Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

цесса равна спектральной плотности белого шума. Для определения в этом случае областей интегрирования целесообразно рассматривать корреляционную функцию RX(λ2 – λ1 – τ) как функцию переменной λ2 при τ ≥ 0. Так как в соответствии с (5.28) λ2 всегда считается положи- тельной, очевидно, что пределы интегрирования по переменной λ2 должны определяться как λ2 = (0, λ1 + τ) и λ2 = (λ1 + τ, ∞). Следова- тельно, (5.28) можно записать следующим образом:

∞λ1 + τ

RY (τ) = ∫dλ1 ∫ RX (λ2 − λ1 − τ)h(λ1)h(λ2 )dλ2 +

00

∞∞

Используя свойство симметрии (четности корреляционной функ- ции), можно непосредственно записать аналогичное выражение для τ < 0. Окончательно получим

Перейдя к пределу β → ∞ это выражение можно записать в виде

111

идентичном соотношению (5.32). В случае, когда β много больше b, но является конечной величиной, что соответствует реальной ситуа- ции, когда ширина спектра входного случайного процесса сущест- венно превышает полосу пропускания линейной системы, выраже- ние (5.35) можно записать так:

Первый сомножитель в выражении (5.36) представляет собой кор- реляционную функцию выходного процесса системы при воздей- ствии на ее вход белого шума. Второй и третий сомножители харак- теризуют степень отличия реальной корреляционной функции от корреляционной функции, соответствующей аппроксимации реаль- ного входного процесса белым шумом. Очевидно, когда β намного превышает b, оба этих сомножителя стремятся к единице.

На практике возникает большое число ситуаций, когда ширина спектра шумового воздействия на входе системы значительно больше полосы ее пропускания, и при этом вполне допустимо ис- пользовать аппроксимацию этого воздействия процессом типа бело- го шума. Благодаря этому существенно уменьшается трудоемкость вычислений без ощутимых потерь точности. Например, при исполь- зовании усилителя с высоким коэффициентом усиления и полосой пропускания 10 МГц наиболее интенсивной составляющей его шу- мов является дробовой шум первого каскада, ширина спектральной плотности которого может достигать 1000 МГц. Следовательно, ко-

b

эффициент β , входящий в соотношение (5.36), равен всего лишь

0,01, а ошибка аппроксимации реального случайного процесса (в данном случае дробового шума), действующего на входе усилителя, белым шумом не будет превышать 1 %.

Взаимная корреляционная функция случайных процессов на входе и выходе линейной системы. Если случайный процесс воз-

действует на вход линейной системы, то должна существовать оп- ределенная связь выходного процесса с процессом на входе. Значит,

112

эти процессы будут коррелированными, а при этом большое значение имеют природа и характер их взаимной корреляционной функции.

Одна из двух возможных (RXY(τ) или RYX(τ)) взаимных корреля- ционных функций входного и выходного случайных процессов оп- ределяется соотношением

или с учетом (5.5):

Так как функция X(t) не зависит от λ, она может быть внесена под знак интеграла; после этого аналогичная процедура применима и для операции математического ожидания, символ которой также можно внести под знак интеграла. Тогда для выражения (5.37) можно записать:

Таким образом, данная взаимная корреляционная функция явля- ется сверткой корреляционной функции случайного процесса на входе системы и импульсной характеристики этой системы. Вторая взаимная корреляционная функция рассматриваемой пары опреде- ляется выражением

Так как корреляционная функция входного процесса, входя- щая в подынтегральное выражение этого равенства, симметрична относительно λ = –τ, а импульсная характеристика всегда равна нулю для отрицательных значений λ, взаимная корреляционная функция RYX(τ) всегда будет отличаться от RXY(τ). Однако при τ = 0 эти взаимные корреляционные функции имеют одинаковые значения.

На вход линейной системы, обладающей передаточной функцией, приведенной выше, поступает случайный процесс X(t); при этом взаимная корреляционная функция может быть выражена как

113

Интегрирование этого выражения приводит к равенству

Другая взаимная корреляционная функция RYX(τ) может быть по- лучена из соотношения

RYX(τ) = RXY(–τ).

Вышеприведенные результаты оказываются еще более просты- ми при воздействии на вход линейной системы белого шума. При этом выполняются равенства RX(τ) = S0δ(τ) и

Соотношение (5.39) часто используют при измерении (экспери- ментальном определении) импульсной характеристики системы.

