Экспериментальная интеграционная механика

При растяжении (m = 0, 21, m — относительное растяжение пружины, при отрицательном знаке — относительное сжатие пружины, m = λ/H0, λ — ход пружины) основная частота поперечных колебаний по [91] — w = = 70, 1 Гц, экспериментальное значение этой частоты — 70 . . . 71 Гц. Расчёт выполненный по программе [54] — две основные частоты поперечных колебаний — 70,2 Гц и 68,9 Гц.

При нулевом поджатии m = 0 [91] — w = 73, 1 Гц экспериментальное значение этой частоты — 73,5 Гц, резонанс поддерживается в диапазоне 74 > w 6 71, 7Гц. Расчёт по программе авторов [54] — 72,5 Гц и 74,4 Гц.

При сжатии m = −0, 28 расчёт по [91] — 76,3Гц, экспериментальный диапазон резонанса 74, 8 > w 6 76, 6 Гц. Расчёт по программе авторов [54] — 76,5 Гц и 72 Гц. Вывод по эксперименту с пружиной №1: достаточно достоверный эксперимент, что подтверждает близость с независимым расчётом основных частот поперечных колебаний по программе авторов книги.

Пружина №2 (с. 115, т. 3.12 [91]). Данные пружины : d = 1, 8 мм,

D = 25, 7 мм H0 = 86 мм, c = 14, 3, HD0 = 3, 34, i = 10, 5, α = 6010′ . Расчёты и эксперименты (все приводятся в Гц) даны в виде графика

(рис. 3.09 [91]), поэтому они переведены в следующий вид:

•поджатие m = 0; расчёт — 83,8; эксперимент — 80,5; расчет по [54] — 78,6; 78,0;

по [54] — 82,3; 82,3;

Данный эксперимент лежит в области близости основной частоты продольных колебаний и основной частоты поперечных колебаний, поэтому различие теории и эксперимента имеет место. Расчет по программам [54] находится вблизи экспериментальных значений.

При растяжении аналогичные данные для пружины №2 для основных частот поперечных колебаний:

•поджатие m = 0; расчёт — 83,6; эксперимент — 80,8; расчет по [54] — 78,6; 78,0;

•поджатие m = 0, 5; расчёт — 84,0; эксперимент — 81,0; расчет по [54] — 78,9; 78,1;

•поджатие m = 0, 6; расчёт — 84,5; эксперимент — 81,5; расчет по [54] — 79,0; 78,4;

• поджатие m = 0, 72; расчёт — 86,0; эксперимент — 82,0; расчет по [54] — 79,1; 78,7.

Сопоставление расчётов и экспериментов удовлетворительное.

Пружина №3 (с. 115, т. 3.12 [91]). Данные пружины: d = 1, 5 мм, D = 54 мм, H0 = 52 мм, c = 36, HD0 = 2, i = 7, 8, α = 4040′ . Экспериментальные и расчётные данные приведены на рис. 3.11. [91].

•поджатие m = 0; расчёт — 33,5; эксперимент — 32,8; расчет по [54] — 27,0; 27,6;

•поджатие m = 0, 2; расчёт — 33; эксперимент — 32; расчет по [54] — 26,1; 26,9;

•поджатие m = 0, 4; расчёт — 32,5; эксперимент — 31,7; расчет по [54] — 25,4; 26,5;

•поджатие m = 0, 6; расчёт — 32,0; эксперимент — 31,0; расчет по [54] — 24,8; 26,2;

•поджатие m = 0, 8; расчёт — 31,5; эксперимент — 30,5; расчет по [54] — 24,3; 26,1;

•поджатие m = 1, 0; расчёт — 30,9; эксперимент — 30,0; расчет по [54] — 23,9; 26,0;

Сопоставление расчётов и экспериментов ставит под сомнение, какая частота записана экспериментально. Различие между расчётом по модели эквивалентного бруса существенное. Эту идею просмотрим на следующей экспериментальной пружине.

Пружина №4 (с. 115, т. 3.12 [91]). Данные пружины: d = 1, 5 мм,

D = 52 мм H0 = 52 мм, c = 34, 7, HD0 = 1, i = 8, 6, α = 4010′ . Экспериментальные и расчётные данные приведены на рис. 3. 12. [91].

