Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

то получим

так как неусеченная постоянная и косинусный член окна Хэмминга имеют преобразования Фурье в виде δ-функций. Подстановка этого результата в выражение (4.27) дают соотношение

зультирующей оценки.

В большинстве практических случаев выборка отсчетных значе- ний хk наблюдаемой реализации х(t) должна осуществляться в дис- кретные моменты времени tk = 0, t, …, N t, а результирующая оцен- ка формируется путем суммирования произведений:

Так как корреляционная функция оценивается только для дис- кретных моментов времени τ, необходимо выполнить дискретную аппроксимацию преобразования Фурье. Хотя существуют методы, позволяющие реализовать эту процедуру и уменьшить требуемый объем машинного времени при выполнении расчетов на ЦВМ (бы- строе преобразование Фурье), целесообразно рассмотреть дискрет- ный вариант соотношения, являющийся косинусной компонентой преобразования Фурье корреляционной функции. Таким образом, при использовании прямоугольного окна оценка спектральной плот- ности определяется как

81

При использовании окна Хэмминга соответствующая оценка име- ет вид

что представляет собой окончательный результат. Чтобы проиллю- стрировать описанный метод вычисления оценки спектральной плотности, предположим, что имеется оценка корреляционной функ- ции эргодического случайного процесса, определенная в соответст- вии с (4.31) при М = 5 и t = 0,01. Пусть соответствующие оценоч- ные значения корреляционной функции оказались следующими:

Для принятых М и t частотный разнос между оценочными зна- чениями спектральной плотности равен

Используя оценочные значения корреляционной функции, с по- мощью (4.30) можем записать выражение для оценки спектральной плотности применительно к прямоугольному окну:

Это выражение может быть применено для расчета значений q, из- меняющихся от 0 до 5, а результирующая оценка спектральной плотно- сти для прямоугольного окна в этом случае имеет следующие значения:

Подставляя эти значения в выражение (4.31), получаем оценки спектральной плотности с окном Хэмминга. Окончательные значе- ния оказываются следующими:

82

Хотя длительность реализации (соответственно и объем выборки), для которой была определена корреляционная функция, невелика, данный пример иллюстрирует методику применения окна Хэмминга и поясняет принцип сглаживания оценки спектральной плотности при использовании этого окна.

Было предложено много других типов окон для оценки спектраль- ной плотности, и некоторые из них дают более точные результаты, чем окно Хэмминга, хотя их применение может оказаться более сложным при решении конкретных задач. Например, окно Бартлетта, имеющее вид равнобедренного треугольника, непосредственно может использо- ваться для оценки корреляционной функции, однако для оценки спек- тральной плотности при этом требуется реализация процедуры свертки. Другим хорошо известным окном является «хэннинг-окно», представ- ляющее собой модифицированный вариант окна Хэмминга.

Анализ характеристик оценок спектральной плотности, в частности точности оценок, имеет большое практическое значение, однако реше- ние этой задачи сопряжено со значительными трудностями. Во-первых, оценки, при которых используются окна Хэмминга, не являются не- смещенными, т.е. математическое ожидание оценки спектральной плотности не равно истинной величине спектральной плотности. Во- вторых, возникают серьезные затруднения при определении дисперсии оценки, хотя приближенно она может быть выражена формулой

когда 2М t достаточно велико, что означает наличие реализации большой длительности при определении корреляционной функции.

Если измеряемая спектральная плотность неравномерно рас- пределена по частоте, то использование окна Хэмминга может привести к значительным ошибкам оценивания, которые могут быть минимизированы с помощью процедуры «обеления», т.е. изменения спектра таким образом, чтобы он стал почти равно- мерным. Наиболее существенные ошибки этого вида возникают в случае, когда наблюдаемый процесс содержит постоянную со- ставляющую, которая обусловливает появление δ-функции в

83

спектральной плотности. В таких ситуациях, прежде чем присту- пить к анализу случайного процесса, необходимо исключить эту постоянную составляющую.

