Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

d(s) = (s + 3)(s + 5) = s2 + 8s + 15,

откуда d0 = 15, d1 = 8 и d2 = 1. Используя выражение для интеграла I2 из таблицы интегралов, получаем

Xc2 = (5)2 (15) + (20)2 (1) = 3,229. 2(15)(8)(1)

Следовательно, суммарное значение среднего квадрата рассмат- риваемого случайного процесса равно

X 2 = 40 + 3,229 = 43,229.

Так как математическое ожидание этого случайного процесса равно ±2, его дисперсия составляет σ2X = 43,229 − (2)2 = 39,229.

Наиболее часто применяемый метод основан на вычислении вы- четов, а его процедура в значительной степени аналогична методике определения обратного преобразования Лапласа:

X 2 = ∑(вычеты в левой полуплоскости) = ∑K j .

Для рассматриваемого примера в левой полуплоскости имеются полюсы s1 = – 1 и s2 = – 3. Вычеты легко определить путем умноже- ния SХ(s) на множитель (s – sj), содержащий указанный полюс, пола- гая затем s равным значению этого полюса. Таким образом, имеем:

значению.

Если полюсы имеют порядок n > 1, то для определения вычетов могут быть использованы более общие приемы.

Связь ширины спектра и времени корреляции процесса. Со-

гласно равенству (4.12) удвоенная дисперсия 2σ2X стационарного случайного процесса X(t) с непрерывным спектром равна площади под кривой SX(ω) на бесконечном интервале –∞ < ω < ∞. Аналогично

71

времени корреляции τc определим ширину спектра случайного про- цесса как основание равновеликого прямоугольника с высотой

max S(ω) :

ω

С другой стороны, из определения для спектральной плотности следует, что

где ρX(τ) – коэффициент корреляции; откуда, используя определение времени корреляции, можно получить неравенство

называемое соотношением неопределенности для случайных процессов. Из соотношения неопределенности (4.24) следует, что процесс с малым временем корреляции является широкополосным и, наоборот, процесс с большим временем корреляции – узкополосным. Предель- ным случаем широкополосного процесса является так называемый белый шум – δ-коррелированный случайный процесс, имеющий ав-

токовариационную функцию вида

K(τ) = σ2δ(τ).

Спектральная плотность белого шума

т.е. постоянна на всех частотах. К белому шуму близки, например, тепловой шум в виде шумовой ЭДС, создаваемый флуктуациями электронов в каком-либо резисторе, или дробовой шум тока в элек- тронном диоде, обусловленный случайным характером термоэмис- сии электронов с катода.

Белый шум является, конечно, идеализацией, так как полная мощ- ность, переносимая таким процессом, бесконечна и, следовательно, он физически нереализуем. Ближе к реальности так называемый по- лосовой белый шум – стационарный случайный процесс, имеющий спектральную плотность вида

72

постоянную в полосе частот [ωl, ωm], где ωl – нижняя частота полосы; ωm – верхняя частота. Так, например, тепловой и дробовой шумы фактически ограничены сверху частотами, на которых можно еще пренебречь квантово-механическими эффектами, т.е.

Другой идеальный случай – процесс, имеющий спектральную плотность вида

S(ω) = S0δ(ω0 – ω),

т.е. нулевую ширину спектра и бесконечное время корреляции. Не- ограниченность времени корреляции означает, что сколь угодно от- даленные друг от друга сечения процесса полностью коррелирован- ны. Таков, например, процесс вида

X (t) = Ve− jω0t ,

где X(t) – центрированная случайная величина с дисперсией σ2 = S0 : 2

M[V ] = 0; D[V ] = σ2 = S0 . 2

Математическое ожидание и автоковариационная функция такого процесса определяются в соответствии со следующими формулами:

из которых видно, что процесс X(t) – стационарный и эргодический, поскольку удовлетворяются условия Слуцкого. Коэффициент корре- ляции процесса определяется так:

ρ(τ) = K (τ) = e jω θτ ; | ρ(τ) | = 1. K(0)

73

Вычисляя спектральную плотность S(ω) и учитывая представле- ние δ-функции в виде интеграла Фурье, приходим к формуле

−∞

Частоту ωθ процесса часто называют несущей.

4.3. Взаимная спектральная плотность

При рассмотрении двух коррелированных случайных процессов, например сигналов на входе и выходе линейной системы, можно оп- ределить пару функций, называемых взаимными спектральными плотностями.

