18. Правила Фейнмана диаграммной техники для инвариантной амплитуды в квантовой электродинамике.

Правила Фейнмана для вычисления элементов S-матрицы в КЭД

1. Внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор: ū^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана внешнему фермиону в конечном состоянии сопоставляется сплошная линия, выходящая из вершины. Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь p – 4-импульс фермиона,  – спиральность, ū^(p) – дираковски сопряженный биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона (точка на диаграмме всюду отвечает вершине взаимодействия).

 ū^(p)/2E

p

2. Внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор u^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана внешнему фермиону в начальном состоянии сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4-импульс p. Здесь u^(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние фермиона.

 u^(p)/2E

p

3. Внешнему антифермиону в конечном состоянии сопоставляется фактор v^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется входящая в вершину сплошная линия. Указанной линии приписывается 4-импульс (-p). Здесь v^(p) – биспинор, описывающий спиновое состояние антифермиона.

 v^(p)/2E

-p

4. Внешнему антифермиону в начальном состоянии сопоставляется фактор v^(p)/2E. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется выходящая из вершины сплошная линия, которой приписывается 4-импульс (-p).

 v^(p)/2E

-p

5. Поглощаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор ^()_/2. На диаграмме Фейнмана поглощаемому фотону сопоставляется волнистая линия, входящая в вершину, с указанием 4-импульса фотона k, ^()_ - 4-вектор его поляризации; 4-векторный индекс  совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака _ в вершине поглощения, индекс () отмечает тип поляризации поглощаемого фотона.

 () ^()_/2

k

6. Излучаемому реальному фотону с 4-импульсом k и типом поляризации () сопоставляется фактор ^()*_/2. На диаграмме Фейнмана ему сопоставляется волнистая линия, выходящая из вершины. 4-векторный индекс  совпадает с соответствующим индексом матрицы Дирака _ в вершине излучения.

() ~ ^()*_/2

k

7. Каждой вершине излучения (поглощения) фотона заряженным фермионом (антифермионом) сопоставляется фактор (-ie_) (здесь e – заряд электрона). Кроме того, в каждой вершине 4-импульсы пересекающихся (входящих и выходящих) линий удовлетворяют закону сохранения 4-импульса, т.е. p₁k=p₂, где p₁, p₂ – 4-импульсы входящей и выходящей из вершины фермионной линии (для антифермионной линии p₁-p₁, p₂-p₂), k – 4-импульс поглощаемого или излучаемого в вершине фотона. Каждой вершине соответствует фактор (2)⁴⁽⁴⁾(p₁k-p₂).

8. Внешнему электромагнитному полю сопоставляется фактор (-ie_)A_(q), где Фурье-компонента внешнего поля A_(q)=d⁴xe^i(qx)A_(x), где q=(p₂-p₁). Если поле A_(x) не зависит явно от времени, то вершине взаимодействия с ним сопоставляется фактор (-ie_)2(E₁-E₂)A_(q), где A_(q)=d³xe^-iqxA_(x), где q=p₂-p₁ -функция отражает закон сохранения энергии фермиона (антифермиона), взаимодействующего со стационарным внешним полем.

На диаграмме Фейнмана внешнему полю сопоставляется волнистая линия с крестиком на свободном конце и фактор (-ie_)A_(q) – для нестационарного внешнего поля; или фактор (-ie_)A_(q)2(E₁-E₂) – для стационарного внешнего поля.

9. Внутреннему (виртуальному) фермиону (антифермиону) сопоставляется пропагатор S₀(p)=-(p+m)/(p²-m²+i). На диаграмме Фейнмана виртуальному фермиону (антифермиону) сопоставляется сплошная линия, соединяющая две вершины. Здесь p – 4-импульс, переносимый фермионом. По 4-импульсам всех внутренних фермионных (антифермионных) линий проводится интегрирование d⁴p/(2)⁴i (используя ⁽⁴⁾-функции законов сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).

 d⁴p/(2)⁴i … [-(p̂+m)/(p²-m²+i)]

p

10. Внутреннему (виртуальному) фотону сопоставляется фотонный пропагатор D_=g_/(k²+i), где k – 4-импульс, переносимый виртуальным фотоном. На диаграмме Фейнмана виртуальному фотону соответствует волнистая линия между вершинами испускания и поглощения фотона. По 4- импульсам всех внутренних фотонных линий проводится интегрирование d⁴k/(2)⁴i (с учетом ⁽⁴⁾-функций, отражающих законы сохранения 4-импульсов в вершинах взаимодействия).

