Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

Пусть имеются два стационарных случайных процесса, которые не являются совместно стационарными. В таком случае взаимная корреляционная функция будет зависеть как от начала отсчета вре- мени t1, так и от временнóго интервала τ.

Временные взаимные корреляционные функции для пары реализа-

ций х(t) и у(t) случайных процессов X(t) и Y(t) могут быть определе- ны так же, как и выше, а именно:

Если случайные процессы являются совместно эргодическими, то вы- ражения (3.11) и (3.12) дают одинаковые значения для каждой пары реа- лизаций. Таким образом, для эргодических процессов можно записать:

Rxy (τ) = RXY (τ);

Ryx (τ) = RYX (τ).

Вообще же, взаимные корреляционные функции представляют собой такую же физическую реальность, как и автокорреляционные функции, и являются мерой зависимости друг от друга двух случай- ных процессов. Тем не менее взаимная корреляционная функция, связывающая сигналы на входе и выходе системы, имеет вполне конкретный и важный физический смысл.

Свойства взаимных корреляционных функций. Основные свойства всех взаимных корреляционных функций весьма сущест- венно отличаются от свойств автокорреляционных функций. Их можно обобщить следующим образом.

1.Значения RXY(0) и RYX(0) не имеют никакого реального физическо- го смысла и не соответствуют средним квадратам случайных величин X = X(t) и Y = Y(t), однако равенство RXY(0) = RYX(0) справедливо.

2.В общем случае взаимные корреляционные функции не явля- ются четными относительно τ; однако существует вид симметрии, описываемый соотношением

31

RYX(τ) = RXY(τ).

Этот результат следует из того факта, что сдвиг Y(t) во времени в определенном направлении эквивалентен сдвигу X(t) в противопо- ложном направлении.

3. Взаимная корреляционная функция необязательно должна иметь максимум при τ = 0. Тем не менее можно показать, что

причем аналогичное соотношение справедливо и для RYX(τ). Макси- мум взаимной корреляционной функции может существовать при каком угодно значении τ, но не может превысить значения, опреде- ляемого соотношением (3.13). Более того, он может не достигаться ни при каких значениях τ.

4. Если два случайных процесса статистически независимы, то справедливо выражение

RXY (τ) = M[X1Y2 ] = M[X1]M[Y2 ] = X Y = RXY (τ).

Если математическое ожидание либо одного, либо обоих про- цессов равно нулю, взаимная корреляционная функция равна нулю при любых τ. Обратное утверждение необязательно должно быть справедливым. Из того факта, что взаимная корреляционная функ- ция равна нулю и математическое ожидание одного из процессов равно нулю, статистическая независимость процессов не следует. Исключением являются совместные гауссовские случайные про- цессы.

Если стационарный случайный процесс и его произ

5. X(t) – X (t) – -

водная по времени, их взаимная корреляционная функция имеет вид

где в правой части стоит производная автокорреляционной функции по τ. Это легко показать, используя основное определение производ- ной:

32

Отсюда

где правая часть есть вторая производная по τ основной автокорре- ляционной функции.

Стоит отметить, что требования к существованию взаимной кор- реляционной функции менее строги, чем к существованию автокор- реляционных функций. Обычно взаимные корреляционные функ- ции – это нечетные функции от τ, их Фурье-преобразования не обя- зательно должны быть положительными для всех значений ω, и даже не обязательно, чтобы Фурье-преобразования были вещественными.

Взаимные корреляционные функции сигналов. Взаимная корреля-

ционная функция (ВКФ) различных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по коор- динате (независимой переменной). Обобщая формулу (3.3) автокор- реляционной функции для двух различных сигналов x(t) и y(t), полу- чаем следующее скалярное произведение сигналов:

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых дан- ными сигналами, и может служить мерой «устойчивости» данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных уст- ройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом

33

|Rxy(τ)| ≤ ||x(t)|| ||y(t)||,

что следует из неравенства Коши – Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t – τ в формуле (3.14) получим

Отсюда следует, что для взаимной корреляционной функции не вы- полняется условие четности: Rxy(τ) ≠ Rxy(–τ), и ее значения не имеют максимум при τ = 0. Одни и те же значения взаимной корреляционной функции, вычисленные по формулам (3.14) и (3.14*), наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал τ сигнала y(t) относительно x(t) вправо по оси ординат и сигнала x(t) от-

носительно сигнала y(t) влево, т.е. Rxy(τ) = Ryx(–τ).

