не выводит элементы за пределы этой совокупности, кроме того, в совокупности существует единичный элемент e, представляющий тождественное преобразование, а также обратный элемент U^-1, такой, что UU^-1=U^-1U=e.

Совокупность преобразований U образует группу. Действительно, произведение элементов U₁=exp(ie₁) и U₂=exp(ie₂) снова представляет элемент совокупности U=U₁U₂=exp(ie(₁+₂)). Единичный элемент e соответствует =0 (U=1). Обратным элементом по отношению к U=exp(ie) является U^-1=exp(-ie). Эта группа называется группой U(1). “U” означает, что группа унитарная, а значок “(1)” – то , что элементы группы являются числами, т.е. матрицами 11. Поскольку число  не зависит от координат и времени, то такую симметрию называют глобальной. Это означает, что если мы повернули в какой-нибудь пространственно-временной области полевые векторы состояния, то они одновременно повернутся на тот же угол во всей Вселенной. Поскольку при умножении элементы группы перестановочны, коммутативны, такие группы называются абелевыми.

Таким образом, группа внутренней глобальной калибровочной симметрии лагранжианов заряженных скалярных и спинорных частиц (4) и (5) – это абелева унитарная группа U(1).

Теорема Нетер

Теорема Нетер утверждает, что если интеграл действия не меняется при каком-либо преобразовании симметрии, то это приводит к существованию сохраняющихся (или сохраняющейся) величин. Теорема Нетер играет чрезвычайно важную роль в теории поля и в физике частиц. Из нее вытекают не только законы сохранения энергии, импульса, момента, но и законы сохранения других “квантовых” чисел: электрического заряда, изотопического спина, цветового заряда кварков и т. п. (Правда, в квантовой теории поля существуют сохраняющиеся величины другого типа, которые являются топологическими по своей природе, такие, как монополь Дирака или инстантоны, их сохранение не связано с теоремой Нетер.)

Рассмотрим инфинитезимальное калибровочное преобразование (8) (<<1) для дираковского поля:

exp(ie)(1+ie), отсюда =ie, =-ie, (_)=ie_, (_)=-ie(_). (8`)

Запишем вариацию лагранжиана и во второй строке заменим L/ из уравнения Эйлера – Лагранжа на d/dx_[L/(_)] и то же для :

L = (L/) + (L/(_))(_) + ()(L/) + (_)(L/((_)) =

=d/dx_[L/(_)]+[L/(_)][d/dx_()]+()d/dx_[L/(_)]+[d/dx_()][L/(_)]=

=ied/dx_{[L/(_)] – [L/(_)]} = 0. (12)

Запишем сохраняющуюся величину – электромагнитный ток:

J_ = -ie{[L/(_)] -[L/(_)]}. (13)

Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы ток J_ соответствовал плотности тока электронов, полученной из уравнения Дирака, J=e_. Действительно, из лагранжиана спинорных частиц (5) следует, что ток, определяемый соотношением (13),

J_ = e_. (14)

Здесь и всюду в дальнейшем изложении заряд электрона будет обозначаться e, он включает в себя отрицательный знак.

Для комплексного скалярного поля получим из (13) с заменой  на  и  на * электромагнитный ток скалярных частиц:

J_ = ie(*_ - _*). (15)

Итак, глобальная калибровочная инвариантность приводит к сохраняющемуся 4-мерному току, а, следовательно, к сохранению заряда.

Теорема Нетер определяет фундаментальное условие: сохранение заряда означает, что он не просто исчезает, скажем, на Земле и появляется на Луне. Теорема Нетер говорит о значительно большем: такое изменение невозможно без существования тока, благодаря которому и возможно возникновение заряда в другой точке.

С физической точки зрения возникновение некой симметрии связано с неизмеримостью какой-либо величины, и потому, с определенным произволом в ее выборе. Например, инвариантность относительно сдвигов в пространстве означает, что мы не можем определить абсолютное положение в пространстве. Глобальная калибровочная инвариантность означает, что фаза полевых (и волновых) функций неизмерима и не существует ее абсолютного значения – она может быть выбрана произвольно. Фиксировав фазу , мы задаем ее во всем пространстве-времени – это и есть глобальная калибровочная инвариантность.

9. Локальная калибровочная инвариантность. Ковариантная (“длинная”) производная D. Введение электромагнитного поля в лагранжианы свободных частиц. Электромагнитное поле как калибровочное поле.