() ~~~~~~~ () d⁴k/(2)⁴i … [g_/(k²+i)]

k

11. Непрерывная последовательность фермионных линий на диаграмме Фейнмана снабжается стрелками, причем каждой внешней фермионной линии и каждому отрезку внутренней фермионной линии между вершинами взаимодействия приписывается 4-импульс p, а антифермионным – (-p). Антифермионной непрерывной последовательности линий приписывается стрелками обратное направление по сравнению с причинной последовательностью событий, то есть антифермионная линия направлена из будущего в прошлое.

Каждая пара антифермионных внешних концов (если эти концы представляют начало и конец одной последовательности антифермионных линий) вносят в амплитуду процесса фактор (-1).

/ /

(-p) (-p`)

12. Диаграммы процессов, содержащих тождественные фермионы (антифермионы) в начальных (конечных) состояниях следует антисимметризовать по любой паре начальных (конечных) тождественных частиц и сложить все диаграммы со всевозможными неэквивалентными перестановками внешних входящих (выходящих) концов с такими относительными знаками, которые обеспечивают указанную антисимметрию. В случае тождественных бозонов (фотонов), находящихся в начальных или конечных состояниях, диаграммы следует симметризовать, сложив все неэквивалентные диаграммы с переставленными входящими (выходящими) концами.

Примечания

а) В правилах Фейнмана везде фигурирует заряд электрона (заряд позитрона не фигурирует!), измеряемый в системе единиц Хевисайда. Этот заряд e связан с зарядом e₀, измеренным в гауссовской системе единиц, соотношением e=4e₀. e²/4=1/137.

б) В диаграммной технике КЭД в одной вершине сходятся две фермионные (антифермионные) линии и одна фотонная, что обусловлено структурой лагранжиана взаимодействия КЭД:

L_int = e(x)_(x)A_(x).

в) При аналитической записи элементов S-матрицы необходимо с помощью правил Фейнмана последовательно полностью описывать каждую фермионную (антифермионную) линию, начиная с конца выходящей стрелки и до ее начала, “двигаясь” вдоль линии в направлении, обратном направлению стрелки. Это приведет к правильной последовательности чередования матриц, так как все факторы, относящиеся к фермионным (антифермионным) линиям, являются матрицами.

19. Схема расчета рассеяния электронов кулоновским полем ядра. Формула Мотта.

Рассеяние электрона кулоновским полем ядра – формула Мотта

Для любого процесса прежде всего определяем и рисуем все возможные диаграммы Фейнмана в том порядке теории возмущений, в котором рассматривается процесс.

Рассеяние электронов внешним кулоновским полем (-Ze)/r происходит уже в первом порядке теории возмущений и определяется одной диаграммой Фейнмана (Рис.15).

Рис.15.

Теперь по правилам Фейнмана запишем инвариантную амплитуду процесса:

iT = [u^2(p₂)/2E₂][-ie_][A_(p₂-p₁)][u^1(p₁)/2E₁].

4-потенциал для кулоновского поля имеет только нулевую компоненту A_(x) = (A₀(x), 0, 0, 0),

где A₀(x) = -Ze/4r. Кулоновское поле – статическое (не зависит от времени).

A₀(q) = (1/4) d³x (-Ze/r)exp(-iqr) = (-Ze)/q² (берем Фурье-образ от Кулона, т.к. поле статическое – трехмерный); A₀(q)=A₀(q)2(E₂-E₁)

Здесь элемент объема в сферических координатах: d³xdV=r²drd(cos)d. Интеграл Фурье от кулоновского поля вычисляется по правилу: dV(1/r)exp(-iqr) = lim_0dV(1/r)exp(-iqr)exp(-r). (Проделайте вычисления самостоятельно!)

В результате инвариантная амплитуда приобретает вид:

iT = (2E₁2E₂)^-1/2[iZe²/q²][u^2(p₂)₀u^1(p₁)]2(E₂-E₁). (1)

Отступление. Расчетная техника.

От каждой фермионной (антифермионной) линии диаграммы в амплитуде возникает выражение

u₂^2Ru₁^1 (или u₂Rv₁, или v₂Ru₁, или v₂Rv₁), где R – набор произведений матриц Дирака и 4-импульсов частиц, участвующих в процессе. Заметим, что все перечисленные выражения являются числами, а не матицами. Их матричная структура такова: сначала берется произведение столбца (u или v) на 44-матрицу R, в результате получается столбец, затем этот столбец умножается на строку (u или v), в результате получается число. Вообще инвариантная амплитуда всегда является числом, а не матрицей.

