10. Лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (кэд).

Локальная калибровочная инвариантность и лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)

Мы рассматривали существование сохраняющейся величины, заряда, как следствие глобальной калибровочной инвариантности ((x)  exp(ie)(x) или (x)  exp(ie)(x)). Но поскольку  - постоянная величина, это калибровочное преобразование должно быть одним и тем же во всех точках пространства-времени. Когда мы совершаем вращение поля во внутреннем пространстве, в какой-либо одной точке на угол e, мы должны одновременно совершить то же самое вращение во всех других точках. Это не противоречит нерелятивистскому рассмотрению квантовой теории, поскольку скорость распространения физической информации в НКМ бесконечна. Однако если рассматривать такой сценарий всерьез в релятивистской области, то очевидно, что он противоречит духу и букве теории относительности, поскольку должно существовать минимальное временное запаздывание, равное времени прохождения светового сигнала. Чтобы обойти эту трудность, будем считать  произвольной функцией пространственно-временных координат   (x_)  (x). Впервые эта идея была высказана Янгом и Миллсом в их знаменитой работе, опубликованной в 1954 году в журнале Phys. Rev., 96, 191 (1954). Кстати, тогда мало кто из физиков обратил на эту работу серьезное внимание, но именно идея Янга и Миллса лежит в основе всех квантово-полевых теорий, ныне составляющих Стандартную модель.

Снова запишем лагранжианы свободных заряженных спинорных и скалярных частиц:

L_{0(спинор)} = i__ - m (*)

L_0(скал) = _*_ - m²* (**)

Преобразование:

  exp(ie(x)),   exp(-ie(x)) (1)

называется локальным калибровочным преобразованием.

Но лагранжианы заряженных частиц теперь перестают быть инвариантными относительно преобразования (1), так как при дифференцировании по x_ содержат производную _(x):

_(x)  _[exp(ie(x))(x)] = exp(ie(x))(_ + ie_)(x),

т. е. величина _ преобразуется нековариантно – не так, как само поле . Следовательно, и интеграл действия перестает быть инвариантным. Чтобы сделать лагранжианы и вместе с ними интеграл действия инвариантными относительно локального калибровочного преобразования, надо их “поправить” – для этого введем 4-вектор A_(x) (поскольку добавка _ представляет 4-вектор), который при локальном калибровочном преобразовании полей (1) одновременно преобразуется по закону:

A_(x)  A_(x) - _(x) (2)

Введем так называемую ковариантную (или, проще, “длинную”) производную D_:

D_ = (_ + ieA_(x)) (3)

и заменим всюду в лагранжианах _  D_ (обратите внимание, что _ или _ преобразуются в формы: D_ или D_, а _ или _* преобразуются как D_* или D_**). Покажем, что D_ меняется при локальном калибровочном преобразовании так же, как само поле  (формула (1)):

D_ = (_ + ieA_(x))(x)  (_ + ieA_(x) -ie_(x))exp(ie(x))(x) = exp(ie(x))(_+ie_-ie_ +ieA_) = exp(ie(x))(_ + ieA_(x))(x)  exp(ie(x))D_.

Таким образом, чтобы скомпенсировать добавку _, приводящую к неинвариантности лагранжианов, мы вынуждены ввести векторное поле A_(x), называемое калибровочным, которое при локальном калибровочном преобразовании ведет себя по закону (2). Нетрудно видеть, что (2) представляет калибровочную инвариантность электромагнитного поля, так что A_(x) – это 4-потенциал электромагнитного поля.

Запишем лагранжианы заряженных спинорных и скалярных частиц материи, “поправив” их так, чтобы они стали инвариантными относительно локального калибровочного преобразования (1), т. е. заменив в них производную _  D_.

Для дираковского, спинорного поля лагранжиан приобретает вид:

L_спин = i_D_ - m = i__ - m + (-e)_A_ (4)

Последнее слагаемое в лагранжиане (4) описывает взаимодействие дираковских заряженных частиц с электромагнитным полем (переименуем заряд -e  e – заряд электрона):

Lint = e(x)(x)A(x)  ej(x)A(x) (5)

Мы получили лагранжиан взаимодействия квантовой электродинамики (КЭД).

Лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем можно изобразить графически. Если обозначить полевую функцию дираковских частиц сплошной линией, а электромагнитное поле (или поле фотонов) – волнистой линией, то (5) означает, что в одной пространственно-временной точке x сходятся две сплошные и одна волнистая линия (L_int в просторечии называют “треххвосткой”).

Рис.1 Графическое изображение лагранжиана взаимодействия L_int квантовой электродинамики (КЭД)

Лагранжиан электромагнитного поля L_э.-м.=-(1/4)F_F_ тоже инвариантен относительно локального калибровочного преобразования (2), поскольку относительно этого преобразования инвариантен тензор электромагнитного поля F_.

Полный лагранжиан заряженных дираковских частиц состоит из трех слагаемых: лагранжиана свободных заряженных спинорных частиц L_0спин + лагранжиан электромагнитного поля L_э-м + лагранжиан взаимодействия дираковских частиц с электромагнитным полем L_int:

L = [i(x)__(x) - m(x)(x)] + [-1/4F_F_] + [e(x)_(x)A_(x)] (6)

Для скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона, лагранжиан с учетом взаимодействия имеет вид:

L = D_**D_ - m²*,

где лагранжиан взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем

L_int = ei[(_*(x))(x) - *(x)(_(x))]A_(x)+ e²*(x)(x)A_(x)A_(x) (7)

Рис.2. Графическое изображение лагранжиана взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем.

