Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

Переход к пределу T → ∞ возможен только после выполнения операции усреднения по множеству реализаций. Если X(t) – напря- жение, то S(ω) имеет размерность [В2/Гц], а интеграл от SX(ω) в соот- ветствии с (4.7) определяет средний квадрат этого напряжения, т.е.

Более наглядная физическая интерпретация спектральной плотно- сти может быть дана путем анализа средней мощности случайного сигнала. Если X(t) – флуктуационное напряжение или ток, проте-

кающий через резистор сопротивлением 1 Ом, то X 2 есть средняя мощность, рассеиваемая этим резистором. Спектральную плотность можно интерпретировать как среднюю мощность, сосредоточенную в пределах полосы частот шириной 1 Гц при центральной частоте

ω

спектра, равной 2π Гц. (Обычно единицей измерения частоты явля-

ется герц, т.е. один цикл, или одно колебание в секунду, а не радиан

1

в секунду, что обусловлено наличием коэффициента π перед инте-

гралом в выражении (4.8).) Вследствие того что существует одно- значная взаимосвязь между спектральной плотностью и средней мощностью случайного процесса, спектральную плотность часто на-

зывают спектром плотности мощности.

Определенную выше спектральную плотность иногда называют

двусторонней спектральной плотностью, так как она существует как для положительных, так и для отрицательных значений частоты ω. Если обозначить одностороннюю спектральную плотность через GX(f), то средний квадрат случайного процесса будет определяться выражением

∞

X 2 = ∫GX ( f )d f .

0

Так как односторонняя спектральная плотность определена толь- ко для положительных частот, справедливо соотношение, связы- вающее ее с двусторонней спектральной плотностью:

51

Вместе с тем функция ST(ω) не полностью определяет случайный процесс, так как она получена в результате рассмотрения интервала конечной длительности; интервалу той же длительности 2T, но рас- положенному в ином месте на временной оси, в общем случае будет соответствовать другой вид спектральной плотности. Точное значе- ние спектральной плотности может быть получено только при усло- вии T → ∞, т.е. при рассмотрении случайного процесса на интервале бесконечной длительности.

Рассмотренный выше способ позволяет находить спектральную плотность по реализации случайного процесса. Если же стационар- ный случайный процесс охарактеризован корреляционной функцией, то можно воспользоваться иным соотношением. Рассмотрим снова функцию xT(t), которой соответствует некоторое значение корреля- ционной функции

1 T

RT (τ) = 2T −∫T xT (t)xT (t + τ) dt.

Применим к функции RT(τ) преобразование Фурье:

Умножая двойной интеграл на произведение ejωt e–jωt (что, естест- венно, не изменит его значения) и изменяя порядок интегрирования, получаем соотношение

Итак, спектральная плотность стационарного случайного процес- са может быть получена как прямое преобразование Фурье его кор- реляционной функции.

Заметим, что RT(τ) и ST(ω) – лишь оценки соответствующих ха- рактеристик случайного процесса. При T → ∞ эти оценки будут при-

52

ближаться к точным значениям корреляционной функции и спек- тральной плотности, которые связаны между собой, соответственно, прямым и обратным преобразованием Фурье:

1 ∞

R(τ) = 2π ∫ S(ω)dω.

−∞

Полезно провести аналогию между характеристиками R(τ) и S(ω) стационарного случайного процесса и характеристиками w(t) и W(jω) линейной динамической системы. Как известно, импульсная пере- ходная функция w(t) и частотная функция W(jω) также связаны друг с другом прямым и обратным преобразованием Фурье. На основании одного из свойств преобразования Фурье можно заключить, что, чем «шире» временнáя характеристика системы или процесса, тем «ýже» будет соответствующая частотная характеристика, и наоборот. Так, например, для абсолютно случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид δ-функции, спектральная плотность оп- ределяется выражением

∞

S(ω) = ∫ aδ(τ)e− jωτdτ = a = const,

−∞

т.е. спектр такого процесса содержит гармонические колебания всех возможных частот. Поэтому по аналогии с белым цветом, имеющим подобный спектр, абсолютно случайный процесс называют белым шумом. Однако, поскольку дисперсия белого шума D = R(0) = ∞, то источник такого сигнала должен был бы обладать бесконечной мощ- ностью. Спектральная плотность реальных случайных сигналов с возрастанием частоты стремится к нулю, но если в полосе пропуска- ния некоторой системы S(ω) = const, то для данной системы такой сигнал можно считать белым шумом.