•поджатие m = 0; расчёт — 28,0; эксперимент — 28,2; расчет по [54] — 27,1; 27,9;

•поджатие m = 0, 1; расчёт — 27,8; эксперимент — 27,6; расчет по [54] — 26,7; 27,6;

•поджатие m = 0, 2; расчёт — 27,5; эксперимент — 27,4; расчет по [54] — 26,3; 27,2;

•поджатие m = 0, 3; расчёт — 27,1; эксперимент — 27,0; расчет по [54] — 25,9; 27,0;

•поджатие m = 0, 4; расчёт — 26,8; эксперимент — 26,5; расчет по [54] — 25,5; 25,5; 26,8;

•поджатие m = 0, 5; расчёт — 26,6; эксперимент — 26,4; расчет по [54] — 25,2; 25,4; 26,7

•поджатие m = 0, 6; расчёт — 26,4; эксперимент — 26,0; расчет по [54] — 24,9; 25,1; 26,6

•поджатие m = 1, 0; расчёт — 25,8; эксперимент — 25,3; расчет по [54] — 24,0; 24,3; 26,4.

Эксперимент с пружиной №4 показал, что авторы [91] вместо основной частоты поперечных колебаний фиксировали основную частоту крутильных колебаний (расчет отмечен подчеркиванием). Это естественно, так существование концевого эффекта [91]авторам было неизвестно.

Пружина №5 (с. 115, т. 3.12 [91]). Данные пружины: d = 1, 8 мм,

D = 25, 7 мм H0 = 111 мм, c = 14, 3, HD0 = 4, 35, i = 13, α = 6010′ . Экспериментальные и расчётные данные приведены для сжатия на рис. 3.13. [91],

растяжение — рис. 3.14.

•поджатие m = 0; расчёт — 59,0; эксперимент — 57,5; расчет по [54] — 54,7; 54,7;

•поджатие m = −0, 08; расчёт — 58; эксперимент — 57,0; расчет по [54] — 53,5; 53,5;

•поджатие m = −0, 16; расчёт — 56,5; эксперимент — 56,0; расчет по [54] —52,8; 52,4;

•поджатие m = −0, 21; расчёт — 56,0; эксперимент — 55,4; расчет по [54] —52,0; 52,0;

•поджатие m = −0, 25; расчёт — 55,4; эксперимент — 55,5; расчет по [54] — 51,7; 51,3;

•поджатие m = −0, 3; расчёт — 54,8; эксперимент — 55,0; расчет по [54] — 50,9; 50,9;

•поджатие m = −0, 35; расчёт — 54,2; эксперимент — 54,6; расчет по [54] — 50,6; 50,2;

•поджатие m = −0, 4; расчёт — 53,7; эксперимент — 54,1; расчет по [54] — 49,8; 49,8;

•поджатие m = 0; расчёт — 59,0; эксперимент — 57,5; расчет по [54] — 54,7; 54,7;

•поджатие m = 0, 07; расчёт — 60,2; эксперимент — 58,1; расчет по [54] — 55,3; 55,3;

•поджатие m = 0, 11; расчёт — 60,8; эксперимент — 59,0; расчет по [54] — 55,9; 55,8;

•поджатие m = 0, 16; расчёт — 61,4; эксперимент — 59,0; расчет по [54] — 56,1; 56,1;

•поджатие m = 0, 21; расчёт — 62,3; эксперимент — 60,0; расчет по [54] — 56,9; 56,9;

•поджатие m = 0, 26; расчёт — 62,8; эксперимент — 60,0; расчет по [54] — 57,3; 57,3;

•поджатие m = 0, 30; расчёт — 63,5; эксперимент — 60,7; расчет по [] — 57,6; 57,6;

Пружина №5 (с. 115, т. 3.12 [91]). Данные пружины: d = 1, 5 мм,

D = 70, 5 мм H0 = 132 мм, c = 47, HD0 = 1, i = 7, 1, α = 2030′ . Экспериментальные и расчётные данные приведены при поджатии m = 0: основной

резонанс поперечных колебаний — расчет 18,6 Гц, эксперимент — 16 Гц; вторая гармоника поперечных колебаний — расчёт — 54 Гц, эксперимент — 56 Гц.

При поджатии (растяжение) m = 0, 42: основной резонанс поперечных колебаний — расчет 20,3 Гц, эксперимент — 19 Гц; вторая гармоника поперечных колебаний — расчёт — 52,8 Гц, эксперимент — 54 Гц.

Для первого поджатия расчет основных частот поперечных колебаний по [54] — 21,7; 21,6. Основная частота крутильных колебаний — 17 Гц., имеется особенность для данной пружины близость особых частот — 21,2; 21,1. Из плотного частотного спектра ближе всех ко второй гармонике поперечных колебаний подходит частота 53,9 Гц.

Для второго поджатия расчет основных частот поперечных колебаний по [54] −20, 9; 20,8. При наличии малого угла подъема винтовой линии теоретически [48, 54] существуют несколько форм основной и первой гармоник, для данного примера имеем по расчёту первые гармоники поперечных колебаний — 31,6; 31,5; 44,8; 45,4; 54.

