Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

При этом соотношение между значениями среднего квадрата X 2 и интеграла I2 имеет вид

В результате можно сделать вывод о том, что значение среднего квадрата рассматриваемого случайного процесса зависит только от параметра α, характеризующего ширину его спектральной плотно- сти, и не зависит от центральной частоты ω0.

Рассмотрим еще один пример, поясняющий физический смысл спектральной плотности. Пусть задано выражение

Данное выражение устанавливает связь между значением полного среднего квадрата случайного процесса и общей площадью, ограни- ченной графиком его спектральной плотности.

Значение среднего квадрата для ограниченного диапазона частот Δω = ω2 – ω2 аналогично связано с площадью, ограниченной графи- ком спектральной плотности в пределах этого частотного диапазона. Это означает, что если выбрать две частоты ω1 и ω2, то в заключен-

ном между ними диапазоне значение среднего квадрата XΔω2 опреде- ляется так:

В качестве иллюстрации сказанного вернемся к рассмотрению спектральной плотности, определяемой выражением

где А – значение полного среднего квадрата случайного процесса.

Пусть требуется определить частоту, выше которой значение среднего квадрата (или средняя мощность) составляет половину его

91

суммарной величины. Это означает, что необходимо найти такое значение ω1 (при ω2 = ∞), для которого

Поскольку А в левой и правой частях можно сократить, получаем соотношение

Выполняя интегрирование, получаем выражение

откуда arctg ω1 = π и ω1 = β.

β 4

Таким образом, в этом примере средняя мощность случайного процесса поровну распределена в пределах участков спектра частот выше и ниже β. В данном частном случае целесообразно ввести час- тоту, на которой спектральная плотность равна половине ее макси- мального значения, соответствующего частоте ω = 0. Этот результат характерен именно для данной спектральной плотности и не является справедливым в общем случае. Например, для белого шума с огра- ниченным спектром значение S0 спектральной плотности сохраняет- ся неизменным в диапазоне частот до ω = 2πW, причем половина средней мощности приходится на частоты, превышающие ω = πW.

92

5. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

5.1. Преобразование случайных сигналов линейными системами

Характеристики выходного сигнала. Рассмотрим систему с входной величиной хп и выходной величиной х. Пусть движение сис- темы описывается линейным уравнением с постоянными коэффици- ентами. Допустим, что динамические характеристики системы зада- ны, например известна ее функция веса h(t) либо комплексный ко- эффициент передачи W(jω). Пусть на вход системы поступает ста- ционарный эргодический случайный процесс x0(t) с заданными ха- рактеристиками. На выходе системы имеется некоторый иной слу- чайный процесс x(t). Задача состоит в том, чтобы найти вероятност- ные характеристики случайного процесса x(t).

Пусть x0(t) – какой-либо экземпляр случайного процесса на входе системы, а x(t) – соответствующая реакция на выходе. Предположим также, что процесс x0(t) подается на вход системы начиная с беско- нечно удаленного в прошлое момента, т.е. t = – ∞. Тогда

Действительно, весь процесс x0(t) можно разбить на совокупность коротких импульсов длительности dτ и высоты x0(t – τ), подаваемых в моменты времени (t – τ), причем 0 ≤ τ < ∞. Реакция на выходе сис- темы на один такой импульс в момент времени t равна h(τ)x0(t – τ)dτ, а суммарная реакция x(t) на выходе системы в момент времени t вы- ражается интегралом (5.1).

Найдем, пользуясь формулой (5.1), математическое ожидание ве- личины x(t):

Последнее преобразование произведено на основании того, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожи- даний слагаемых. Это правило распространяется и на интеграл, яв- ляющийся пределом сумм.

93

Из формулы (5.2) видно, что линейные системы преобразуют ма- тематическое ожидание случайного сигнала (или, иначе говоря, среднее значение последнего) по тем же законам, что и любой регу- лярный сигнал.

Другими словами, подав на вход такой системы регулярный сиг- нал, равный M[x0(t)], на выходе получим сигнал M[x(t)].

Пусть входной процесс стационарный; тогда M[x0(t – τ)] = = const (x0)ср и не зависит от τ; при этом справедливо соотношение

Если интеграл в правой части (5.3) является конечной величиной, то и M[x(t)] представляет собой конечную постоянную величину. В большинстве случаев, но не всегда, это обстоятельство имеет место. Если, например, система является интегрирующим звеном, то h(τ) = = const и интеграл (5.3) расходится. Будем предполагать, что либо (x0)ср = 0, либо интеграл (5.3) конечен и, таким образом, математическое ожидание выходной величины х либо равно нулю, либо конечно.

Найдем теперь автокорреляционную функцию выходного сигнала x(t). Для одного экземпляра процесса значения x(t1) и x(t2) в моменты времени t1 и t2 выражаются, согласно (5.1), интегралами:

Здесь τ1 и τ2 – переменные, по которым производится интегрирова- ние в соотношениях (5.4). Произведение этих величин выражается так:

Здесь произведение двух интегралов заменено одним двойным интегралом по τ1 и τ2, что ничего, по существу, не меняет. Теперь находим математическое ожидание от обеих частей равенства (5.5).