Если начальное и конечное состояния не поляризованы, то необходимо усреднить квадрат амплитуды |T|², входящий в сечение, по поляризациям начальных частиц (т.е. взять сумму по поляризациям начальных частиц, деленную не два, так как существуют два спиральных состояния с =1: (1/2)_=1|T|²) и просуммировать по поляризациям конечных частиц (т.е. взять сумму по поляризациям конечных частиц от |T|²).

|T|²~[u₂Ru₁][u₂Ru₁]⁺ = [u₂Ru₁][u₂⁺₀Ru₁]⁺ = [u₂Ru₁][u₁⁺R⁺₀⁺u₂] = [u₂Ru₁][u₁⁺₀²R⁺₀u₂] =

= [u₂Ru₁][u₁₀R⁺₀u₂]. (2)

При выводе формулы (2) были использованы соотношения ₀²=1, ₀⁺=₀.

Проведем в (2) суммирование и усреднение по поляризациям (спиральностям) частиц:

(1/2)_1=1_2=1[u^2(p₂)Ru^1(p₁)][u^1(p₁)₀R⁺₀ u^2(p₂)]=(1/2)_2{u^2(p₂)[R(p̂₁+m)₀R⁺₀]u^2(p₂)}=

= (1/2)_2 [u^2(p₂)]_i [R(p̂₁+m)₀R⁺₀]_ik [u^2(p₂)]_k = (1/2)_2[u^2(p₂)]_k [u^2(p₂₎]_i [R(p̂₁+m)₀R⁺₀]_ik =

= (1/2){(p̂₂+m)_ki [R(p̂₁+m)₀R⁺₀]_ik = (1/2)Sp[(p̂₂+m) R (p̂₁+m) ₀R⁺₀ ]. (3)

При вычислении формулы (3) было использовано соотношение для проекционного оператора

P₊=_ u^(p)u^(p)=(p̂+m);

(i и k – это матричные индексы i,k= 1,2,3,4); а также свойства перемножения матриц.

Таким образом, от каждой фермионной (антифермионной) линии при усреднении и суммировании по поляризациям (спиральностям) возникает след.

____________________________________________________________________________________

Вычисление следов от произведений матриц Дирака _ и ₅

Sp_=0 Sp₅=0.

Докажем, что след от нечетного числа -матриц равен нулю. Воспользуемся цикличностью следа, антикоммутационным соотношением _₅+₅_=0 и ₅²=1, а также тем, что след есть число. Обозначим это число буквой A.

A=Sp(_1_2..._(2n-1)) = Sp(₅²_1..._(2n-1)) = -Sp(₅_1..._(2n-1)₅) = -Sp(_1..._(2n-1)) = -A = 0.

Теперь вычислим следы от 2-х и 4-х матриц Дирака. При вычислении используем антикоммутационные соотношения для -матриц __+__=2g_I

Sp(__) = 1/2Sp(__) +1/2Sp(__) = 1/2Sp(__+__) =1/2Sp(2g_I) = g_SpI = 4g_. (Здесь I – единичная 44-матрица SpI=4).

Sp(__)=4g_ (*)

Проверьте:

Sp(__₅)=0 (`)

Для получения формулы для следа четырех матриц Дирака будем последовательно “продвигать” матрицу _ с первой позиции на последнюю (слева направо):

Sp(____) = Sp[(-__+2g_I)__] = Sp[-____] + 2g_4g_ = Sp[-_(-__+2g_I)_] + 8g_g_ =

= Sp[____] – 8g_g_ + 8g_g_ = Sp[__(-__+2g_I)] – 8g_g_ + 8g_g_ =

= -Sp(____) + 8g_g_ -8g_g_ + 8g_g_

Sp(____)=Sp(____) в силу цикличности следа. Окончательно получим:

Sp(____) = 4[g_g_ – g_g_ + g_g_] (**)

Для справок:

Sp(____₅) = 4i_ (``)

________________________________________________________________________________

Вернемся к вычислению процесса рассеяния электрона кулоновским полем ядра.

Эрмитовски сопряжем амплитуду (1):

-iT⁺ = (2E₁2E₂)^-1/2[-iZe²/q²][u^1(p₁)₀ u^2(p₂)]2(E₂-E₁) (3)

Квадрат амплитуды |T|², используя формулу (2), усредним по начальным поляризационным состояниям и просуммируем по конечным поляризационным состояниям:

|T |² = (2E₁2E₂)^-1[Z²e⁴/q⁴](1/2)Sp{(p̂₂+m)₀(p̂₁+m)₀}[2(E₂-E₁)]² (4)

След вычисляется на основании формул (*) и (**).

