21. Понятие о перенормировке. Основные расходящиеся диаграммы в кэд. Подсчет степени расходимости диаграмм кэд. Необходимое условие перенормируемости теории кэд.

Перенормировки

Учет низших порядков теории возмущений вполне достаточен для предсказаний экспериментов в КЭД с точностью не хуже 10%. То, что мы обращаемся к обсуждению высших порядков теории возмущений, вызвано не потребностью повысить точность расчетов, а желанием разобраться в некоторых трудностях, которые возникают в связи с использованием теории возмущений. Ряд теории возмущений устроен таким образом, что члены более высоких порядков содержат все большее число внутренних интегралов, и, следовательно, существует возможность возрастания степени расходимости. Очевидно, чтобы теория поля вообще имела смысл, проблемы, связанные с расходимостями, должны быть разумным образом разрешены.

Основная идея теории перенормировок состоит в том, что расходимости при высоких энергиях (их называют ультрафиолетовыми расходимостями) теории поля должны компенсироваться перенормировками параметров теории.

Таким образом возникают две проблемы, не зависящие на первый взгляд друг от друга.

Первая проблема заключается в необходимости выяснить смысл параметров массы m и заряде e, которые фигурируют в лагранжианах. В низших порядках теории возмущений мы приняли, что они играют роль массы и заряда электрона. Однако теперь надо внести уточнения в эти понятия. Действительно, по своей сущности исходные уравнения Максвелла и Дирака содержат константы m и e, которые представляют заряд и массу свободного электрона, т. е. электрона, полностью изолированного от взаимодействия с электромагнитным полем. В таком случае масса и заряд являются характеристиками некого гипотетического “голого” электрона, не взаимодействующего ни с каким полем.

Взаимодействие между полями должно приводить к отличию энергетического спектра от спектра свободных полей. Поэтому масса “голого” электрона должна отличаться от массы реального электрона, от минимальной энергии однозарядового состояния взаимодействующих полей. То же справедливо и по отношению к заряду. Поэтому возникает фундаментальная задача о выяснении связи между массой и зарядом “голого” электрона и массой и зарядом реального физического электрона m_R и e_R (буква R означает Renormalization – перенормировка). Если в принципе это возможно проделать, то мы найдем соотношение вида: e=e(e_R) и m=m(e_R, m_R) И с их помощью исключим параметры e и m, выразив их через наблюдаемые m_R и e_R.

Такое исключение нефизических параметров с помощью введения наблюдаемых величин называется перенормировкой и является составной частью любой квантово-полевой теории.

Вторая проблема возникает в связи с появлением расходящихся интегралов в высших порядках теории возмущений.

Однако совершенно удивительным образом оказывается, что если сначала перенормировать заряд и массу, то во всех наблюдаемых выражениях расходимости не появляются. Мы продемонстрируем это ниже на примере вычисления радиационных поправок (высших порядков теории возмущений). Тем не менее мы будем совершать насилие над обычной математической процедурой – мы будем складывать, вычитать, делить расходящиеся интегралы, как если бы они были конечными. Нашим оправданием является тот факт, что после выполнения этих манипуляций результаты оказываются конечными и с замечательной точностью согласуются с экспериментом. Это говорит о том, что за нашим неуклюжим методом извлечения конечного ответа из выражений, которые выглядят бесконечными, кроется какая-то истина!

Возможно, мы имеем дело с плохо определенными произведениями нескольких операторов, относящихся к одной пространственно-временной точке, или бесконечности возникают как результат разложения в ряд по параметру заряда e, при этом матричные элементы могут оказаться неаналитическими функциями e в окрестности e=0, а, может быть, бесконечности являются фундаментальным изъяном в основном благополучной теории? Ответов на эти вопросы пока нет. Но мы твердо знаем, что все расходимости связаны с пространственно-временной структурой на малых расстояниях, расстояниях порядка длины Планка ~10^-33 cм (или несколько большими?)

Однако ясно, что даже при отсутствии бесконечностей в теории, ее необходимо перенормировать. Происхождение перенормировки связано с тем, что состояния системы описываются с помощью невозмущенных “голых” волновых (полевых) функций, хотя в реальном физическом мире мы никогда не можем выключить взаимодействие между полями. Единственное требование, налагаемое на физически разумную теорию, заключается в том, чтобы S-матрица после перенормировки была конечной.