Поскольку S(ω) несет информацию о спектральном составе сигнала, то для постоянного сигнала она имеет вид δ-функции при ω = 0, а для гармонического сигнала с частотой ω0 – вид δ-функции при ω = ω0.

Спектральное представление случайного процесса. Нередко возникает необходимость спектрального представления случайного

53

процесса, например, при изучении результатов преобразования слу- чайных сигналов системами, обладающими определенными частот- ными характеристиками. Типичное применение спектрального пред- ставления случайного процесса при изучении прохождения случай- ных сигналов через каналы связи и управления заключается в сле- дующем. Для входного случайного сигнала Хвх(t) с известной корре- ляционной функцией вычисляется спектральная плотность sвх(ω), которая преобразуется в линейной системе с известной частотной характеристикой W(ω) согласно равенству

sвых (ω) = |W (ω) |2 sвх (ω).

Случайная функция – это очень сложный объект. В общем случае ее можно рассматривать как систему бесконечного множества слу- чайных величин.

Спектральное разложение случайных процессов. Особый ин-

терес представляют канонические разложения случайных процессов, стационарных в широком смысле. Для таких процессов в качестве координатных функций чаще всего принимают тригонометрические функции. Пусть X(t) – стационарный в широком смысле, в общем случае комплексный, процесс, заданный в области [–T, T]. Для X(t) имеет место каноническое разложение в виде ряда Фурье:

называемое спектральным разложением случайного процесса. В этом случае mX – комплексная постоянная, {Vn} – комплексные случайные величины. Члены суммы (4.9) называются гармониками и описыва- ются следующими соотношениями:

а ωn, |Vn|, ϕn представляют собой круговые частоты, амплитуды и фа- зы гармоник соответственно; периоды гармоник определяются соот- ношениями:

54

Для автоковариационной функции случайного процесса можно найти каноническое разложение:

n=−∞

Поскольку mX = const, а KX зависит от разности τ = t2 – t1, процесс X(t) действительно является стационарным в широком смысле. Раз- ложение (4.10) представляет собой комплексный ряд Фурье, коэффи-

циенты которого KX (n) , как известно, определяются формулой

−T

Формулу (4.11) легко вывести и непосредственно, домножая ряд (4.10) на e jωnτ и интегрируя затем на отрезке [–T, T]. В частности,

В том случае, когда происходит замена процесса X(t) спек- тральным разложением, приближенно заменяется непериодиче- ский реальный физический процесс периодическим процессом с периодом 2Т. Процесс, описываемый соотношением (4.9), являет- ся, кроме того, эргодическим, поскольку его автоковариационная функция (4.10) удовлетворяет необходимому и достаточному ус- ловию эргодичности (условию Слуцкого). Действительно, соглас- но (4.12) можно записать:

Для действительных случайных процессов на интервале [–T, T] спектральное разложение имеет вид

55

где Un, Vn – случайные величины, обладающие следующими свой- ствами:

Иногда используется также разложение вида

в котором нулевая гармоника выделена отдельно, причем перед ней

вводится множитель 1 , как в действительных рядах Фурье. 2

Автоковариационная функция действительного процесса (4.13) также может быть представлена в виде ряда Фурье:

Верхний предел суммирования в формулах (4.13), (4.14), (4.15) обычно ограничивают до некоторого значения N, получая конечные ряды Фурье.

56

Как видно, в результате спектрального разложения реальный фи- зический процесс приближенно можно представить в виде процесса с дискретным спектром и периодом 2Т. Коэффициент Фурье автокова- риационной функции KX (τ) = Dn представляет собой спектральную плотность мощности, переносимую процессом X(t) на n-й гармонике частоты ωn. При Т → ∞ дискретные частоты неограниченно сближа- ются и спектр процесса X(t) становится непрерывным. Этот переход аналогичен переходу от ряда Фурье к интегралу Фурье.

