Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

этих функций осуществляется в соответствии с вышеприведенной общей методикой, поэтому приведем только окончательные резуль- таты. В частности, для пары взаимных спектральных плотностей SXY(s) и SYX(s) применимы следующие соотношения:

Взаимные спектральные плотности находятся в таком же соот- ношении с взаимными корреляционными функциями входного и вы- ходного случайных процессов, как и обычные спектральные плот- ности и корреляционные функции, а именно:

∞

SXY (s) = ∫ RXY (τ)e− s τdτ;

−∞

∞

SYX (s) = ∫ RYX (τ)e− s τdτ.

−∞

Аналогично, обратное двустороннее преобразование Лапласа может быть использовано для вычисления взаимных корреляционных функций исходя из взаимных спектральных плотностей, однако соответствующие соотношения здесь приводить нецелесообразно. Вза- имные спектральные плотности не обязательно являются четными функциями ω, вещественными или положительно определенными.

Для пояснения вышеприведенных соотношений вновь рассмотрим систему, на вход которой воздействует белый шум с двусторонней спек- тральной плотностью S0. Согласно (5.47) и (5.48), обе взаимные спек- тральные плотности определяются так:

Если эти спектральные плотности путем замены s = jω представить как функции ω, то станет очевидным, что данные взаимные спектраль- ные плотности не являются вещественными, четными и положительны- ми функциями частоты ω. Ясно, что аналогичные результаты можно по- лучить и для любой другой спектральной плотности входного процесса.

121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для современных систем связи и управления характерны задачи, связанные с обнаружением сигнала на фоне помех, его распознаванием, классификацией, поэтому для получения характеристик сигналов и па- раметров систем широкое применение нашли вероятностные методы.

Впособии рассмотрены методы классификации случайных сигна- лов и выбора модели случайного процесса, использование которых необходимо при решении инженерных задач, в частности при проек- тировании информационно-измерительных систем и систем связи. Рассмотрены основные способы определения корреляционных и ко- вариационных функций случайных воздействий основных видов, действующих в системах автоматики; приведены примеры, пояс- няющие физический смысл и свойства функций.

Значительное внимание уделено частотному представлению слу- чайных процессов исходя из понятия спектральной плотности. При- ведены примеры, представляющие спектральную плотность случай- ного процесса как Фурье-преобразование корреляционной функции,

ипримеры, в которых используется фундаментальный подход, осно- ванный на использовании физического смысла понятия спектральной плотности.

Приведены алгоритмы для определения реакции линейных систем на случайные входные сигналы, основанные на использовании поня- тия корреляционных функций и спектральной плотности.

Впособии представлены подходы, широко используемые для оценки характеристик сигналов (корреляционная функция, спек- тральная плотность), алгоритмы определения реакции линейных сис- тем на случайные входные сигналы; приведены примеры, поясняю- щие физический смысл основных понятий и определений; рассмат- риваются методы частотного представления случайных процессов.

Однако предложенный в данном пособии материал следует рас- сматривать как необходимый, но далеко не достаточный для практи- ческого применения аппарата теории случайных процессов (и вооб- ще стохастических моделей) в конкретных приложениях.

122

Библиографический список

Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.:

МГУ, 2005.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженер- ные приложения. М.: Высш. шк., 2000.

Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы.

М.: МГТУ им. Баумана, 1999.

Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.

123

Учебное издание

ШАПКАРИНА Галина Григорьевна

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Преобразование случайных сигналов

Учебное пособие Часть 2

Редактор Т.А. Кравченко

Компьютерная верстка И.В. Воловик

Государственный технологический университет «Московский институт стали и сплавов» , 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 2

Тел.: 647-23-09, 954-19-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС, 117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9

Тел.: 954-73-94, 954-19-22

124