Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

формы сигнала и определяется интегралом от произведения двух ко- пий сигнала x(t), сдвинутых относительно друг друга на время τ:

Как следует из этого выражения, автокорреляционная функция сигна- ла является скалярным произведением сигнала и его копии в функцио- нальной зависимости от переменной величины значения сдвига τ; таким образом, автокорреляционная функция имеет физическую размерность энергии, а при τ = 0 ее значение непосредственно равно энергии сигнала:

∞

Rx (0) = ∫ x(t)2 dt = Ex .

−∞

Для определения максимума автокорреляционной функции необ- ходимо воспользоваться следующими равенствами:

x(t), x(t + τ) = ||x(t)|| ||x(t + τ)||cos ϕ(τ);

cos ϕ(τ) = 1 при τ = 0, x(t), x(t + τ) = ||x(t)|| ||x(t)|| = Ex;

cos ϕ(τ) < 1 при τ ≠ 0, x(t), x(t + τ) = ||x(t)|| ||x(t + τ)|| cos ϕ(τ) < Ex,

т.е. максимум, равный энергии сигнала при τ = 0, всегда положите- лен, а модуль – при любом значении временнóго сдвига не превосхо- дит энергии сигнала.

При решении практических задач сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0 до Т, поэтому для построения вычислительных алгоритмов используется сдвиг ко- пии сигнала вправо по оси аргументов, т.е. в выражении (3.3) приме- няется функция копии x(t – τ).

По мере увеличения значения величины сдвига τ для финитных сигналов временнóе перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произве- дение в целом стремятся к нулю:

lim Rx (τ) = 0.

|τ|→∞

Автокорреляционная функция, вычисленная по центрированному значению сигнала x(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:

11

∞

Kx (τ) = ∫ [x(t) − mx ][x(t + τ) − mx ]dt ,

−∞

где mx – среднее значение сигнала.

Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:

Kx (τ) = Rx (τ) − mx2 .

Автокорреляционные функции сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются сигналы, заданные на определенном интервале значений [a, b], и часто вычисление авто- корреляционной функции производится с нормировкой на длину ин- тервала [a, b]:

1 b

Rx (τ) = b − a ∫a x(t)x(t + τ)dt.

Для сигналов с бесконечной энергией автокорреляционная функ- ция определяется в соответствии с выражением

1 T

Rx (τ) = lim ∫ x(t)x(t + τ)dt.

T →∞ T 0

В соответствии с приведенными выражениями автокорреляцион- ная функция случайных сигналов равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии и имеет физическую размерность мощности.

Автоковариационные функции вычисляются аналогично. Осо-

бенностью этих функций являются их простые соотношения с дис-

персией σ2x сигналов. Как известно, значение дисперсии равно сред- ней мощности сигналов, откуда следует:

12

Значения ρx(τ) в силу нормировки не зависят от масштаба пред- ставления значений сигнала x(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига τ между отсчетами сигнала, поэтому эта величина часто используется для характеристики классов или определенных моделей случайных сигналов: например, для шумовых сигналов при полной статистиче- ской независимости отсчетов по независимой переменной значение ρх(τ) стремится к нулю при τ ≠ 0 и стремится к 1 при τ → 0.

Автокорреляционная функция периодических сигналов. По-

скольку энергия периодических сигналов бесконечна, то возможно вычисление автокорреляционной функции периодических сигналов по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сиг- нала и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

1 T

Rx (τ) = T ∫0 x(t)x(t + τ)dt.

Средняя мощность периодического сигнала в пределах периода рав- но нормированной автокорреляционной функции при τ = 0; при этом автокорреляционная функция периодического сигнала является перио- дической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала х(t) =

Полученный результат не зависит от начальной фазы гармониче- ского сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств автокорреляционной функции (АКФ). С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие пе- риодических свойств любых произвольных сигналов.

Автокорреляционная функция дискретных сигналов. Авто-

корреляционная функция для дискретных сигналов при постоянном интервале дискретизации данных t = const выполняется по интерва- лам Δτ = t и обычно записывается как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nΔτ:

13

∞

Rx (n) = t ∑ xk xk −n .

k =−∞

Поскольку дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов k = 0, 1, …, N, то вычисление дискретной автокорреляционной функции можно вы- полнить для реализации положительной длины с учетом длины мас- сивов по формуле

ным коэффициентом, учитывающим постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений (от N до N – n) по мере увеличения сдвига n. Для нецентрированных сигналов без учета этой поправки в значениях автокорреляционной функции сигнала появля- ется тренд суммирования средних значений.

Таким образом, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно мощности дискретного сигнала.

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигна- лов. На определенном интервале кодового слова М t они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выде- лении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считают- ся такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых мини- мальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика.