Примеры определения спектральной плотности. Пусть авто-

корреляционная функция случайного процесса задана выражением

Найдем соответствующую спектральную плотность:

В целом ряде практически важных случаев спектральная плот- ность содержит так называемые δ-функции. Эта функция (известная еще под названием единичной импульсной функции, или функции Дирака) определяется как предел прямоугольного импульса δτ(t) дли-

пульса при этом равна единице).

Если теперь рассмотреть интеграл

∞

∫ x(t)δ(t) dt,

−∞

где x(t) – какая-либо другая функция, то этот интеграл оказывается равным (x)|t = 0 = x(0):

∞

∫ x(t)δ(t) dt = x(0).

−∞

Действительно, из определения δ(t) как предела следует, что

Последнее преобразование произведено согласно теореме о сред- нем значении. Так как интеграл в правой части (4.32) равен τ, то в пределе правая часть оказывается равной

limx(θ) = x(0).

τ→0 |θ|≤τ

84

Отсюда следует справедливость равенства (4.33). Совершенно аналогичным образом доказывается справедливость равенства

Функция δ(t – t1) представляет собой единичную импульсную функцию, обращающуюся в бесконечность в момент t = t1. Равенство (4.35) показывает, что интегрирование произведения функций x(t) и δ(t – t1) по бесконечному интервалу времени сводится к выделению значения x(t1).

С помощью формул (4.33) и (4.35) можно найти спектральную плотность Sx(ω) в некоторых особых случаях. Пусть, например, Rx(τ) = δ(τ), т.е. является единичной импульсной функцией. Такую функцию можно рассматривать как предел, к которому стремится функция (4.32) при λ → ∞ и одновременном беспредельном возрас-

тании а2. Так как площадь 2a2 λ1 функции Rx(τ) должна быть равна 1,

то в формуле (4.32) следует положить a2 = λ1 .

Функция Rx(τ) = δ(τ) равна нулю при τ ≠ 0; это означает, что значе- ния случайного процесса, разделенные сколь угодно малым, но отлич- ным от нуля промежутком времени, не коррелированы. Конечно, такой процесс представляет собой идеализацию; в действительных процессах между близкими друг к другу значениями корреляция всегда имеется. Найдем спектральную плотность Sx(ω) для процесса с корреляционной функцией Rx(τ) = δ(τ). Согласно общей формуле для спектральной плотности

Здесь в качестве функции x(τ) фигурирует e− jωτ . Операция, про- изводимая над этой функцией, как видно из (4.33), сводится к выде- лению значения х(0).

График спектральной плотности Sx(ω) в данном случае пред- ставляется постоянным, т.е. частотный спектр оказывается равно- мерным. Стационарный случайный процесс с равномерным час- тотным спектром Sx(ω) = const часто называют белым шумом, по аналогии с белым цветом, в котором представлены все участки спектра. Во многих случаях можно считать помеху (например,

85

внутренние шумы приемника) белым шумом. Следует лишь от- четливо представлять себе, что белый шум есть продукт идеализа- ции, ибо процессов x(t) со взаимно некоррелированными соседни- ми значениями не существует. Поэтому в действительности час- тотный спектр Sx(ω) «западает» на очень высоких частотах. Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении ка- кого-либо конкретного устройства не играют роли (ибо они лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеали- зация помехи в виде белого шума упрощает рассмотрение и по- этому вполне целесообразна.

Идеализированный характер белого шума подтверждается также и свойствами его дисперсии. В случае белого шума с Sx(ω) = S0 = const для функции x2(t) можно записать:

В самом деле, из энергетических соображений ясно, что у каждого реального шума дисперсия (в данном случае мощность) не бесконеч- на, а имеет конечное значение. Кривая Rx(τ) беспредельно суживает- ся; при этом кривая Sx(ω) расширяется, становясь в пределе горизон- тальной прямой.

Рассмотрим другой пример. Пусть Sx(ω) = δ(ω), т.е. представляет собой единичную импульсную функцию. Найдем соответствующую автокорреляционную функцию Rx(τ):

Если умножим Rx(τ) и Sx(ω) на 2π, то получим, что

Можно показать, что Rx(τ) = const, если процесс х(t) представляет собой постоянную величину. Поэтому составляющая типа const δ(ω) в составе спектральной плотности указывает на наличие постоянной составляющей в процессе х(t).

