Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

В первом слагаемом в квадратной скобке следует полагать

|W(–jω)|2 = |W(jω)|2.

Если так определить эту величину для отрицательных частот, то результаты расчетов по формулам (5.18) и (5.12) совпадают. Поэтому можно, продолжая амплитудную частотную характеристику |W(jω)| системы в область отрицательных частот, проводить расчет выход- ного сигнала по формуле (5.18). Следует обратить внимание на то,

1

что перед квадратной скобкой в этой формуле стоит множитель 2π ,

1

а не π , как в формулах (5.12) или (5.17).

Определение реакции стационарной линейной системы на стационарное случайное воздействие в установившемся режиме.

Стационарная линейная система с одним входом и одним выходом описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравне- нием с постоянными коэффициентами:

Так как до подачи входного воздействия (при t < 0) система находит- ся в статическом состоянии, то для определения реакции, возникающей под влиянием входного воздействия при t ≥ 0, необходимо решить уравнение при нулевых начальных условиях. Если входное воздейст- вие – стационарная случайная функция, то Rx(t1, t2) = Rx(t1 – t2) = Rx(τ). Если рассматривается реакция системы в установившемся режиме (по- сле затухания переходного процесса), то нижние пределы интегрирова- ния можно положить равными – ∞. При этих условиях

101

t1 t2

Ry (t1 ,t2 ) = ∫ ∫ Rx (θ1, θ2 )h(t1 − θ1)h(t2 − θ2 )dθ1dθ2 .

0 0

Заменим переменные θ1, θ2 переменными τ1 = t1 – θ1, τ2 = t2 – θ2, причем dτ1 = dθ1, dτ2 = dθ2. Тогда

0 0

Ry (t1, t2 ) = ∫∫ Rx (t1 − τ1 − t2 + τ2 )h(τ1)h(τ2 )dτ1dτ2 =

∞ ∞

00

=∫∫ Rx (τ − τ1 + τ2 )h(τ1)h(τ2 )dτ1dτ2 ,

∞ ∞

где τ = t1 – t2. Так как при τ1 < 0, τ2 < 0 имеем h(τ1) = 0, h(τ2) = 0, то нижние пределы можно положить равными – ∞. Следовательно,

+∞ +∞

Ry (t1, t2 ) = ∫ ∫ Rx (τ − τ1 + τ2 )h(τ1)h(τ2 )dτ1dτ2 .

−∞ −∞

Полученной корреляционной функции соответствует спектраль- ная плотность

+∞ +∞ +∞

Sy (ω) = ∫ ∫ ∫ Rx (τ − τ1 + τ2 )h(τ1)h(τ2 )dτ1dτ2dτ3e− jωτ1 e jωτ1 e− jωτ2 e jωτ2 e− jωτ =

первый интеграл с учетом того, что h(τ1) = 0 при τ1 < 0 определяется как

или

+∞

∫ w(τ1)e− jωτ1 dτ1 = [W ( p)]p= jω = W ( jω),

−∞

102

а второй интеграл

+∞

∫ w(τ2 )e− jωτ2 dτ2 = W (− jω).

−∞

Подставив полученные выражения в (5.19), можно записать

Комплексная функция – частотная амплитудно-фазовая характе- ристика стационарной линейной системы. Ее можно представить в виде вектора с модулем A(ω), аргументом ψ(ω), составляющими P(ω), Q(ω). Функции A(ω), ψ(ω), P(ω), Q(ω) являются соответственно амплитудной, фазовой, вещественной и мнимой частотными харак- теристиками системы. При этом

W(jω) = P(ω) + jQ(ω);

P(ω) = A(ω)cos ψ(ω); Q(ω) = A(ω)sin ψ(ω),

а следовательно,

|W(jω)|2 = |A(ω)|2 = |P(ω)|2 + |Q(ω)|2.

Формула (5.20) позволяет весьма просто определить для устано- вившегося режима спектральную плотность реакции стационарной линейной системы по заданной плотности входного воздействия и передаточной функции системы.

5.2. Анализ линейных систем во временной области

С помощью интеграла свертки (5.1) можно определить реакцию линейной системы на воздействие самого общего вида. Для систем, у которых связь между выходной и входной функциями при заданной импульсной функции может быть получена с помощью соотноше-

рых выполняются условия физической реализуемости h(t) = 0, t < 0

∞

и устойчивости ∫ | h(t) | dt < ∞ выходные характеристики системы

−∞

определяются выражениями (5.4)–(5.11). Получение зависимости

103

временнóго сигнала на выходе системы относится к классу за- дач анализа во временнóй области.

Обратимся к примерам определения статистических характери- стик систем. Пусть импульсная характеристика линейной системы определяется так:

На вход этой линейной системы поступает случайный сигнал вида

X(t) = M + 4cos(2t + θ),

где М и θ взаимно независимые случайные величины, причем θ рав- номерно распределена на интервале [0, 2π]. Этот процесс стацио- нарен, но не обладает свойством эргодичности.