Сигналы x(t) и y(t) одинаковы по временнóму расположению, и площадь «перекрытия» сигналов максимальна при τ = 0, что и фиксируется функцией Rxy. Вместе с тем функция Rxy резко асим- метрична, так как при асимметричной форме сигнала y(t) для сим- метричной формы x(t) (относительно центра сигналов) площадь «перекрытия» сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака τ при увеличения значения τ от нуля). При смещении исходного положения сигнала y(t) влево по оси ор- динат (на опережение «сигнал x(t) – сигнал u(t)») форма взаимной корреляционной функции остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция Rxu. Если поменять местами выражения функций в (3.14), то новая функция Rux будет представлять собой зеркально повернутую относительно

τ = 0 функцию Rxu.

Количественный показатель степени сходства сигналов x(t) и y(t) – функция взаимных корреляционных коэффициентов. Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной кова- риации достаточно центрировать только одну из функций) и нормиру- ется на произведение значений стандартов функций x(t) и y(t):

ρ (τ) = Kxy .

xy σxσ y

34

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах τ может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство, или стопроцентная корреляция). При сдвигах τ, на которых наблюдаются нулевые значения ρsu(τ), сигналы незави- симы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигнала- ми вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

Примеры и приложения корреляционных функций. Одно из приложений взаимных корреляционных функций связано с система- ми, на входы которых подаются два или более случайных процесса. Предположим, что случайный процесс Z(t) представляет собой адди- тивную смесь Z(t) = X(t) ± Y(t), где X(t) и Y(t) – стационарные случай- ные процессы. Теперь, определяя случайные величины как

Z1 = X1 ± Y1 = X(t1) ± Y(t1), Z2 = X2 ± Y2 = X(t1 + τ) ± Y(t1 + τ),

можно получить автокорреляционную функцию процесса Z(t) в виде

RZ = M[Z1Z2] = M[(X1 ± Y1)(X2 ± Y2)] =

= M[X1X2 + Y1Y2 ± X1Y2 ± Y1X2] = RX(τ) +RY(τ) ± RXY(τ) ± RYX(τ). (3.15)

Этот результат легко распространяется на сумму любого числа случайных процессов. В общем случае автокорреляционная функция такой суммы равна сумме всех автокорреляционных функций плюс- минус сумма всех взаимных корреляционных функций.

Если два рассматриваемых случайных процесса статистически не- зависимы и математическое ожидание одного из них равно нулю, то обе взаимные корреляционные функции RXY(τ) и RYX(τ) в выражении (3.15) обращаются в нуль и автокорреляционная функция суммы ока- зывается равной сумме автокорреляционных функций. Пусть X(t) – случайный исследуемый сигнал (процесс), имеющий вид

X (t) = Acos(ωt + θ),

где θ – случайный параметр.

Автокорреляционная функция такого процесса определяется вы- ражением

RX (τ) = A2 cosωt. 2

35

Пусть Y(t) – случайный шум с нулевым математическим ожидани- ем, статистически независимый от сигнала, а его автокорреляцион- ная функция представлена в виде

RY (τ) = B2e−α |τ|.

Наблюдаемый процесс Z(t), согласно (3.15), имеет автокорреляци- онную функцию

RZ (τ) = RX (τ) + RY (τ) = A2 cosωτ + B2e−α |τ|. 2

приведен на рис. 3.5.

RZ(τ)

½A2 + B2

Рис. 3.5. Автокорреляционная функция аддитивной смеси гармонического сигнала и шума

Из этого графика ясно, что для больших значений τ автокорреля- ционная функция зависит в основном от величины сигнала, посколь- ку автокорреляционная функция шума стремится к нулю при τ, стре- мящемся к бесконечности. Таким образом, если использовать подхо- дящий метод измерения автокорреляционной функции принимаемой смеси сигнала, отягощенного мощным шумом, возникает возмож- ность выделять эти слабые синусоидальные сигналы.

Еще одним примером выделения слабого, но известного сигнала из его смеси с шумом, служит радиолокационная система, передаю- щая сигнал X(t). Принимаемый отраженный от цели сигнал пред-

36

ставляет собой намного меньшую по мощности копию сигнала X(t) с задержкой, равной времени его распространения до цели и обратно. Поскольку на входе радиолокационного приемника всегда присутст- вует шум, результирующее принимаемое сообщение Y(t) может быть представлено следующим образом:

Y(t) = aX(t – τ1) + N(t),

где а – постоянная, а << 1; τ1 – суммарная задержка распространения сигнала в обе стороны; N(t) – шум приемника. Обычно средняя мощ- ность отраженного сигнала X(t – τ1) много меньше средней мощности шума N(t).

Взаимная корреляционная функция переданного сигнала и сигна- ла на входе приемника имеет следующий вид:

RXY(τ) = M[X(t)Y(t + τ)] = M[aX(t)X(t + τ – τ1) + X(t)N(t + τ)] =

Поскольку сигнал и шум статистически независимы и в данном случае имеют нулевые математические ожидания, взаимная корреля- ционная функция для X(t) и N(t) равна нулю при всех τ. Следователь- но, (3.15) можно преобразовать к виду

RXY(τ) = aRX(τ – τ1).