Итак, требование инвариантности лагранжианов относительно локальной калибровочной инвариантности привело нас к введению взаимодействия частиц материи с электромагнитным полем.

Выводы:

1 Накладывая на лагранжианы свободных заряженных полей материи требование локальной калибровочной инвариантности, мы приходим к теории взаимодействующих полей КЭД.

2 Заряд e представляет с одной стороны константу связи электромагнитного взаимодействия, а с другой стороны – сохраняющуюся величину при локальном калибровочном преобразовании.

3 Мы приходим к новой интерпретации электромагнитного поля: это калибровочное, компенсирующее поле, которое необходимо ввести, чтобы гарантировать инвариантность относительно локальных калибровочных преобразований. Можно даже сказать: электромагнитное поле есть порождение локальной унитарной группы U(1).

4 Добавление массового слагаемого m²A_A_ к лагранжиану электромагнитного поля запрещено требованием локальной калибровочной инвариантности. Это слагаемое не инвариантно относительно преобразования (2). Поэтому фотон, квант электромагнитного поля, должен быть безмассовым!

Теорема Нетер с учетом требования локальной калибровочной инвариантности приводит снова к сохраняющемуся электромагнитному току:

J_=-ie{(L/(D_))-(L/(D_}e_.

11. Метод функций Грина. Функция Грина в нерелятивистской квантовой механике (НКМ). Причинность в нерелятивистской квантовой механике. Выражение функции Грина через билинейную форму по полному набору решений уравнения Шредингера.

Функции Грина в нерелятивистской квантовой механике (НКМ)

Рассмотрим уравнение Шредингера: i(x)/t = Ĥ(x) (1)

Здесь xx_(t, x), т. е. (x) зависит от координат и времени.

Будем рассматривать (x₁) как известную функцию и искать ее изменение (x₂) за некий промежуток времени t₂ - t₁ (t₂>t₁). Чрезвычайно важно условие t₂>t₁, поскольку именно в нем заложена причинная связь: любое конечное состояние в НКМ развивается из начального (а не наоборот!). Следовательно, при t₂<t₁ состояние (x₂) не может существовать.

Обе волновые функции являются решениями уравнения (1), но в разных пространственно-временных точках. Запишем интегральное уравнение с учетом причинности:

(x₂) =   d³x₁ K(x₂, x₁) (x₁) при t₂>t₁ (2)

 0 при t₂<t₁

Здесь K(x₂,x₁) – это функция Грина уравнения Шредингера, являющаяся функцией двух пространственно-временных точек x₁ и x₂. С физической точки зрения эта функция описывает амплитуду вероятности перехода частицы из точки x₁ в точку x₂. Это корреляционная функция или ее еще называют функцией распространения - пропагатором (от английского слова ‘propagation’ – ‘распространение’).

Пусть гамильтониан Ĥ системы не зависит от времени, тогда полная волновая функция

_n(x) = _n(x)exp(-iE_nt) подчиняется временному уравнению Шредингера (1), а _n(x) описывается стационарным уравнением Шредингера: H_n(x) = E_n_n(x). (3)

Собственные функции _n(x) ортонормированы: d³x_n*_m=_mn (4)

и подчиняются условиям полноты: _n_n(x)_n*(x`) = <sup>(3)</sup>(x-x`) (4`)

Разложим начальное состояние (x₁) по собственным функциям _n гамильтониана Ĥ:

(x₁) = _n c_n_n(x₁)exp(-iE_nt₁) (5), где коэффициенты c_n = {d³x₁_n*(x₁)(x₁)}exp(iE_nt₁) (6)

Разложим теперь конечное состояние по тем же собственным функциям _n, взятым в точке x₂. Коэффициенты разложения останутся теми же, так как обе волновые функции описываются одним уравнением Шредингера (1).

(x₂) = _n c_n_n(x₂)(x₂)exp(-iE_nt₂) (7)

Подставим в (7) значение коэффициентов c_n из (6), получим:

(x₂) = _n [d³x₁_n*(x₁)(x₁)]exp(iE_nt₁)[_n(x₂)(x₂)]exp(-iE_nt₂) =

= d³x₁{_n _n(x₂)_n*(x₁)exp(-iE_n(t₂-t₁))}(x₁). (8)

Сравнивая формулы (8) и (2), найдем значение K(x₂, x₁):

K(x₂, x₁) = _n _n(x₂)_n*(x₁)exp(-iE_n(t₂-t₁) = _n _n(x₂)_n*(x₁) (9)

Сумма берется по полной системе собственных функций гамильтониана Ĥ.

При t₂=t₁ из соотношения (4`) следует, что K(x<sub>2</sub>, x<sub>1</sub>) = <sup>(3)</sup>(x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub>) (9`)

Чтобы явно учитывалась проблема причинности (состояние (x₂) развивается из состояния (x₁) только при t₂>t₁), удобно доопределить функцию Грина K(x₂, x₁), образовав причинную функцию Грина G:

G(x₂, x₁) = K(x₂, x₁)(t₂-t₁), (10)

где ступенчатая тета-функция (t) определяется соотношением:

(t) =  1 при t>0. По определению d(t)/dt=(t)

 0 при t<0

Фурье-разложение (t): (t) = _-^(d/2) exp(-it)

Причинная функция Грина на основании формулы (9) имеет вид:

G(x₂,x₁) = _n_n(x₂)_n*(x₁)(t₂-t₁) (11)

Еще раз подчеркнем, что в формуле (11) сумма берется по полной системе собственных функций гамильтониана Ĥ.

Соотношение (2) с помощью причинной функции Грина запишется в виде:

(x₂) = d³x₁ G(x₂, x₁)(x₁) (2`)