Рассмотрим примеры диаграмм высших порядков теории возмущений в КЭД, например, радиационные поправки к ee-рассеянию.

Рис1.

В отличие от диаграмм низших порядков теории возмущений, диаграммы высшего порядка содержат петли. 4-импульс, циркулирующий по петле, не определен. Соответствующий интеграл по петле расходится при больших значениях 4-импульсов (так называемые ультрафиолетовые расходимости).

Основные расходящиеся диаграммы КЭД

1 Поляризация вакуума П

Рис.2.

П ~  d⁴p [(p̑+m)/(p²-m²+i)][(p̑-k̑+m)/((p-k)²-m²+i)] ~ p³dp/p²  квадратично расходится.

2 Собственная энергия фермиона 

Рис.3.

 ~ d⁴p`[1/((p-p`)²+i)][(p̑`+m)/(p`²-m²+i] ~ p`<sup>3</sup>dp`/p`³  линейно расходится.

3 Вершинная функция 

Рис.4.

 ~ d⁴k`[1/(k`²+i)][(p̑-k̑`+m)/((p-k`)²-m²+i)][(p̑`-k̑`-k̑+m)/((p`-k`-k)²-m²+i)] ~

~ k`<sup>3</sup>dk`/k`⁴  логарифмически расходится.

Подсчет расходимостей диаграмм КЭД

Определим размерность D интеграла как разность полного числа 4-импульсов в числителе и знаменателе. Условие сходимости тогда будет соответствовать D<0

Пусть в какой-либо диаграмме n-ного порядка теории возмущений содержатся:

F_e – число внешних фермионных линий,

B_e – число внешних бозонных (фотонных) линий,

F_i – число внутренних фермионных линий,

B_i – число внутренних бозонных линий.

В диаграмме n вершин.

Вычислим размерность D интеграла, определяющего инвариантную амплитуду, соответствующую данной диаграмме.

Вершина _ не содержит 4-импульсов. Внешние линии диаграммы также не содержат 4-импульсов и не влияют на расходимость. На расходимость влияют следующие факторы:

1 Каждая внутренняя фермионная и бозонная (фотонная) линия дает фактор в числителе d⁴p. F_i внутренних фермионных и B_i внутренних фотонных линий дают вклад:

4(F_i+B_i)

2 В каждой вершине стоит четырехмерная дельта-функция ⁽⁴⁾(p_j), которая при интегрировании сокращает число импульсов на 4. Но одна дельта-функция выражает закон сохранения энергии-импульса всего процесса в целом и не приводит к уменьшению размерности подынтегрального выражения. Таким образом, вершины дают вклад

-4(n-1)

3 Каждая внутренняя фермионная линия содержит пропагатор ~1/p. F_i линий дают

-F_i

4 Каждая внутренняя фотонная линия содержит пропагатор ~ 1/k². B_i линий дают

-2B_i.

Подсчитаем D:

D = 4(F_i+B_i) – 4(n-1) - F_i - 2B_i = 2Bi +3Fi – 4(n-1)

Выразим величину D через число внешних линий диаграммы.

В каждой вершине в диаграммах КЭД сходятся 2 фермионные и одна фотонная линия.

Число концов фермионных линий, следовательно, равно удвоенному числу вершин n, причем каждая внутренняя фермионная линия дает 2 вершины (соединяет две вершины), а каждая внешняя фермионная линия дает одну вершину. Отсюда:

2n = F_e + 2F_i.

Число концов фотонных линий равно числу вершин:

n = B_e + 2B_i.

Из этих двух соотношений выразим B_i и F_i через B_e и F_e и подставим в D:

D=3(n - F_e/2) + (n – B_e) - 4n + 4

D = 4 – 3F_e/2 - B_e. (1)

Следовательно, степень расходимости диаграмм Фейнмана КЭД не зависит от числа вершин, т. е. от порядка теории возмущений, а определяется только числом внешних линий диаграммы. Это позволяет предположить, что степень расходимости не увеличивается с ростом порядка теории возмущений. Именно это обстоятельство является необходимым условием перенормируемости квантово-полевой теории.

В действительности, в КЭД содержатся только логарифмические расходимости.