Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

положительной и четной относительно ω. Кроме того, степень зна- менателя превышает степень числителя, так что спектральная плот- ность стремится к нулю при ω → ∞. Следовательно, случайный про- цесс, описываемый этой спектральной плотностью, будет иметь ко- нечное значение среднего квадрата случайного процесса. Подобная форма записи для спектральной плотности часто оказывается полез- ной при вычислении интеграла, необходимого для определения среднего квадрата случайного процесса.

Возможно также существование спектральных плотностей, не яв- ляющихся рациональными функциями. Типичный пример этого слу- чая – спектральная плотность вида

Это выражение определяет спектральную плотность случайного двоичного сигнала. В данном случае спектральная плотность будет бесконечна при нулевой частоте и конечна при любой другой, т.е. она будет содержать дельта-функцию при ω = 0.

Рассмотрим стационарный случайный процесс, описываемый вы- ражением

X (t) = A + B cos(ω1t + θ),

где А, В и ω1 – постоянные, а θ – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 2π], т.е.

Преобразование Фурье усеченной реализации ХТ(t) имеет вид

T

FX (ω) = ∫ [A + B cos(ω1t + θ)] e− jωt dt =

Подстановка пределов и упрощение приводят к выражению

61

Квадрат модуля FX(ω) содержит слагаемые, часть которых не за- висит от случайной величины, а остальные содержат либо множи- тель exp [± jθ], либо exp [± j2θ]. Ввиду того что результат усреднения всех членов, содержащих θ, окажется равным нулю, целесообразно представить квадрат модуля в символической форме:

Рассмотрим теперь математическое ожидание какого-либо сла-

Таким образом, последние четыре слагаемые в (4.20) оказываются равными нулю, а выражение для математического ожидания прини- мает вид

Спектральная плотность определяется выражением

SX (ω) =

Для вычисления предела рассмотрим предельное значение мно-

равен нулю для всех ненулевых значений ω, так как sin2ωТ не может

62

превышать единицу, а знаменатель возрастает по мере увеличения Т.

Интеграл в левой части является табулированным для всех значе- ний Т > 0. Следовательно, предельный переход становится очевид- ным, и из (4.22) получаем K = π.

Аналогичная процедура может быть использована для других сла- гаемых соотношения (4.21). Окончательно получаем

В соответствии с (4.8) имеем

Этот же самый результат может быть получен путем усреднения функции X2(t) по ансамблю реализаций.

Предположим, что имеется стационарный случайный процесс вида

X(t) = 5 + 10sin(6t + θ1) + 8cos(12t + θ2),

где θ1 и θ2 – независимые случайные величины, равномерно распре- деленные на интервале [0, 2π]. Так как фазы равномерно распределе- ны в пределах 2π радиан, то отсутствуют различия между синусной и косинусной составляющими, к которым применимы полученные

63

выше результаты. Можем сразу записать выражение для спектраль- ной плотности этого процесса:

π 82 δ(ω − 12) + π 82 δ(ω + 12) = π[50δ(ω) + 50δ(ω − 6) +

22

+50δ(ω + 6) + 32δ(ω − 12) + 32δ(ω + 12)].

Можно вычислить значение среднего квадрата данного случайно- го процесса:

Возможно также существование спектральных плотностей, содер- жащих как непрерывную, так и дискретную компоненты, например в системах связи или в системах дискретного (прерывистого) управления в случае, если реализация х(t) случайного сигнала представляет собой последовательность импульсов со случайными амплитудами. При этом предполагается, что все импульсы имеют одинаковую форму, а их ам- плитуды являются случайными величинами, статистически независи- мыми. Полагают, что эти случайные величины (амплитуды) имеют

одинаковые математические ожидания Y и равные дисперсии σY2 . Пе-

риод повторения импульсов неизменен и равен t1, а момент взятия от- счета t0 для какой-либо реализации является случайной величиной, рав- номерно распределенной на интервале длительностью t1.

Выражение для спектральной плотности этого процесса имеет вид

На основании выражения (4.23) можно сделать следующие выво- ды общего характера.

1. Как непрерывная составляющая спектра, так и его дискретные компоненты (их интенсивность определяется относительной высотой δ-функций) пропорциональны квадрату модуля преобразования Фу- рье огибающей элементарного импульса.

2. Если математическое ожидание амплитуд импульсов равно ну- лю, то даже при условии периодического характера их следования будет отсутствовать дискретная составляющая спектра.

64

3. Если дисперсия случайных амплитуд импульсов равна нулю, то будет отсутствовать непрерывная составляющая спектра.

Вышеприведенный результат можно проиллюстрировать на при- мере последовательности прямоугольных импульсов со случайными амплитудами. Пусть огибающая каждого элементарного (единично- го) импульса описывается функцией

и пусть период повторения импульсов составляет 0,1 с, а амплитуды этих импульсов являются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на интервале [0, 12]. Первый этап ре- шения этой задачи заключается в определении преобразования Фу- рье огибающей элементарного импульса:

Далее необходимо определить математическое ожидание и диспер- сию случайных амплитуд. Так как амплитуды распределены равномер- но, то эти статистические характеристики соответственно равны:

Теперь из (4.23) можно определить искомую спектральную плот- ность:

Отсюда видно, что спектральная плотность содержит как непре- рывную составляющую, так и бесконечное число дискретных час- тотных компонент.