Поскольку максимум автокорреляционных функций приходится на начало отсчета времени, ясно, что при подстройке τ таким обра- зом, чтобы измеряемое значение RXY(τ) стало максимальным, можно

получить τ = τ1.

Часто при исследовании двух случайных процессов можно на- блюдать либо их сумму, либо разность, но не каждый процесс в от- дельности; при этом взаимная корреляционная функция для суммы и разности может представлять интерес как средство получения какой- либо информации об этих процессах. Предположим, например, что имеются два процесса, описываемые следующими соотношениями:

U(t) = X(t) + Y(t);

V(t) = X(t) – Y(t),

где случайные процессы X(t) и Y(t) не обязательно статистически не- зависимы или имеют нулевые математические ожидания.

37

Взаимная корреляционная функция для U(t) и V(t) имеет вид

RUV(τ) = M[U(t)V(t + τ)] = M{[X(t) + Y(t)][X(t + τ) + Y(t + τ)]} =

= M[X(t)X(t + τ) + Y(t)Y(t + τ) – X(t)Y(t + τ) – Y(t)Y(t + τ)]. (3.17)

Каждое математическое ожидание в (3.17) может интерпретиро- ваться как автокорреляционная или взаимная корреляционная функ- ции. Следовательно,

RUV(τ) = RX(τ) + RYX(τ) – RXY(τ) – RY(τ).

Вторая взаимная корреляционная функция определяется в соот- ветствии с равенством

RVU(τ) = RX(τ) – RYX(τ) + RXY(τ) – RY(τ).

Если X(t) и Y(t) – центрированные и статистически независимые процессы, то обе взаимные корреляционные функции совпадают:

RUV(τ) = RVU(τ) = RX(τ) – RY(τ).

На практике измерение взаимных корреляционных функций мо- жет проводиться по методике, во многом схожей с той, которая при- менялась при измерении автокорреляционных функций. Однако ко- личество выборок, необходимых для получения заданной дисперсии оценочного значения взаимной корреляционной функции, много больше числа выборок, требующегося для определения автокорреля- ционной функции.

3.4Корреляционные матрицы выборочных функций

До сих пор исследовалось поведение только двух случайных про- цессов и в этом случае корреляционные функции представлялись как функции одной переменной τ. Однако на практике нередко прихо- дится иметь дело с большим числом случайных величин, поэтому необходимо иметь удобный метод представления большого числа возникающих при этом автокорреляционных и взаимных корреляци- онных функций. Векторные обозначения обеспечивают удобный способ представления пространства случайных событий, а произве- дение векторов, требующихся для получения корреляционных отно- шений, представляется в виде матрицы. Таким образом, векторное представление случайных процессов является удобным, и необходи-

38

мо описать некоторые свойства корреляционных матриц. Например, векторное представление оказывается полезным при описании сиг- нала, при котором временнáя функция периодически дискретизиру- ется в некоторые моменты времени. Пусть необходимо принимать во внимание только конечное число, скажем, N таких выборок; тогда значение каждой выборки может стать компонентой (N × 1) вектора. Следовательно, если моменты времени, в которые происходит дис- кретизация, обозначить как t1, t2, …, tN, то вектор, описывающий слу- чайную временнýю функцию X(t), может быть представлен в сле- дующем виде:

Каждая компонента вектора X является случайной величиной. Теперь можно определить корреляционную матрицу размером

(N × N), которая описывает корреляцию между каждой парой слу-

где ХТ – транспонированная матрица X.

Если выполнить усреднение каждого случайного элемента этой матрицы, то получим значение RX(t1, t2) автокорреляционной функ- ции случайного процесса X(t), из которого была образована указан- ная выборка. Таким образом,

39

Когда случайный процесс X(t) является стационарным в широком смысле, все компоненты матрицы RX становятся функциями только временного интервала. Пусть промежуток времени t между момен- тами ti+1 и ti выборок X(ti+1) и X(ti) равен t = ti+1 – ti, при этом

………………

tN = t1 + (N – 1) t;

При построении этой матрицы было использовано свойство сим- метрии автокорреляционной функции: RX[i t] = RX[–i t]. Вследствие симметрии RX – симметричная матрица (даже если процесс неста- ционарный) и ее главная диагональ (и все ей параллельные) содержат идентичные элементы.

Хотя свойства матрицы RX логически вытекают из вышеприве- денных определений, такой путь построения корреляционной матри- цы случайного вектора, состоящего из выборок, не является обще- принятым. Более широко распространен метод получения ковариа- ционной матрицы, содержащей дисперсии и ковариации случайных величин. В общем случае ковариация между двумя случайными ве- личинами определяется как

40