Входной процесс X(t) представляет собой случайный процесс, ширина спектральной плотности которого велика по сравнению с полосой пропускания системы, импульсную характеристику кото- рой требуется измерить. В инженерной практике приемлемые ре- зультаты достигаются даже в случае, когда отношение этих пара-

114

метров не превышает 10. При этом, как отмечалось выше, полагают, что входным воздействием является белый шум. Входной процесс X(t) наряду с его воздействием на испытываемую систему (систему, импульсную характеристику которой требуется экспериментально определить) поступает также в тракт, где осуществляется его за- держка на τ секунд. Если необходимо определить полную импульс- ную характеристику (т.е. импульсную характеристику на всем ин- тервале ее существования), τ должно изменяться в пределах от нуля до значения, соответствующего пренебрежимо малой вели- чине импульсной характеристики. Такая задержка может быть реа- лизована несколькими различными способами.

В частности, применение аналоговых методов предполагает ис- пользование механических устройств, осуществляющих задержку. Более современные методы основаны на дискретизации входного сигнала с частотой, превышающей не менее чем в два раза ширину его спектральной плотности, и последующей задержке его выбороч- ных значений с помощью линий задержки, построенных на основе приборов с зарядовой связью или коммутируемых емкостных эле- ментов.

С другой стороны, может осуществляться квантование выбороч- ных значений на конечное число уровней с последующей задержкой полученных квантованных величин в сдвиговых регистрах. При этом полагают, что на выходе линии задержки имеет место сигнал вида X(t – τ). Затем осуществляется перемножение сигнала Y(t) с выхода исследуемой системы и задержанной копии входного сигнала X(t – τ), в результате чего формируется процесс Z(t) = X(t – τ)Y(t), поступающий на вход фильтра нижних частот. Если полоса про- пускания этого фильтра достаточно мала, то доминирующей компо- нентой сигнала на его выходе будет постоянная составляющая процес- са Z(t), в дополнение к которой будет присутствовать случайная ком- понента незначительной интенсивности.

При эргодическом входном сигнале X(t) процесс Z(t) также бу- дет эргодическим (это справедливо для систем с параметрами, не из- меняющимися во времени, при фиксированной задержке τ), а посто- янная составляющая процесса Z(t) (т.е. результат его временного ус- реднения) оказывается равной его математическому ожиданию:

Z(t) ≈ M[Z(t)] = M[Y(t)X(t – τ)] = RXY(τ),

так как в силу стационарности случайного процесса Z(t) = Y(t) X(t – τ) его математическое ожидание определяется соотношением

115

M[Y(t)X(t – τ)] = M[X(t)Y(t + τ)] = RXY(τ).

Но из (5.36) следует, что

Таким образом, постоянная составляющая сигнала на выходе фильт- ра нижних частот пропорциональна импульсной характеристике, вы- численной при фиксированном τ. Изменяя задержку τ, можно измерить импульсную характеристику системы во всем диапазоне изменения τ.

5.3.Анализ линейных систем

вчастотной области

Наиболее распространенный метод анализа и описания линейных систем в частотной области позволяет оперировать такими понятия- ми, как комплексная частотная характеристика системы W(ω) и пе- редаточная функция системы W(s), представляющими собой соответ- ственно преобразования Фурье и Лапласа импульсной характеристи- ки. Если x(t) и y(t) – входной и выходной сигналы линейной системы, то их преобразования Фурье X(ω) и Y(ω) связаны соотношением

Y(ω) = X(ω) W(ω),

а преобразования Лапласа – соотношением

Y(s) = X(s) W(s)

при условии, что эти преобразования существуют. Ни одно из этих соотношений не может быть применено в случае, если X(t) – стацио- нарный случайный процесс. Преобразование Фурье реализации ста- ционарного случайного процесса в общем случае никогда не сущест- вует. Для одностороннего преобразования Лапласа соотношение ме- жду входным и выходным сигналами определено только для t > 0, а такие функции времени не могут быть реализациями стационарного случайного процесса.

Один из путей преодоления возникающих при этом трудностей связан с использованием спектральной плотности случайного про- цесса и проведением анализа с помощью усеченной реализации дли- тельности T, для которой предельный переход (T → ∞) осуществля- ется только после выполнения операции усреднения. Такая процеду- ра правомерна и ведет к математически корректным результатам. Однако существует намного более простая процедура, которая может

116

быть применена на практике. Спектральная плотность стационарного случайного процесса представляет собой преобразование Фурье его корреляционной функции. Поэтому, используя результаты, получен- ные для корреляционной функции случайного процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами, посредством необ- ходимых преобразований можем получить соответствующие соот- ношения и для спектральной плотности.