На основании проведенного эксперимента авторы [91] сделали «важный» вывод о нецелесообразности уточнять модель анализа колебаний цилиндрических пружин.

36 ГЛАВА 2

Исследования продольных колебаний с позиции модели эквивалентого бруса проведены грузинской школой (Хвингия М.В. [89, 91]).

Пружина №1 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d = 2 мм,

D = 31 мм H0 = 69 мм, c = 15, 5, HD0 = 2, 3, i = 11, 5, α = 3030′ , m = = −0, 38. По модели эквивалентного бруса основная частота продольных

колебаний — w = 64 Гц.

По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 63, 8 Гц. По [89, 91] — w = 65 Гц, экспериментальное значение — w = 63 Гц.

Проверка экспериментальных результатов [89, 91] имеет не только целью анализа результатов, но и проверки программного комплекса [54], поэтому все проверочные расчёты выполняются по модели винтового тонкого бруса.

Пружина №2 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d=2 мм,

D = 31 мм H0 = 51 мм, c = 15, 5, HD0 = 1, 4, i = 5, 5, α = 5030′ , m = − 0, 20. Основная частота продольных колебаний — w = 132 Гц. Основная

частота крутильных колебаний — w = 147, 5 Гц. Основные частоты поперечных колебаний — w = 173, 2; 176, 3 Гц. По [89, 91] основная частота продольных колебаний — w = 136 Гц, экспериментальное значение —w = = 147 Гц. В эксперименте очевидная путаница, когда вместо продольной частоты записана основная частота крутильных колебаний.

Пружина №3 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d = 2 мм,

D= 31 мм H0 = 103 мм, c = 15, 5, HD0 = 3, 32, i = 11, α = 5030′ , m = −0, 49. Основная частота продольных колебаний — w = 68, 3 Гц. Основные

частоты поперечных колебаний — w = 63; 63 Гц. Первая гармоника продольных колебаний — w = 128, 9 Гц. Первая гармоника продольных колебаний с существенной поперечной составляющей — w = 135 Гц. Основная гармоника поперечных колебаний с существенной поперечной составляющей — w = 131 Гц. В модели винтового тонкого бруса несколько основных частот поперечных колебаний [75]. Расчёт и эксперимент по [89,91]: основная частота продольных колебаний — w = 68 Гц, эксперимент — w = 67 Гц; первая гармоника продольных колебаний — w = 136 Гц, эксперимент w = = 134 Гц. Снова наблюдается путаница, так как истинная первая гармоника продольных колебаний —w = 128, 9‘Гц., авторы зафиксировали принципиально новое экспериментальное явление — своеобразную первую гармонику продольных колебаний с существенной поперечной составляющей.

Необходима историческая справка. Эксперимент Хвингия М. В. и Мгалоблишвили Д. Б. опубликован в 1966 г. Явление модулирования первой гармоники продольных колебаний поперечной гармоникой было дано Полищуком А. Д. в 1999 г.

Пружина №4 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d = 2 мм,

D = 31 мм H0 = 58 мм, c = 15, 5, HD0 = 1, 81, i = 9, α = 5030′ , m = − 0, 26. По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колеба-

ний по программе [54] — w = 81, 7 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 79, 5 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота продольных колебаний — w = 83 Гц, эксперимент — w = 83 Гц.

Пружина №5 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d =1, 8 мм,

D =25, 7 мм H0 =86 мм, c =14, 3, HD0 =3, 34, i =10, 5, α =6010′ , m= − 0, 44. По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колеба-

ний по программе [54] — w = 91, 7 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 90, 8 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота продольных колебаний — w = 92, 5 Гц, эксперимент — w = 94 Гц.

Пружина №6 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d =1, 8 мм,

D =25, 7 мм H0 =111 мм, c =14, 3, HD0 =4, 35, i =13, α =6010′ , m = − 0, 39. По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колеба-

ний по программе [54] — w = 74, 1 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 73, 7 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота продольных колебаний — w = 77, 5 Гц, эксперимент — w = 76 Гц.

Пружина №7 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d = 1, 8 мм,

D = 25, 7 мм H0 = 91 мм, c = 14, 3, HD0 = 3, 56, i = 17, α = 40, m = − 0, 31. По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колеба-

ний по программе [54] — w = 56, 7 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 56, 9, Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота продольных колебаний — w = 57 Гц, эксперимент — w = 56, 7 Гц.

Первая гармоника продольных колебаний по [89, 91] — w = 114 Гц. Экспериментальное значение первой гармоники продольных колебаний по [89, 91] — w = 112 Гц.

