4. Уравнение Дирака. Уравнение Дирака в ковариантной форме. Сопряженный биспинор. Уравнение Дирака для сопряженного биспинора. Плотность тока jμ. Уравнение непрерывности.

Уравнение Дирака

Уравнение Дирака содержит “внутри себя” спин и описывает частицы со спином S=1/2, т. е. все фундаментальные частицы материи – лептоны и кварки.

Первоначальная задача Дирака состояла в создании уравнения первого порядка по времени и по координатам (поскольку в релятивизме время и координаты должны входить в соотношения равноправно) – в “линеаризации” уравнения Клейна – Гордона. В уравнении первого порядка по времени плотность вероятности перестает зависеть от производных по времени и становится положительно определенной величиной. Таким образом Дирак предполагал избавиться от отрицательных плотностей вероятности, возникающих в уравнении Клейна – Гордона.

Запишем общий вид уравнения первого порядка по времени и координатам:

(/t+₁/x+₂/y+₃/z+im)(x)=0 или более кратко: (/t++im)(x)=0 (1)

Здесь (₁,₂,₃) и  пока неизвестные числовые величины.

Найдем гамильтониан уравнения Дирака, для этого запишем (1) в форме уравнения Шредингера

i(/t)=H.

i(/t)=[(-i)+m] (1`)

Следовательно, дираковский гамильтониан имеет вид: H_D=(-i)+m (2)

Решения уравнения Дирака должны удовлетворять уравнению Клейна – Гордона, так как последнее получено из правильного соотношения между энергией и импульсом релятивистской частицы E²=p²+m². Из этих соображений найдем числовые величины  и . Для этого домножим (1) на “сопряженный” оператор [/t –(+im)]:

[/t-(+im)][/t+(+im)] = [²/t² – (+im)²]=0 (3)

(+im)² = 1/2(_i_i+im)(_k_k+im)+1/2(_k_k+im)(_i_i+im) =

= 1/2(_i_k+_k_i)_i_k+im(_i+_i)_i-²m² (4)

Чтобы оператор уравнения (3) с учетом (4) соответствовал оператору в правой части уравнения Клейна – Гордона [²/t²-²+m²], необходимо положить:

²=1 (4`)

_i_k+_k_i=2_ik (4``), отсюда _i²=1

_i+_i=0 (4```)

Соотношения (4``), (4```) удовлетворяются, только если числовые формы _i и  являются матрицами. Поскольку дираковский гамильтониан H_D должен быть эрмитов (как и любой гамильтониан в квантовой теории), то входящие в него матрицы _i и  тоже должны быть эрмитовыми:

_i⁺=_i, ⁺=, а их квадраты равны единице.

Далее соотношение (4```) домножим слева на ^-1:

^-1_i=-_i. Возьмем след (сумму диагональных элементов матрицы) от обеих частей этого выражения (след цикличен!):

Sp(^-1_i)=- Sp_i или Sp_i=-Sp_i. Следовательно, Sp_i=0.

Домножив (4```) на _i^-1, получим, что Sp=0. Все четыре матрицы _i (i=1,2,3) и  бесследовые и эрмитовы. Любая эрмитова матрица может быть приведена к диагональной форме. Но так как квадрат каждой матрицы равен единице, то на диагонали приведенной к диагональному виду матрицы могут стоять только единицы или минус единицы, а в силу бесследовости матриц число единиц совпадает с числом минус единиц. Следовательно, ранг рассматриваемых матриц четный.

Попробуем взять матрицы минимального четного ранга N=2. В пространстве комплексных матриц 2x2 существуют три фундаментальные матрицы Паули и единичная матрица (это система линейно независимых матриц):

₁=01, ₂=0-i, ₃=10 , I=10 .

10 i 0  0-1 01

_i_k=_ik+i_ikl_l (A)

Матрицы Паули подчиняются такому же антикоммутационному соотношению, как (4``): _i_k+_k_i=2_ik.

Но единичная матрица коммутирует со всеми матрицами Паули, и соотношение (4```) не выполняется.

Поэтому попробуем рассматривать матрицы следующего четного ранга N=4. Выбрать четырехрядные матрицы, удовлетворяющие условиям (4``), (4```) можно несколькими способами. Мы будем работать в представлении, называемом стандартным:

_i =0 _i , =I 0, 1=I 0

_i 0 0-I 0 I

Нетрудно проверить, что так выбранные матрицы _i и  удовлетворяют соотношениям (4``) и (4```). Здесь 1 – единичная четырехрядная матрица, I – единичная двурядная матрица.

Уравнение Дирака – дифференциальное и одновременно матричное уравнение, оно содержит спиновые матрицы 4х4, которые выражаются через матрицы Паули. Решением уравнения Дирака является четырехкомпонентный спинор или биспинор.

Поэтому частицы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными. Все фундаментальные частицы материи – спинорные частицы.

Уравнение Дирака в ковариантной форме

Получим уравнение Дирака в ковариантной форме, которой будем пользоваться в дальнейшем. В ковариантной форме координаты и время должны входить в уравнение совершенно симметрично. Для этого введем новые четырехрядные матрицы: ₀ и =. Образуем 4-матричный вектор _(₀,).

Уравнение Дирака в этих обозначениях примет ковариантный вид (которым в дальнейшем всегда будем пользоваться):

[i__-m](x)=0 (5)

Из (4``) и (4```) следует, что -матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:

__+__=2g_1. (6)

Сопряженный биспинор

Решением уравнения Дирака

(i__-m)(x)=0 (1)

является четырехкомпонентный спинор ₁(x)

₂(x) 

(x)= ₃(x) 

₄(x) 

Введем сопряженный биспинор =⁺₀=(₁*,₂*,-₃*, -₄*).

Биспинор  - это четырехкомпонентный столбик, а  - это четырехкомпонентная строка. Получим уравнение для сопряженного биспинора. Для этого эрмитовски сопряжем (1): (-i_⁺_⁺-m⁺)=0, умножим справа на ₀ и вставим ₀²=1 между ⁺ и _⁺. Используя ₀_⁺₀=_:

i(_)_+m=0 (2)

Ток уравнения Дирака и уравнение непрерывности

Для получения уравнения непрерывности из уравнения Дирака умножим уравнение (1) слева на , а уравнение (2) - справа на , получатся соотношения:

[i_(_) - m]=0 (1`)

[ i(_)_ + m]=0 (2`)

Сложим (1`) и (2`), получим уравнение непрерывности:

_(_) + (_)_=0 или в компактной форме _j_=0 (3)

Здесь j_ -ток уравнения Дирака: j_=_ (4),

а соотношение (3) представляет уравнение непрерывности (закон сохранения вероятности – числа частиц) как следствие динамического уравнения Дирака.

Плотность вероятности, нулевая компонента 4-вектора тока: j₀ =₀=⁺=||²0.

Таким образом, Дирак получил неотрицательные значения плотности вероятности, преодолев трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна – Гордона.

Заметим, что структура =inv – является скаляром в 4-пространстве Минковского, и поэтому инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Итак, мы познакомились с первым (и единственным) динамическим квантовым уравнением, которое описывает спин. И поскольку матрицы Дирака содержат матрицы Паули, т. е. спиновые операторы для частиц со спином 1/2, то уравнению Дирака подчиняются частицы со спином ½, фермионы. Это можно показать более строго: гамильтониан уравнения Дирака не коммутирует с оператором момента количества движения L, но коммутирует с суммарным оператором момента J=L+S, где S –оператор спина ½. Фермионы, подчиняющиеся уравнению Дирака, называют спинорными частицами, имея в виду, что дираковская полевая функция  является четырехкомпонентным спинором.