Еще одно свойство спектральной плотности относится к диффе- ренцированию случайного процесса. Предположим, что

соответствии с выражением

65

Ограниченный во времени усеченный процесс будет

( ) XT (t)

иметь преобразование Фурье вида jωFX(ω) наряду с дополнительны- ми компонентами в виде двух постоянных, обусловленных наличием разрывов процесса при t = ± Т и стремящихся в пределе к нулю. Сле-

Таким образом, в результате дифференцирования формируется новый случайный процесс, спектральная плотность которого в ω2 раз отличается от спектральной плотности исходного процесса. В связи с этим следует

отметить, что если SX(ω) отлична от нуля при ω = 0, то SX (ω) = 0 при

стремится к постоянному значению, а средний квадрат производной слу- чайного процесса становится бесконечно большим. Этот случай соответ- ствует недифференцируемому случайному процессу.

В рассматриваемых примерах спектральная плотность выражается как функция вещественной угловой частоты ω. Однако в приложени- ях к анализу систем часто оказывается более удобным выражать ее через комплексную частоту s, так как именно такое представление передаточных функций линейных систем является наиболее рацио- нальным. Подобная замена может быть осуществлена простой под- становкой s вместо jω. Следовательно, вид спектральной плотности относительно оси jω плоскости комплексных частот сохраняется. Для частного случая рациональных спектральных плотностей, когда присутствуют только четные степени частоты ω, такая замена пере- менных эквивалентна подстановке –s2 вместо ω2. Например, рас- смотрим рациональную спектральную плотность

66

Если выразить эту функцию через аргумент s, то получим

Любая спектральная плотность (за исключением коэффициента пропорциональности) может быть представлена в виде сочетания нулей и полюсов в плоскости комплексных частот:

Если спектральная плотность не является рациональной, целесо- образно произвести ту же самую замену переменных. Например, спектральная плотность, описываемая выражением (4.23), может быть выражена в плоскости комплексных частот в виде

где F(s) – преобразование Лапласа огибающей элементарного им- пульса f(t).

Помимо того что использование комплексных частот облегчает анализ систем с помощью спектральных плотностей, упрощается вы- числение значений средних квадратов случайных процессов.

Средний квадрат случайного процесса в соответствии с (4.8) оп- ределяется как

∞

X 2 = 1 ∫ S (ω)dω,

2π −∞ X

т.е. средний квадрат пропорционален площади, ограниченной функ- цией спектральной плотности.

Вычисление интеграла вида (4.8) может быть сопряжено со значи- тельными трудностями, если спектральная плотность является слож- ным аналитическим выражением или содержит высокие степени ар- гумента ω. Классический подход к выполнению такого интегрирова- ния заключается в замене переменной интегрирования на комплекс- ную переменную (подстановкой s вместо jω) и использовании ряда теорем, касающихся правил интегрирования по замкнутому контуру

67

в комплексной плоскости. По-видимому, это наиболее простой и ре- зультативный способ вычисления среднего квадрата случайного процесса, требующий, однако, владения аппаратом теории функции комплексной переменной.

При вычислении подобных интегралов приходится использовать либо методы функции комплексного переменного, либо ряд табули- рованных функций для рациональных спектральных плотностей. Эти табулированные функции в общем виде представляют собой поли- номы разных степеней, а их использование заключается в простой подстановке соответствующих чисел. Существование таких функций обусловлено в первую очередь симметрией спектральной плотности. Вследствие этой симметрии всегда представляется возможным выра- зить рациональную спектральную плотность в виде сомножителей:

= c(s)c(−s)

SX (s) d(s)d(−s) ,

где с(s) содержит нули левой полуплоскости, с(–s) – нули правой полуплоскости, d(s) и d(–s) – соответственно полюсы левой и правой полуплоскостей.

Если в соотношении (4.8) при выполнении интегрирования вместо вещественной переменной использовать комплексную переменную s, то значение среднего квадрата можно выразить следующим образом:

В частном случае рациональных спектральных плотностей функ- ции с(s) и d(s) являются полиномами относительно s и могут быть записаны в виде

c(s) = cn−1sn−1 + cn−2sn−2 + ... + c0 ; d(s) = dn sn + dn−1sn−1 + ... + d0 .

Некоторые коэффициенты полинома с(s) могут равняться нулю; d(s) должен иметь степень более высокого порядка, чем c(s), и не должен иметь недостающих коэффициентов.

Интегралы этого вида табулированы для значений n вплоть до 10, хотя уже при n, превышающих 3 или 4, достоверность результатов вызывает сомнение. Соответствующие табулированные интегралы в сокращенном виде приведены в таблице интегралов:

68

c(s); во-вторых, корни c(s) и d(s) должны располагаться только в ле- вой полуплоскости; в-третьих, необходимо, чтобы корни d(s) не ле- жали на оси jω.

В рассмотренном примере спектральная плотность является ра- циональной и, следовательно, не содержит δ-функций. Таким обра- зом, случайный процесс, который описывает данная спектральная плотность, имеет нулевое математическое ожидание, а значит, зна- чение его среднего квадрата равно дисперсии. Тем не менее на прак- тике часто встречаются случаи, когда непрерывная составляющая спектральной плотности выражается рациональной дробью, но суще- ствуют и дискретные составляющие, наличие которых обусловлено компонентами с ненулевыми математическими ожиданиями или пе- риодическими составляющими. В таких случаях при определении среднего квадрата случайного процесса необходимо осуществлять раздельный анализ непрерывной и дискретной компонент спектраль- ной плотности. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть спектральная плотность описывается выражением

Составляющая среднего квадрата, обусловленная дискретными компонентами, равна

Значение этой величины включает в себя и математическое ожи- дание, равное ±2. Непрерывная составляющая спектральной плотно- сти может быть выражена как функция аргумента s в виде

или в форме произведения сомножителей

Следовательно,

c(s) = 5(s + 4) = 5(s + 4) = 5s + 20,

откуда с0 = 20, а c1 = 5;

70