Бегущая константа связи кэд (k2) (пользоваться конспектом для расчета поляризационного оператора в однопетлевом приближении при высоких энергиях).
Бегущая константа связи КЭД
Обычно мы представляем себе постоянную тонкой структуры просто как некоторое число = e2/4 =1/137. По мере изменения передаваемого при рассеянии частиц импульса или масштаба расстояний, на которых происходит зондирование частицы, постоянная тонкой структуры изменяется.
Когда жесткий фотон с большой энергией внедряется в облако положительно заряженных частиц, экранирующих отрицательный затравочный заряд (причем генерирует процесс образования этого облака эффект поляризации вакуума), он должен “видеть” все больший заряд. Величина заряда, которую “видит” зондирующий фотон, должна зависеть от энергии зонда.
Из уравнения Дайсона физический пропагатор (функция Грина) фотона имеет вид
D = (1/k2+i)[1/(1-П(k)/k2)]
Снова полагая, что изменение фотонного пропагатора за счет эффекта поляризации вакуума несет ответственность за изменение заряда частицы, запишем e2(k) = e2/[1-П(k)/k2] и подставим сюда в качестве П поперечную часть поляризационного оператора при высоких энергиях:
(k2) = /[1 + (/3)ln(L2/m2) – (/3)ln|-k2/m2|] (11)
Поделим каждое слагаемое в числителе и знаменателе на (1+(/3)ln (L2/m2)). В результате мы получим формулу, в которой присутствуют только физические перенормированные величины зарядов и отсутствует нефизическая константа обрезания L.
Эта совершенно уникальная формула “рассказывает” нам, по какому закону с энергией меняется константа связи КЭД. Константа связи уже не является постоянной – ее называют бегущей (или эффективной) константой связи КЭД.
(k2) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|] (12)
Эта формула определяет поведение заряда КЭД с увеличением энергии по мере того, как зондирующий фотон проникает все ближе к затравочному заряду (r0). График поведения (k2) в зависимости от |k2/m2| изображен на Рис. 2.
Рис.2.
Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия, резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно произойти Великое объединение, составляют ~1014 -1015 ГэВ, а объединение всех четырех взаимодействий, с учетом гравитации, должно произойти при энергиях порядка массы Планка ~1019 ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД с ростом энергии, а пунктирной линией – константы связи КХД.
Пределы применимости КЭД, следующие из отсутствия полюса (сингулярности) Ландау в формуле для бегущей константы связи КЭД (k2). Оценка предельных допустимых импульсов kпред в КЭД и значение выражения (R/3)ln(L2/m2) при значении LMВселеннойm1080 (здесь m – масса электрона).
Бегущая константа связи КЭД медленно (логарифмически) растет с увеличением энергии. Поведение константы связи квантовой хромодинамики (КХД), теории, описывающей сильные взаимодействия, резко отличается от КЭД – она уменьшается с ростом энергии (такое поведение называется асимптотической свободой). Это позволяет надеяться на объединение сильного и электрослабого взаимодействий, так называемое Великое объединение. Масштабы энергий, на которых должно произойти Великое объединение, составляют ~1014 -1015 ГэВ, а объединение всех четырех взаимодействий, с учетом гравитации, должно произойти при энергиях порядка массы Планка ~1019 ГэВ. На Рис.2 сплошной линией обозначено поведение константы связи КЭД с ростом энергии, а пунктирной линией – константы связи КХД.
Из формулы для константы связи можно получить ограничения на пределы применимости КЭД. Заметим прежде всего, что знаменатель соотношения (k2) = R/[1 – (R/3)ln|-k2/m2|] (12) обращается в нуль, т. е. имеет полюс при (R/3)ln|-k2/m2| = 1.
Это так называемая сингулярность или полюс Ландау. Нет никаких физических причин, по которым (k2) должна обращаться в бесконечность при каком-либо k2, а, следовательно, полюс Ландау никогда не достигается. Из этого критерия следуют ограничения на предельные импульсы и параметры обрезания в КЭД.
(R/3)ln|k2max/m2| < 1 или
kmax ~ L mexp(3/2R) m10280.
Полученное число чрезвычайно велико. Если учесть, что по современным оценкам масса Вселенной составляет приблизительно Mвселенной m1080, то полученное значение на 200 порядков превышает массу Вселенной. Если в соотношение для перенормировки заряда поставить в качестве обрезающего параметра даже массу Вселенной, то величина (/3)ln(L2/m2) составит всего лишь величину, существенно меньшую единицы ~ 0,285.
Квантовые радиационные поправки приводят к зависимости зарядов, определяющих каждое из существующих взаимодействий, к их зависимости от энергии, но эта зависимость слабая – логарифмическая. Согласно современному сценарию на масштабах порядка массы Планка
MP = GN-1 1019 ГэВ
(GN – константа гравитационного взаимодействия Ньютона), на которых становятся существенными квантовые гравитационные эффекты, имеется колоссальное многообразие частиц и взаимодействий между ними.
До энергий E << MP доживают лишь самые легкие из частиц и лишь перенормируемые взаимодействия. На доступных пока для нас энергиях мы видим сложившийся, привычный мир, состоящий из лептонов и кварков с присущими им электрослабыми и сильными взаимодействиями, и находимся на пути осмысления квантовой гравитации.