Спектральная плотность случайного процесса на выходе ли-

нейной системы. Спектральная плотность какого-либо случайного процесса является мерой распределения его средней мощности по частотному диапазону и не содержит никакой информации о фазах различных частотных компонент процесса. Как было показано выше, спектральная плотность SX(ω) и корреляционная функция связаны между собой преобразованием

Используя (5.40), а также соотношение (5.17), связывающее корреля- ционные функции RY(τ) и RX(τ) соответственно выходного и входного сигналов через импульсную характеристику системы, получаем

∞∞

RY (τ) = ∫dλ1 ∫ RX (λ2 − λ1 − τ)h(λ1)h(λ2 )dλ2 ;

Изменяя порядок интегрирования и выполняя указанные опера- ции, находим

SY (ω) = F[RY (τ)] =

∞ ∞

=∫dλ1 ∫h(λ1)h(λ2 )SX (ω)e− j ω(λ2 −λ1 )dλ2 =

117

При выводе выражения (5.41) использовалось свойство четности корреляционной функции: RX(τ) = RX(–τ).

Из (5.41) следует, что спектральные плотности входного и вы- ходного процессов связаны между собой через квадрат модуля ком- плексной частотной характеристики системы |Н(ω)|2. Этот результат можно также выразить через комплексную частоту s:

где SY(s) и SX(s) получены из SY(ω) и SX(ω) путем подстановки вида

– s2 = ω2, а H(s) получено из H(ω) заменой jω на s.

Из анализа (5.42) очевидно, что произведение W(s)W(–s) играет ту же самую роль в установлении соотношения между спектральными плотностями входного и выходного сигналов, что и функция W(s), связывающая между собой преобразования Лапласа этих сигналов. Такая аналогия создает благоприятные предпосылки для использо- вания методов анализа в частотной области систем с рациональными передаточными функциями в случае, когда входной сигнал является стационарным случайным процессом. Однако эти методы не всегда применимы при воздействии на вход линейной системы нестацио- нарного случайного процесса, даже если определение его спектраль- ной плотности по форме совпадает с вышеприведенным.

Так как ранее уже была получена формула для спектральной плотности выходного сигнала Y(t) системы, нетрудно вывести урав- нение для определения значения его среднего квадрата:

которое может быть вычислено любым из методов, проанализиро- ванных ранее.

Для пояснения приведенных выше результатов рассмотрим систему, которая имеет передаточную функцию вида

шум X(t) со спектральной плотностью S0. Спектральная плотность выходного сигнала Y(t) определяется как

118

Средний квадрат выходного сигнала может быть получен с помощью интеграла I1 из таблицы интегралов в разделе 4. С этой це- лью целесообразно переписать (5.43) в виде

откуда следует, что n = 1, а полиномы, приведенные в таблице инте- гралов, можно представить так:

c(s) = b S0 = c0 ; d(s) = s + b.

Таким образом, коэффициенты d0 и d1 равны d0 = b, d1 = 1, а инте-

грал I1 и, следовательно, средний квадрат Y 2 составляют

В качестве более сложного примера рассмотрим случай, когда спек- тральная плотность входного случайного процесса X(t) имеет вид

Данная спектральная плотность выбрана таким образом, что на нулевой частоте она равна S0. При этом спектральная плотность сиг- нала на выходе системы определяется как

Значение среднего квадрата этого сигнала можно вычислить, пользуясь интегралом I2 из таблицы интегралов. С этой целью пред- ставим (5.45) в виде

Отсюда следует, что n = 2, а коэффициенты полиномов с(s) и d(s),

119

Тогда получим

Целесообразно вновь проанализировать полученные здесь ре- зультаты для случая, когда ширина спектральной плотности входно- го случайного процесса много больше полосы пропускания системы, а именно когда β >> b. Перепишем выражение (5.45) в виде

откуда следует, что по мере роста β эта спектральная плотность стре- мится к функции, описываемой выражением (5.43), определяющим спектральную плотность случайного процесса на выходе рассматри- ваемой системы при воздействии на ее вход белого шума. Выра- жение (5.46) для среднего квадрата можно переписать в виде

что соответствует при больших значениях β результату вычислений по формуле (5.44), полученному для случая воздействия белого шума.

Сравнение этих примеров с аналогичными примерами, при решении которых использовались методы анализа во временнóй области, свиде- тельствует о том, что в случаях когда спектральная плотность входного сигнала и передаточная функция системы являются рациональными функциями, методы анализа в частотной области оказываются более про- стыми в применении. При этом чем сложнее анализируемая система, тем более ощутимы преимущества применения этих методов. Если же либо спектральная плотность входного сигнала, либо передаточная функция системы не являются рациональными функциями, то этот вывод может оказаться неправомерным.

Взаимная спектральная плотность случайных процессов на входе и выходе линейной системы. Взаимные спектральные плотности случайных процессов, действующих на входе и выходе линейной системы, широкого применения на практике не находят, но представление о них целесообразно иметь. Вывод соотношений для

120