Связь автоковариационной функции и спектральной плотности мощности KX(τ) стационарных эргодических процессов с непрерывным спектром описывается формулами, которые называются формулами Винера – Хинчина, представляющими собой взаимно-обратные преоб- разования Фурье и для действительного процесса имеющими вид:

∞

KX (τ) = ∫SX (ω)cosωτ dω;

0

∞

SX (ω) = π2 ∫0 KX (τ)cosωτ dτ.

Спектральная плотность мощности SX(ω) обладает свойствами:

которые можно рассматривать как необходимые условия стационар- ности процесса X(t) в широком смысле.

Дисперсия процесса с непрерывным спектром описывается выра- жением

При T > τc можно установить связь коэффициентов Фурье KX (τ)

и спектральной плотности мощности SX(ω):

откуда

57

KX (n) = π SX (ωn ).

T

Для комплексных случайных процессов формулы Винера – Хин- чина обычно записываются в следующем виде:

причем свойства (4.16), (4.17) и равенство (4.18) в этом случае со- храняются.

При T > τc

откуда согласно (4.19) следует, что

KX (n) = π SX (ωn ). 2T

Иногда, как и в теории интегралов Фурье, вместо круговой часто- ты используют циклическую частоту, которая определяется в соот- ветствии со следующими выражениями:

Тогда автоковариационная функция KX(τ) и спектральная плот- ность мощности SX( f ) связаны симметричным взаимно-обратным преобразованием Фурье (формулами Винера – Хинчина):

∞

KX (τ) = ∫ SX (ω) e j 2π f τ d f ;

−∞

∞

SX ( f ) = ∫ KX (τ) e− j 2π f τ dτ,

−∞

58

причем при T > τc

Поделив обе части выражения для спектральной плотности на Dx, получим соотношение

По аналогии с нормированной корреляционной функцией rx(τ)

функция sx(ω) называется нормированной спектральной плотно-

стью. Значение sx(ω)dω показывает, какую долю дисперсии Dx со- ставляет элементарное слагаемое sx(ω)dω.

Нормированные корреляционная функция и спектральная плот- ность определяются следующим образом:

Параметр τ0 является, очевидно, интервалом корреляции τ0 = τk. При увеличении τ0 график sx(ω) вытягивается по оси ординат и сужа- ется по оси абсцисс. В пределе при τ0 → ∞ случайная функция X(t) вырождается в случайную величину X. При этом rx(τ) = 1, а sx(ω) превращается в дельта-функцию: sx(ω) = δ(ω).

Квадратурным аналогом нормированной взаимной ковариацион- ной функции или функции коэффициентов ковариации двух процес- сов в спектральной области является функция когерентности, кото- рая определяется выражением

γxy2(ω) = |Sxy(ω)|2/(Sx(ω)Sy(ω))

и для любых ω удовлетворяет неравенству

59

0 ≤ γ2xy (ω) ≤ 1.

Функция когерентности обычно используется при анализе линей- ных систем преобразования входной функции X(t) в выходную функцию Y(t).

Свойства спектральной плотности

Большинство важных свойств спектральной плотности можно кратко охарактеризовать так: SХ(ω) есть вещественная, положитель- ная, четная функция частоты ω. Из анализа преобразования Фурье известно, что его модуль – величина вещественная и положительная. Следовательно, этими же свойствами будет также обладать и мате- матическое ожидание этой функции. Возможность перехода от Rx(τ) к Sx(ω) и обратно делает спектральную плотность Sx(ω) весьма важ- ной характеристикой стационарной случайной функции. Основными свойствами спектральной плотности являются:

1)неотрицательность Sx(ω) ≥ 0;

2)четность Sx(ω) = Sx(–ω);

3)ограниченность Sx(ω) ≠ ∞.

Отдельный класс спектральных плотностей, нашедших более ши- рокое применение, чем другие, объединяет рациональные функции. Так как спектральная плотность является четной функцией часто- ты ω, эти полиномы состоят из компонент только четных степеней ω, а именно:

Если значение среднего квадрата случайного процесса X(t) конечно, то площадь под кривой SX(ω) также должна быть ограниченной величиной, при этом необходимо, чтобы выполнялось условие m > n. В основном эти условия выполняются, за исключением случая белого шума, являющегося специфическим вариантом случайного процесса. В качестве примера ра- циональной спектральной плотности рассмотрим функцию

Эта функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к спектральным плотностям, а именно: она является вещественной,

60