Для определения значения сигнала на выходе линейной системы в равной мере могут использоваться выражения (5.19) и (5.20). Сиг- нал на выходе системы определяется соотношением

t

Y (t) = ∫ [M + 4cos(2λ + θ)] 5e−3(t−λ )dλ

−∞

или, после интегрирования, выражением

Y (t) = 5 M + 20[3cos(2t + θ) + 2sin(2t + θ)] . 3 13

Отсюда следует, что сигнал на выходе рассматриваемой линейной системы также является случайным процессом и характеризуется теми же самыми случайными параметрами, что и процесс на входе. Более того, если определены плотности вероятностей этих случайных величин, то можно вычислить такие статистические характеристики выходного процесса, как его математическое ожидание и дисперсия.

В ряде практических задач необходимо определить математиче- ское ожидание и средний квадрат сигнала на выходе линейной сис- темы. Эти величины также могут быть получены с помощью инте- грала свертки. Наиболее удобная форма интеграла свертки, связы- вающего недетерминированный случайный процесс X(t) на входе линейной системы, имеющей импульсную характеристику h(t), с

процессом Y(t) на выходе, имеет вид

∞

Y (t) = ∫ X (t − λ)h(λ)dλ.

0

104

При такой форме записи выражение для вычисления математиче- ского ожидания случайного сигнала Y(t) на выходе системы имеет следующий вид:

Задача определения математического ожидания интеграла, по- дынтегральное выражение которого содержит случайную функцию, возникает достаточно часто, причем почти во всех этих случаях, представляющих практический интерес, существует возможность внесения операции усреднения под знак интеграла при выполне- нии некоторых условий, которые могут быть определены следую- щим образом.

Если Z(t) – некоторый случайный процесс (или какая-либо его функция), а f(t) – какая-либо неслучайная функция времени, то

при следующих условиях:

t2

1) ∫ M[Z (t)] f (t)dt < ∞;

t1

.2) процесс Z(t) ограничен на интервале [t1, t2], где t1 и t2 могут быть бесконечно большими (при этом не требуется, чтобы процесс Z(t) был стационарным).

При воздействии на линейную систему стационарных в широком смысле случайных процессов величина M[|Z(t)|] является постоян- ной, не зависящей от времени t. Следовательно, для выполнения условия 1 достаточно, чтобы было удовлетворено условие устойчи- вости. Для реальных сигналов функция Z(t) всегда ограниченна, за исключением ряда математических моделей, для которых соответ- ствующая функция времени может и не быть ограниченной.

Возвращаясь к задаче определения математического ожидания случайного процесса Y(t) на выходе линейной системы примени- тельно к случаю воздействия на нее стационарного в широком смысле случайного процесса X(t), можно записать:

105

Известно, что площадь, ограниченная импульсной характеристикой, равна коэффициенту усиления системы по постоянному току (т.е. харак- теризует степень усиления системой постоянной составляющей входного воздействия), или, что то же самое, значению амплитудно-частотной ха- рактеристики при ω = 0. Следовательно, выражение (5.22) устанавливает тот факт, что постоянная составляющая выходного сигнала равна посто- янной составляющей входного сигнала, умноженной на коэффициент усиления системы по постоянному току. Если математическое ожидание случайного процесса X(t), действующего на входе системы, равно нулю, то математическое ожидание выходного процесса Y(t) также будет равно нулю. Если система не пропускает постоянную составляющую тока, то соответствующий выходной процесс всегда будет иметь нулевое матема- тическое ожидание.

Для определения значения среднего квадрата выходного сигнала необходимо вычислить математическое ожидание произведения двух интегралов. Однако если ввести две переменные интегрирования, то это произведение можно всегда представить в виде двойного инте- грала вида

∞∞

Математическое ожидание выражения под знаком второго инте- грала представляет собой корреляционную функцию входного слу- чайного процесса:

M[X(t – λ1)X(t – λ2)] = RX(t – λ1 – t + λ2) – RX(λ2 – λ1).

Следовательно, выражение (5.23) приобретает вид

∞∞

Обычно вычисление величины Y 2 в соответствии с выражением (5.24) не вызывает значительных затруднений в случаях, когда RX(τ) и h(t) содержат только экспоненциальные функции. Тем не менее соответствующие процедуры часто оказываются очень гро-

106

моздкими. Это обусловлено тем, что в ряде случаев корреляционные функции имеют разрывы производных в нуле (в данном случае при λ1 = λ2), вследствие чего интегрирование должно выполняться в пре- делах нескольких областей. Часто в практических задачах возника- ет необходимость определения характеристик для случая, когда на вход линейной системы воздействует случайный процесс типа бело- го шума, для которого корреляционная функция имеет вид

RX(τ) = S0δ(τ),

где S0 – двусторонняя спектральная плотность белого шума.