Для случая, когда Sx(ω) = δ(ω – ω1) + δ(ω + ω1) найдем соответст- вующую функцию Rx(τ), воспользовавшись выражением

86

−∞

= 21π (e jωτ + e− jωτ ) = 21π cosω1τ.

Умножив на π как Rx(τ), так и Sx(ω), получим

На рисунке приведены графики зависимостей спектральной плот- ности и соответствующей корреляционной функции случайного про- цесса.

Рис. 4.1. Спектральная плотность (а) и соответствующая корреляционная функция (б)

Следовательно, корреляционная функция const cos ω1τ соответ- ствует процессу типа x(t) = A cos(ω1t + ϕ) с частотой ω1 и произволь- ной фазой. Наличие же в выражении для спектральной плотности слагаемых типа const δ(ω – ω1) и const δ(ω + ω1) указывает на то, что рассматриваемый случайный процесс содержит периодическую составляющую частоты ω1.

В качестве следующего примера рассмотрим двоичную систему связи, в которой полезное сообщение передается с помощью случай- ной последовательности разнополярных импульсов прямоугольной формы. Эти импульсы равновероятны, имеют одинаковые амплиту- ды, а смена состояний (полярностей импульсов) осуществляется не- зависимо от импульса к импульсу. Наличие крутых фронтов приво- дит к очень широкому спектру частот такого сигнала. Другой фор- мой импульса является так называемый приподнятый косинус; при этом возникает вопрос, насколько уменьшается ширина спектра та- кого сигнала по сравнению с шириной спектра последовательности прямоугольных импульсов.

87

Спектральные плотности исследуемых случайных процессов опи- сываются выражением (4.23). В обоих случаях математическое ожи- дание амплитуд импульсов равно нулю (так как смены полярностей разных знаков равновозможны), а дисперсия амплитуд равна А2 для прямоугольных импульсов и В2 для импульсов в форме «приподня- того косинуса». Таким образом, необходимо найти величину |F(ω)|2 для импульсов различной формы.

Для прямоугольного импульса функция f(t), описывающая его форму, равна

Следовательно, преобразование Фурье этой функции имеет вид

и в соответствии с (4.23) спектральная плотность такого случайного двоичного сигнала определяется как

причем она максимальна при ω = 0.

Для импульса, имеющего форму «приподнятого косинуса», соот- ветствующая функция имеет вид

Преобразование Фурье этой функции имеет вид

88

и максимальна при ω = 0.

При оценке ширины спектральной плотности могут использо- ваться различные критерии. В тех случаях, когда необходимо уменьшить взаимное влияние сигналов двух систем связи, целесо- образно ввести в рассмотрение полосу частот, вне пределов кото- рой уровень спектральной плотности оказывается меньше опреде- ленной доли (например, менее 1 %) ее максимального значения. Таким образом, необходимо определить ω1, удовлетворяющее со- отношениям:

косинуса» , это условие приобретает вид

89

но сделать вывод, что использование импульсов в форме «приподня- того косинуса» вместо прямоугольных импульсов приводит к уменьшению полосы частот, занимаемой сигналом, почти в два раза при условии, что эта полоса определяется по сформулированному ранее критерию.

Примеры рассмотренных спектральных плотностей относятся к функциям, имеющим низкочастотный спектр, т.е. максимум которых имеет место при ω = 0. На практике часто возникают ситуации, когда максимум спектральной плотности соответствует некоторой высокой частоте. Выражение для спектральной плотности в области ком- плексных частот легко получить на основании результатов анализа расположения нулей и полюсов:

где S0 – масштабный коэффициент. Следует обратить внимание на то, что данная спектральная плотность на нулевой частоте равна нулю.

Значение среднего квадрата случайного сигнала с полученной спектральной плотностью можно рассчитать любым из способов, рассмотренных ранее. С помощью таблицы интегралов легко найти значения следующих параметров:

90