(1/2)Sp{(p̂₂+m)₀(p̂₁+m)₀} = (1/2)Sp{p̂₂₀p̂₁₀+m²₀₀+mp̂₂₀₀+m₀p̂₁₀} (5)

Так как след от нечетного числа -матриц равен нулю, слагаемые, пропорциональные массе, вклада не дают. Подробно вычислим след от первого слагаемого, используя (**) и g₀₀=1:

Sp{p̂₂₀p̂₁₀} = p_2p_1Sp[_₀_₀] = 4p_2p_1[g_0g_0 - g_g₀₀ + g_0g_0] =

=4[2p₁₀p₂₀ –(p₁p₂)] = 4[2E₁E₂ – E₁E₂ + (p₁p₂)] = 4[E₀²+p₀²cos]

Наличие дельта-функции в амплитуде означает, что E₁=E₂E₀=(p₀²+m²)^1/2, т. е. происходит процесс упругого рассеяния электрона. |p₁|=|p₂|p₀. Угол между векторами импульсов начального p₁ и конечного p₂ состояний обозначим . Передаваемый при рассеянии импульс

q=p₂-p₁; |q|=2p₀sin/2.

Sp₀₀=SpI=4

Заменим в (5) m²=E₀²-p₀². Тогда выражение (5) приобретет вид:

(1/2)4[E₀²+p₀²cos +E₀²-p₀²] = 4[E₀² – p₀²sin²/2] = 4E₀²[1-v₀²sin²/2] (5`)

Здесь v₀=p₀/E₀ – абсолютная величина скорости электрона до и после взаимодействия с кулоновским полем ядра.

Теперь разберемся с квадратом дельта-функции.

[2(E₂-E₁)]² = 2(E₂-E₁)2(0)

Разложение дельта-функции в интеграл Фурье:

(E)=(1/2)_-^ exp(iEt)dt = (1/2){lim_[_-/2^/2 exp(iEt)dt]}. Отсюда (0)=lim_{_-/2^/2 dt/2}=/2.

[2(E₂-E₁)]²=2(E₂-E₁) (6)

где  - нефизический параметр, определяющий время “наблюдения” процесса. Этот параметр исчезнет из дифференциального сечения рассеяния.

Замечание. Обычно в процессах, содержащих взаимодействие фермионов с фотонами, в квадрате амплитуды стоит квадрат 4х-мерной дельта-функции, которая согласно соотношению (6) представляет (2)⁴⁽⁴⁾(p_конечн – p_{начальн})V. Здесь V – объем конфигурационного пространства, тоже нефизический параметр. Но мы нормировали все полевые функции на единичный объем V=1, поэтому положим и в данной формуле V=1 (без потери общности).

Дифференциальное сечение рассеяния из общей формулы равно:

d = (1/)[|T |²/j_нач] d³p₂/(2)³

j_нач=v₀, d³p₂=|p₂|²d|p₂|d₂=E₂|p₂|dE₂d₂.

Здесь d₂ – элемент телесного угла: d₂=2d(cos). Из соотношения E²=p²+m² следует, что EdE=|p|d|p|. Интегрирование по E₂ осуществляется тривиально с помощью дельта-функции f(E₂)(E₂-E₁)dE₂ = f(E₁)  f(E₀).

Основная зависимость от угла рассеяния содержится в q=2p₀sin(/2).

Подставляя в дифференциальное сечение все полученные выше соотношения и интегрируя по E₂ c помощью дельта-функции, получим дифференциальное сечение процесса, которое впервые получено Моттом и носит его имя. Заменим e²/4=1/137 – постоянная тонкой структуры.

d/d₂ = [Z²²/4p₀²v₀²] (1-v₀²sin²/2)/sin⁴/2 Формула Мотта (7)

В нерелятивистском приближении v₀<<1 формула Мотта переходит в сечение Резерфорда. Медленно меняющийся с углом рассеяния множитель в числителе (1-v₀²sin²/2) возникает из-за существования спина у электрона, что не учитывается в нерелятивистской квантовой механике.

Расчет процесса рассеяния позитронов кулоновским полем ядра приводит к следу, аналогичному (5):

(1/2)Sp{(p̂₂-m)₀(p̂₁-m)₀},

который совпадает с (5), так как слагаемые, пропорциональные массе, вклада не дают. Сечение для позитронов (или вообще для антифермионов) совпадает полностью с формулой Мотта, полученной для фермионов.