В этом случае соотношение (5.10) можно переписать в следую- щем виде:

∞∞

Интегрируя по переменной λ2, можно записать:

∞

Y 2 = S0 ∫h2 (λ)dλ.

0

Следовательно, значение среднего квадрата Y 2 пропорциональ- но площади, ограниченной графиком квадрата импульсной характери- стики. В некоторых случаях (для некоторых функций) этот интеграл может оказаться расходящимся даже при выполнении условия (5.19). Это имеет место, например, когда h(t) содержит δ-функции. Примером соответствующей системы может являться звено системы управ- ления, с помощью которого реализуют фильтр высоких частот. В качестве иллюстрации применения рассмотренных соотношений при- ведем пример линейной системы в виде интегрирующей цепи, с ис- пользованием которой реализуют фильтр нижних частот. В соот- ветствии с (5.20) математическое ожидание выходного сигнала Y(t) определяется так:

Коэффициент усиления этой цепи по постоянной составляющей равен единице.

В соответствии с выражением (5.12) можно вычислить значение среднего квадрата случайного процесса Y(t) на выходе этой цепи при воздействии на ее вход белого шума:

107

В этом выражении параметр b является величиной, обратно про- порциональной постоянной времени рассматриваемой цепи

Таким образом, при подаче на вход цепи с передаточной характе- ристикой

выражение для выходного сигнала имеет вид

Y 2 = π BS0.

Итак, значение среднего квадрата случайного процесса на вы- ходе такой цепи возрастает по линейному закону с увеличением ее полосы пропускания. Этот результат является характерным для случаев, когда ширина спектра случайного процесса на входе линейной системы намного превышает полосу пропускания этой системы.

В случае когда входной случайный процесс X(t) не является белым шумом, вычисление двойного интеграла вида (5.23) пред- ставляет собой трудоемкую процедуру, являющуюся лишь част- ным вариантом более общей задачи определения корреляцион- ной функции случайного процесса Y(t) на выходе линейной сис- темы.

108

Корреляционная функция случайного процесса на выходе ли-

нейной системы. Определение корреляционной функции случайного процесса Y(t), действующего на выходе линейной системы, непосредст- венно связано с задачей вычисления его среднего квадрата. По опреде- лению эта корреляционная функция описывается выражением

RY(τ) = M[Y(t)Y(t + τ)].

Соотношение для корреляционной функции имеет вид

∞∞

Математическое ожидание в подынтегральном выражении опре- деляется так:

M[X(t – λ1)X(t + τ – λ2)] = RX(t – λ1 – t – τ – λ2) = RX(λ2 – λ1 – τ).

Тогда выражение для корреляционной функции выходного про- цесса Y(t) будет иметь вид

∞∞

где RX – корреляционная функция случайного процесса X(t) на входе линейной системы.

При τ = 0 эта формула и выражение для среднего квадрата (5.19) оказываются идентичными. В случае воздействия на линейную сис- тему белого шума выражение для корреляционной функции процесса на ее выходе существенно упрощается. Пусть, как и ранее, для RX(τ) справедливо соотношение RX(τ) = S0δ(τ), подставив которое в (5.28), можно получить выражение

∞∞

RY (τ) = ∫dλ1 ∫S0δ(λ2 − λ1 − τ)h(λ1)h(λ2 )dλ2 =

Таким образом, при воздействии белого шума на линейную сис- тему корреляционная функция выходного процесса пропорциональна корреляционной функции импульсной характеристики этой системы.

Этот вывод можно пояснить на примере воздействия белого шума на линейную цепь, обладающую рассмотренной ранее переда- точной функцией. При этом

109

Этот результат справедлив только для значений при τ ≥ 0. Так как импульсная характеристика при отрицательных значениях аргумен- та всегда равна нулю, то для значений τ < 0 должна быть выбрана другая область интегрирования; естественно, если один из этих сомножителей равен нулю, то подынтегральное выражение также оказывается равным нулю. При τ < 0 соотношение (5.29) приво- дится к виду

Выражение для корреляционной функции, справедливое как для положительных, так и для отрицательных τ, имеет следующий вид:

Так как корреляционная функция является четной функцией аргу- мента τ, то общее выражение для корреляционной функции можно непосредственно получить из (5.30) заменой τ на |τ|, т.е. расчеты для τ < 0 можно было и не производить.

В случае когда входной случайный процесс не является белым шумом, существенно усложняется операция интегрирования в (5.29), поэтому стараются использовать результаты аппроксимации реального случайного процесса белым шумом. С этой целью предпо- ложим, что случайный процесс, воздействующий на вход интегри- рующего устройства, имеет корреляционную функцию вида

плотность этого случайного процесса на частоте ω = 0 была равна S0. Таким образом, очень часто при практических расчетах полагают, что на низких частотах спектральная плотность данного случайного про-

110