38 ГЛАВА 2

Первая гармоника продольных колебаний по модели винтового тонкого бруса — w = 113, 5 Гц. Вторая гармоника продольных колебаний по [89, 91] — w = 171 Гц. Вторая гармоника продольных колебаний по модели винтового тонкого бруса — w = 167, 2 Гц.

Пружина №8 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d =4 мм, D =38 мм H0 =114 мм, c =9, 5, HD0 =3, i =11, 5, α =50. Для данной пру-

жины проведены эксперименты как для продольных колебаний, так и для поперечных.

При поджатии m = 0 По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колебаний по программе [54] — w = 85, 1 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 84, 6 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]:основная частота продольных колебаний — w = 86, 5 Гц, эксперимент — w = 86, 5 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]:основная частота поперечных колебаний — w = 83, 7 Гц,(таблица 23,с. 106 [89]); эксперимент — w = 82 Гц.

Основные частоты поперечных колебаний по модели винтового тонкого бруса — 79, 4; 78, 4 Гц.

При поджатии m = − 0, 09 По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колебаний по программе [54] — w = 85, 1 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 85 Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота поперечных колебаний — w = 84, 6 Гц, (таблица 23, с. 106 [89]); эксперимент — w = 83 Гц.

Основные частоты поперечных колебаний по модели винтового тонкого бруса — 79, 4; 79, 4 Гц.

При поджатии m = − 0, 184 Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота поперечных колебаний — w = 86 Гц, (таблица 23, с. 106 [89]); эксперимент — w = 84 Гц.

Основные частоты поперечных колебаний по модели винтового тонкого бруса — 80, 7; 80, 7 Гц.

Пружина №9 (с. 102, таблица 22, [89]). Данные пружины: d = 1.5 мм,

D = 22 мм H0 = 91 мм, c = 14, 7, HD0 = 4, 1, i = 25, α = 30,m = − 0, 32.

По модели эквивалентного бруса основная частота продольных колебаний по программе [54] — w = 43, 8 Гц. По модели винтового тонкого бруса основная частота продольных колебаний — w = 43, 8, Гц. Расчёт и эксперимент по [89, 91]: основная частота продольных колебаний — w = 44, 5 Гц, эксперимент — w = 43, 5 Гц.

о эйлеровской потере устойчивости, которая продолжается около ста лет. Коротко она формулируется так — теряют пружины устойчивость при любом поджатии или при определённых параметрах этой потери устойчивости не происходит. Пановко Я. Г. и И. И. Губанова в [42] после анализа широко известной ошибки Эйлера, исправленную им самим, решили «поучить» пружинщиков и показали наличие «парадокса» в эйлеровской теории устойчивости. По мнению авторов [42], уравнение продольной потери устойчивости является кубическим, поэтому пружины всегда должны терять устойчивость. В третьем издании этой книги [43] авторы публично признали свою ошибку, при этом отметили, что «Вопросы, которых мы коснулись в настоящем параграфе, с большой отчётливостью освещены в книге Н. А. Алфутова [1]». Получился двойной парадокс, так как Н. А. Алфутов

вэтом парадоксе не разобрался и включил в учебную литературу для студентов [1] эффект обязательной потери устойчивости в цилиндрических пружинах. После личной беседы Полищука Д. Ф. с Пановко Я. Г. и Алфутовым Н. А. эта ошибка была убрана из второго издания книги Алфутовым Н. А. [2]. Но ошибка попала в учебную литературу по проектированию двигателей внутреннего сгорания [16], а также эта ошибка пошла «гулять»

вработах ижевской школы механиков. Кубическое уравнение для относи-

тельного поджатия получено аналогично [42] в работе Коновалова А. А. и Голева Р. В. [24], но при этом вместо трёх положительных корней, как в работе [42], получилось два положительных и один отрицательный. Сразу важный и принципиальный вывод: «Наличие отрицательного корня . . . даёт право предположить, что возможен единый аналитический подход к вопросу определения устойчивости пружин сжатия и растяжения» [7]. Выдвинута гипотеза непрерывности относительной деформации статического нагружения винтовой пружины сжатия — растяжения [8]. Для экспериментального доказательства используется уже второй корень уравнения устойчивости (положительный), соответствующий верхней ветви уравнения устойчивости по Чернышеву Н. А [9]. Гипотеза непрерывности деформации для цилиндрических пружин [9] предполагает и влияние краевых условий на вид потери устойчивости пружин растяжения с предварительным межвитковым давлением. На рис. 2.1 дан эксперимент Голева Р. В. (Рис. 1 [9]), где

450 . . . 500 % для α0 = 160.