94

Поскольку операции усреднения по множеству и интегрирования

перестановочны, можно записать следующее выражение:

∞ ∞

M[x(t1)x(t2 )] = ∫∫h(τ1)g(τ2 )M[x0 (t1 − τ1)x0 (t2 − τ2 )]dτ1 dτ2 . (5.6)

00

Влевой части этого равенства появилась автокорреляционная функция выходной величины Rx(t1, t2). В правой части под знаком интеграла появилось математическое ожидание произведения x0(t1 –

–τ1)x0(t2 – τ2). Если входной случайный процесс является стационар- ным, то это выражение представляет собой автокорреляционную функцию Rx для x0 от аргумента, равного разности

(t2 – τ2) – (t1 – τ1) = τ + (τ1 – τ2),

где τ = t2 – t1.

Иначе говоря, под знаком интеграла появляются не t1 и t2 по от- дельности, а лишь их разность τ. Поэтому и результат интегрирова- ния зависит лишь от τ, и если интеграл (5.6) сходится, то выходной процесс также является стационарным. Обозначим через Rx(τ) его

автокорреляционную функцию. Из формулы (5.6) следует:

∞ ∞

R0 (τ) = Rx (0) = ∫∫h(τ1)g(τ2 )R0[τ + (τ1 − τ2 )]dτ1 dτ2 .

0 0

Отсюда, в частности, можно найти мощность выходного сигнала:

Эта формула показывает, что для определения мощности выход- ного сигнала линейной системы недостаточно знать лишь мощность входного сигнала, т. е. величину R0(0). Нужно знать все параметры автокорреляционной функции входного сигнала.

Представляет интерес определение взаимной корреляционной функции M[x0(t1) x0(t2)] между выходом и входом системы. Умножая обе части (5.1) на x0(t1), получаем

∞

x0 (t1)x(t2 ) = ∫h(τ1)x0 (t1)x0 (t2 − τ1)dτ1.

0

Поэтому

95

Если процессы x0(t) и x(t) стационарны и стационарно связаны, то формулу (5.8) можно переписать следующим образом:

Эта формула имеет такой же вид, что и выражение (5.1), с заме- ной τ на τ1, t на τ, x0 на R0 и x на R0,τ(τ). Следовательно, функцию R0,τ(τ) можно рассматривать как «реакцию» на выходе линейной сис- темы с функцией веса h(τ) при подаче на ее вход «сигнала» R0(τ).

Связь между спектральными плотностями выходного и вход- ного сигналов линейной системы. Практическое значение понятия спектральной плотности состоит главным образом в том, что с его помощью можно сравнительно просто изучать прохождение сигна- лов через линейные системы. В частности, спектральная плотность сигнала на выходе системы чрезвычайно просто выражается через спектральную плотность входного сигнала.

Пусть S0(ω) – спектральная плотность входного, а Sx(ω) – спек- тральная плотность выходного сигналов линейной системы с ком- плексным коэффициентом передачи W(jω). Приведем, прежде всего, простые физические соображения, указывающие на связь между этими функциями.

Пусть A0sin(ωt + ϕ0) – какая-либо гармоническая составляющая входного сигнала (быть может, с бесконечно малой случайной ам- плитудой A0) частоты ω. Согласно формуле (5.6), спектральная плот- ность S0 пропорциональна математическому ожиданию квадрата ам- плитуды:

S0 (ω) = λM[A02 (ω)].

Синусоида A0sin(ωt + ϕ0), пройдя сквозь линейную систему, изме- няет амплитуду и фазу, но частота ее остается равной ω. Следова- тельно, соответствующее гармоническое колебание на выходе имеет вид Asin(ωt + ϕ), а спектральная плотность Sx(ω) пропорциональна математическому ожиданию квадрата амплитуды A:

Sx (ω) = λM[A2 (ω)].

Однако квадраты амплитуд A02 и A2 соответственно на входе и выходе линейной системы связаны равенством

96

Теперь можно записать:

Sx (ω) = λM[A02 | R( jω) |2 ] = | R( jω) |2| A02 | = | R( jω) |2 S0 (ω).

Итак, спектральная плотность выходного сигнала равна спек- тральной плотности входного сигнала, умноженной на квадрат моду- ля комплексного коэффициента передачи.

Эту же формулу можно получить и путем строгого вывода. Дей- ствительно, найдем Sx(ω) как Фурье-изображение функции Rx(τ),

описываемой выражением

∞

Sx (ω) = ∫ Rx (τ)e− jωτ dτ =

−∞

∞∞ ∞

= ∫ ∫ ∫ h(τ1)h(τ2 )R0[τ + (τ1 − τ2 )]e− jωτ dτ dτ1 dτ2.

