1. Уравнение Клейна Гордона. Плотность тока jμ. Уравнение непрерывности.

Уравнение Клейна – Гордона.

Уравнение написано сразу вслед за уравнением Шредингера. Получим уравнение Клейна – Гордона по “аналогии” с уравнением Шредингера в нерелятивистской квантовой механике (НКМ).

НКМ

Получим уравнение Шредингера следующим образом. Соотношение между энергией и импульсом свободной нерелятивистской частицы E=p²/2m. Заменим E оператором Ei/t, а импульс p оператором p-i (в единицах ħ=c=1), и в обе части соотношения для энергии “припишем” волновую функцию, получим уравнение Шредингера для свободной частицы:

(i/t)=(-²/2m);

плотность вероятности =||², плотность тока вероятности j=(2mi)^-1[*-*].

Поступим так же в области релятивистской квантовой теории (РКМ).

РКМ

Соотношение между энергией и импульсом релятивистской свободной частицы

E²=p²+m². Припишем с обеих сторон аналогичную  теперь уже полевую функцию (x)=(x,t) (объяснения по поводу смысла полевой функции будут даны ниже), получим:

(²/t²-²+m²)(x)=0 (1)

Это и есть уравнение Клейна – Гордона. Заметьте, что уравнение (1), в отличие от уравнения Шредингера, второго порядка по времени. Его принято записывать в ковариантной форме:

(_²+m²)(x)=0 (2)

Уравнение (2) не содержит спиновых операторов, т. е. оно описывает бесспиновые частицы с массой m. Поскольку полевая функция  является скалярной функцией, говорят: уравнение Клейна –Гордона описывает скалярные частицы (например, мезоны со спином S=0).

Ток уравнения Клейна – Гордона. Уравнение непрерывности.

Запишем уравнение (2) и комплексно сопряженное ему уравнение, первое умножим слева на *, а второе – на  и вычтем друг из друга:

*(_²+m²)=0

(_²+m²)*=0

Получим: *_²-_²*=0 (3)

Введем ток уравнения Клейна – Гордона:

j_=i(*_-_*) (4)

Тогда (3) можно записать в форме уравнения непрерывности: _j_=0. (5)

Таким образом, уравнение непрерывности, означающее сохранение числа частиц (сохранение вероятности), является следствием динамического уравнения Клейна – Гордона.

Соотношение (5) более подробно можно записать в виде:

/t+divj=0,

где =i[*(/t)-(/t)*]; j=-i[*-*]

Нетрудно понять, что величина  не является положительно определенной величиной, в то время как в НКМ эта величина всегда положительно определена (=||²). Это обусловлено тем, что уравнение (2) второго порядка по времени, и величины  и /t меняются произвольно. Благодаря этому обстоятельству уравнение (2) было на долгие годы отброшено физиками. Для выяснения отрицательных значений  рассмотрим операцию зарядового сопряжения С.

2. Операция зарядового сопряжения с. Понятие об античастицах. Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна-Гордона.

Операция зарядового сопряжения С

В релятивистской области существует операция замены частиц на античастицы, называемая операцией зарядового сопряжения С. Зарядовое сопряжение меняет только заряд частиц на противоположный (электрический заряд, слабый заряд, сильный цветовой заряд), но не меняет массу и спин частиц. Так для электрона античастицей является позитрон, для кварка – антикварк и т. д.

Если e – заряд рассматриваемых частиц, то

C^(e)= ^(-e)

Собственные функции и собственные значения оператора C подчиняются обычному уравнению на собственные функции и собственные значения:

C_^(e)=_^(e).

При повторном применении операции С античастица снова переходит в частицу, поэтому ²=1, а =+1 либо =-1. Очевидно, что собственными функциями оператора С являются только нейтральные частицы с e=0. Истинно нейтральной частицей с отрицательной зарядовой четностью (=-1) является фотон (не содержит внутренней электромагнитной структуры) и ⁰-мезон с положительной зарядовой четностью =1.

Операция зарядового сопряжения для уравнения Клейна – Гордона

Введем в уравнение Клейна – Гордона электромагнитное поле, так как именно оно различает заряд, т. е. различает частицы и античастицы.

Электромагнитное поле в НКМ вводится по правилу pp-eA(x), где p=-i – оператор импульса, А – векторный потенциал электромагнитного поля. В РКМ запишем обобщение нерелятивистской структуры: i_i_-eA_(x); здесь A_(U, A) – 4-потенциал электромагнитного поля (U – скалярный потенциал, A – векторный потенциал). Запишем уравнение Клейна – Гордона (_²+m²)(x)=0 в виде:

[-(i_)²+m²](x)=0 и введем в него электромагнитное поле.

Для частиц с зарядом e уравнение примет вид: [-(i_-eA_)²+m²]^(e)=0 (1)

Для античастиц с зарядом (-e): [-(i_+eA_)²+m²]^(-e)=0 (2)

Уравнение (1) переходит в (2) при операции комплексного сопряжения (K=*). Действительно:

[-(-i_-eA_)²+m²]^(e)*=0 (1`)

^(e)* и ^(-e) подчиняются одному и тому же уравнению и, следовательно, с точностью до нормировочного множителя совпадают друг с другом. Таким образом, операцией зарядового сопряжения С для уравнения Клейна – Гордона является комплексное сопряжение.

Для нейтральных частиц с e=0 ^(e=0)*=^(e=0), т.е. для нейтральных частиц полевая функция оказывается вещественной.

При A_0 уравнения (1) и (2) совпадают, поэтому одно и то же уравнение Клейна – Гордона (_²+m²)(x)=0 описывает как частицы, так и античастицы. Важно понимать, что все квантовые динамические уравнения (в дальнейшем мы рассмотрим уравнение Дирака и уравнение Прока) в релятивистской области по своей природе не являются одночастичными, каковым является уравнение Шредингера, их решения нельзя трактовать как волновые функции, все уравнения в релятивистской области описывают соответствующие поля.