Статистическая связь двух случайных процессов X(t) и Y(t) оцени- вается по функциям взаимной ковариации Kxy(τ) или Kyx(τ). Функции взаимной ковариации в общем случае являются произвольными и соответственно функции взаимного спектра представляют собой комплексные выражения.

Если FX(ω) есть преобразование Фурье усеченной реализации не- которого случайного процесса X(t), а FY(ω) – аналогичное преобразо- вание Фурье другого случайного процесса Y(t), то взаимные спек- тральные плотности этих процессов могут быть определены сле- дующим образом:

В отличие от обычных спектральных плотностей, взаимные спек- тральные плотности не обязательно должны быть вещественными, положительными или четными функциями ω. Они обладают сле- дующими свойствами:

1)SXY(ω) = SYX* (ω);

2)Rе[SXY(ω)] и Rе[SYX(ω)] являются четными функциями ω;

3)Im[SXY(ω)] и Im[SYX(ω)] являются нечетными функциями ω.

Взаимные спектральные плотности могут быть связаны с взаим- ными корреляционными функциями преобразованием Фурье. Таким

74

образом, для совместно стационарных процессов справедливы соот- ношения:

∞

SXY (ω) = ∫ RXY (τ)e− jωτ dτ;

−∞

∞

RXY (τ) = 21π −∞∫ SXY (ω)e jωτ dω;

∞

SYX (ω) = ∫ RYX (τ)e− jωτ dτ;

−∞

∞

RYX (τ) = 21π −∞∫ SYX (ω)e jωτ dω.

Можно также связать взаимные спектральные плотности и взаимные корреляционные функции с помощью двустороннего преобразования Лапласа, как это было сделано выше для обычных спектральной плот- ности и корреляционной функции. Таким образом, для совместно ста- ционарных случайных процессов справедливы соотношения:

∞

SXY (s) = ∫ RXY (τ)e− sτ dτ;

−∞

При использовании двустороннего обратного преобразования Лап- ласа для определения взаимной корреляционной функции не представ- ляется возможным применить свойство ее симметрии при отрицатель- ных τ. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Предполо- жим, что взаимная спектральная плотность определяется выражением

Функция SXY(ω) является комплексной. В силу свойств взаимных спектральных плотностей (свойство 1) взаимная спектральная плот-

75

ность SYX(ω) является функцией, комплексно сопряженной с SXY(ω). Таким образом,

Если в SXY(ω) произведем замену переменной s = jω, получим

Представление в виде простых дробей дает выражение

При полюсе в левой полуплоскости s = – 4 имеем следующее вы- ражение для RXY(τ) при положительных значениях τ:

16 ↔ 16e−4τ при τ > 0. s + 4

Чтобы выполнить аналогичную процедуру при полюсе s = 2, на- ходящемся в правой полуплоскости, заменим s на –s и применим об- ратное преобразование Лапласа. Таким образом, получаем соотно- шение

Если τ заменить на –τ и объединить обе части этого соотношения, то полное выражение для взаимной корреляционной функции примет вид

Вторая взаимная корреляционная функция может быть получена из соотношения RYX(τ) = RXY(–τ):

76

4.4. Измерение спектральной плотности

Вопросы, связанные с оцениванием математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса, были представлены выше; теперь же целесообразно рассмотреть, как можно оценить распределение мощности по спектру частот, занимаемому случай- ным сигналом, т.е. оценить спектральную плотность. Соответствую- щие оценки очень важны при решении многих прикладных задач. Например, знание спектральной плотности помехового сигнала часто позволяет определить происхождение (физическую природу) этого сигнала и осуществить его подавление или компенсацию. В случаях когда последнее не представляется возможным, знание энергетиче- ского спектра зачастую позволяет применить соответствующие фильтры, уменьшающие влияние помех.

В качестве типичного примера измерения спектральной плотно- сти рассмотрим следующий случай. Пусть осуществляется непре- рывное наблюдение (регистрация) случайного сигнала х(t) на интер- вале 0 ≤ t ≤ Т; х(t) – реализация эргодического случайного процесса. При этом ставится задача оценки спектральной плотности SX(ω) на основе результатов непрерывного наблюдения реализации случайно- го процесса.