τ=−∞ τ1 =0 τ2 =0

Умножив подынтегральное выражение на (e jωτ1 e− jωτ2 ) (e− jωτ1 e jωτ2 ) = = 1 можно привести это выражение к виду

Sx (ω) =

τ′ = τ + τ1 – τ2.

Если интегрирование по τ′ считать внутренним, то (τ1 – τ2) являет- ся параметром и dτ′ = dτ. Пределы интегрирования по τ′ остаются бесконечными; R(τ′) уже не зависит более от τ1 и τ2. Поэтому инте- грал (5.11) после такой замены сводится к произведению трех от- дельных интегралов:

Рассмотрим эти интегралы. Последний из них есть не что иное, как спектральная плотность входного сигнала:

97

∞

∫ R0 (τ′)e− jω τ′dτ′ = S0 (ω).

−∞

Второй интеграл представляет собой Фурье-изображение от w(τ),

являющееся комплексным коэффициентом передачи W(jω) системы:

∞ ∞

∫h(τ2 )e− jωτ2 dτ2 = ∫ h(τ2 )e− jωτ2 dτ2 = W ( jω).

0 −∞

Нижний предел интегрирования можно принять равным – ∞, так как g(τ) = 0 при τ < 0.

Наконец, первый интеграл представляет собой величину, сопряжен- ную второму, так как это бесконечная сумма слагаемых, сопряженных слагаемым, входящим в состав второго интеграла. Следовательно,

∞

∫h(τ1)e jωτ1 dτ1 = W * ( jω).

0

Теперь можно определить, что

Sx (ω) = W * ( jω)W ( jω)S0 (ω) = |W ( jω) |2 S0 (ω),

т.е. придти к формуле (5.10). Из этой формулы следует, что фазовая частотная характеристика системы, не входящая в выражение для Sx(ω), не оказывает влияния на спектральную плотность выходного сигнала.

Таким же образом Фурье-изображения спектральных плотностей сигнала и реакции связаны известной формулой:

S0,x(ω) = S0(ω)W(jω).

Зная спектральную плотность Sx(ω) выходного сигнала, можно найти его мощность:

Эта формула позволяет сравнительно просто определить мощ- ность выходного сигнала системы по спектральной плотности вход- ного сигнала и комплексному коэффициенту передачи системы. Формула (5.12) гораздо удобнее для практического применения, чем, например, выражение (5.7), для расчетов по которому требуется двойное интегрирование.

98

Таким образом, из приведенных выше формул следует, что ис- пользование спектральных плотностей позволяет существенно упро- стить расчеты.

Преобразование случайного сигнала идеальным полосовым

фильтром. Найдем мощность x2 (t) сигнала на выходе идеального

полосового фильтра, если S0(ω) – спектральная плотность входного сигнала. Воспользовавшись формулой (5.12), можем записать:

Рассмотрим важные для применения на практике частные случаи. а) Пусть на вход фильтра поступает белый шум, для которого спектральная плотность S0(ω) = S0 = const. Тогда из выражения (5.13)

получаем соотношение

где Δω = ω2 – ω1 – полоса частот, пропускаемых фильтром.

Среднеквадратичное значение шума является мерилом его интен- сивности:

Как видно из формулы (5.14), среднеквадратичное значение шума на выходе фильтра пропорционально квадратному корню из полосы частот Δω, и, следовательно, увеличивается при увеличении Δω. Та- ким образом, расширение полосы частот Δω означает, что перед шу- мом как бы «шире распахиваются двери».

б) Рассмотрим узкополосный фильтр, для которого полоса частот Δω настолько мала, что изменение S(ω) на интервале ω1 ≤ ω ≤ ω2 пренебре- жимо мало. Тогда из (5.13) получаем приближенное выражение

Если k0 = 1, то прохождение случайного сигнала через такой фильтр эквивалентно выделению из всего частотного спектра сигна-

99

Эта формула наглядно иллюстрирует физический смысл спек- тральной плотности. Мощность, соответствующая узкому участку частотного спектра сигнала шириной Δω, пропорциональна соответ- ствующей площади S0(ω0)Δω. Следовательно, S0(ω0) является мери- лом мощности шума, приходящейся на единицу полосы частот, в ок- рестности значения ω = ω0. Из формулы (5.16) можно определить размерность спектральной плотности. Поскольку

то, например, если x(t) выражается в микровольтах (мкВ), а Δω – в 1/с, размерность S0 будет [(мкВ)2 · с].

Так как функция S0(ω) – четная, то можно переписать (5.16) в виде

где коэффициент пропорциональности перед квадратной скобкой

Формула (5.17) имеет такой вид, как будто бы сигнал со спек- тральной плотностью S0(ω) проходит через фильтр, амплитудная частотная характеристика которого четная и который пропускает кроме положительных еще и отрицательные частоты в интервале

Формула (5.17) легко обобщается для любых систем. Действи- тельно, из выражений (5.15) и (5.12) следует:

100