Известно, что квадрат модуля этого преобразования Фурье явля- ется оценкой спектральной плотности. Однако поскольку преобразо- вание Фурье полной реализации как таковое не существует, естест- венно, что преобразование Фурье наблюдаемой части этой реализа- ции представляет собой грубую оценку искомой спектральной плот- ности. Данная процедура, при которой используется преобразование Фурье, была бы осуществима, если бы имелась возможность опреде- лить усредненное по ансамблю значение квадратов модулей преоб- разований Фурье всех (или хотя бы некоторых) реализаций случай- ного процесса. Однако в силу того, что наблюдаемой оказывается только одна реализация, такой подход неприемлем.

Часто используют метод, заключающийся в использовании соот- ношения, связывающего спектральную плотность и корреляционную функцию, поскольку возможно оценить корреляционную функцию на основе одной реализации случайного процесса, а преобразование Фурье этой оценки и будет выражением для оценки спектральной плотности.

Оценка ˆX τ корреляционной функции эргодического процесса

R ( )

X(t) может быть получена из соотношения

77

где х(t) – произвольная реализация из ансамбля.

Поскольку τ должно быть много меньше длительности интервала наблюдения (интервала усреднения) Т, обозначим наибольшее до-

пустимое значение τ как τm Таким образом оценка ˆx τ определя

.

,

R

(

)

-

ется соотношением (4.23) при |τ| < τm и принимается равной нулю при |τ| > τm. Более общий способ введения данного ограничения на длительность τ заключается в умножении (4.23) на четную функцию аргумента τ, равную нулю при |τ| > τm. Таким образом, дадим другое определение оценки корреляционной функции Rx(τ):

данном случае существует при всех τ. Эту функцию w(τ) часто назы- вают окном запаздывания (в ряде источников функцию w(τ) называ- ют корреляционным окном, а ее преобразование Фурье W(ω) = = F[w(τ)] – спектральным окном, так как она изменяет оценку функ- ции Rх(τ) на величину, зависящую от запаздывания (т.е. временнóй задержки τ), и имеет конечную длительность, равную 2τm. Введение функции w(τ) и выбор ее типа чрезвычайно важны при оценивании спектральных плотностей.

Поскольку спектральная плотность представляет собой преобра- зование Фурье от корреляционной функции, оценка спектральной плотности может быть получена так:

определенной теперь для любых τ, но не являющейся

78

Чтобы проанализировать цель введения окна запаздывания w (τ), важно подчеркнуть, что всегда имеет место определенная функция в виде специального окна запаздывания. При |τ| ≤ τm, в случае исполь- зования прямоугольного окна запаздывания можно записать:

Таким образом, если не дано определение окна запаздывания, все- гда подразумевается использование прямоугольного окна вида (4.26). Важность использования окна этого типа обусловлена тем, что соот- ветствующее преобразование Фурье имеет вид

и принимает отрицательные значения в пределах половины спектра частот. Таким образом, процедура свертки этого преобразования с

функцией a ˆX ω может привести к отрицательным значениям оце

-

S ( )

ниваемой спектральной плотности даже если сама функция a ˆX ω

, S ( )

нигде не является отрицательной (последнее условие всегда выпол-

няется В силу того что ˆX τ может быть оценена только в ограни

). R ( ) -

ченном диапазоне изменения τ (для |τ| ≤ τm), что обусловлено конеч- ной длительностью отрезка разбиения наблюдаемой реализации (τm << Т), могут иметь место ошибочные оценки спектральной плотно-

сти независимо от того с какой точностью определена ˆX τ в пре

, R ( ) -

делах допустимых значений ее аргумента.

При использовании прямоугольного окна запаздывания выраже- ние для оценки спектральной плотности будет иметь вид

оценена на основе ограниченного объема измерений), а в результате

применения преобразования Фурье к функции ˆX τ теперь можно

R ( );

записать:

79

собой оценку, полученную без учета ограниченных пределов изме- нения τ. Теперь возникает задача, каким образом следует видоизме-

нить функцию r ˆ X ω чтобы минимизировать ошибки оценивания

S ( ) ,

спектральной плотности. Это приводит к необходимости выбора окон запаздывания w(τ) других типов.

Одной из основных проблем, возникающих при анализе спек- трального окна Wr(ω), является существование боковых лепестков

что эти трудности могут быть преодолены путем выбора окна запаз- дывания, преобразование Фурье которого характеризуется малым уровнем боковых лепестков. Одной из таких широко применяемых функций является окно Хэмминга, определяемое как

При использовании этого окна оценка спектральной плотности определяется выражением

но, как и выше, данная процедура свертки не может быть реализова-

на из за невозможности получить оценку a ˆ X ω Однако если ис

- S ( ). -

пользовать представление вида

80