Свойства автокорреляционных функций. Корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет следующие ос- новные свойства. Поскольку автокорреляционные функции играют весьма важную роль в представлении случайных процессов и при анализе систем, оперирующих со случайными входными сигналами, необходимо иметь возможность сопоставить свойства автокорреля- ционной функции со свойствами представляемого ею случайного процесса. При теоретическом исследовании различных систем ино- гда используется идеальная модель случайного процесса, для которо- го значения x(t) в последующие моменты времени являются совер-

14

шенно непредсказуемыми, а корреляция имеет место только для дан- ного момента времени (сечения). Такой абсолютно случайный про- цесс носит название белого шума. Корреляционная функция белого шума имеет вид δ-функции: Rx (τ) = aδ(τ) . Если случайный процесс

содержит периодическую составляющую, то корреляционная функ- ция также содержит периодическую составляющую с тем же перио- дом. Данное свойство, в частности, позволяет установить наличие у случайного процесса скрытой периодичности, о существовании ко- торой нельзя судить по записи отдельных реализаций процесса.

Обобщенно свойства корреляционных функций можно предста- вить следующим образом.

1. RX (0) = X 2 , т.е. средний квадрат случайного процесса X(t) лег-

ко найти, положив в его автокорреляционной функции τ = 0. При τ = 0 корреляционная функция равна среднему значению квадрата случайной величины, т.е.

Rx (0) = x(t)x(t) = x2 > 0.

0

Если рассматривается центрированный случайный процесс x(t) = = x(t) − mx = x(t) − x , то Rх (0) = Dx (дисперсия процесса). Нетрудно также получить соотношение

Dx = Rx (0) − (x)2 .

Следует подчеркнуть, что RX(0) является средним квадратом слу- чайного процесса X(t) независимо от того, равно его математическое

ожидание нулю или нет. Если математическое ожидание X равно ну- лю, то средний квадрат равен дисперсии этого процесса.

В общем случае, ввиду неотрицательности дисперсии веществен- ной случайной величины, можно записать следующее выражение:

0

RX (t, t) = M Хt2 = DX (t) ≥ 0.

2. RX (τ) = RX (−τ). Автокорреляционная функция является четной

относительно τ, т.е. Rx(τ) = Rx(–τ). Это свойство очевидно, так как следует из самого определения корреляционной функции.

Усреднение автокорреляционной функции по времени для эрго- дического случайного процесса равносильно усреднению по ансамб-

15

лю. В этом случае производится усреднение по времени для того же самого произведения, независимо от направления временнóго сдвига одной из функций. Свойство симметрии исключительно полезно при вычислении автокорреляционной функции случайного процесса, по- скольку оно означает, что данное вычисление можно произвести только для положительных τ, а результат для отрицательных τ опре- делить на основании свойства симметрии. Таким образом, при расче- тах, проводимых для определения корреляционной функции, можно учитывать только τ ≥ 0.

Из свойства симметричности конечномерных распределений слу- чайных процессов следует симметричность корреляционных функций:

RX (t1, t2 ) = RX (t2 , t1).

Для нестационарного процесса свойство симметрии справедливо не всегда.

3. Для процесса с нулевым средним значением Rx(∞) = 0, так как при бесконечном удалении двух сечений этого процесса друг от дру- га связь между ними практически отсутствует. Если же x ≠ 0, то

R(∞) = (x)2 , что нетрудно доказать.

Если X(t) – центрированный эргодический случайный процесс, не содержащий периодических составляющих, то

lim RX (τ) = 0 .

|τ|→∞

При больших τ в силу того, что влияние значений этого процесса, имевших место в прошлом, уменьшается во времени, случайные ве- личины X(t) и X(t + τ) становятся статистически независимыми.

4. | RX (τ) |≤ RX (0), так как степень корреляции убывает с ростом τ. Наибольшее значение автокорреляционная функция, как правило, принимает при τ = 0. Однако в ряде случаев могут существовать иные значения τ, для которых эта функция имеет такое же значение (например, для периодической функции X(t)), но и для них RX(τ) не может быть больше RX(0). Это видно из следующих соотношений:

M[(X1 ± X2 )2 ] = M[X12 + X22 ± 2X1 X2 ] ≥ 0;

M[X12 + X22 ] = 2RX (0) ≥| M 2X1 X2 | = 2 | RX (τ) |;

RX (0) ≥ | RX (τ) | .

16

Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция

ρx = R x (τ) .

Для нее характерно то, что ее максимальное значение ρx(0) всегда равно единице. Последнее свойство весьма удобно для сравнения различных случайных процессов.

5. Если X(t) содержит постоянную составляющую или имеет не- нулевое математическое ожидание, то функция RX(τ) также будет иметь постоянную составляющую. Например, если X(t) = А, то

RX(τ) = M[X(t1)X(t1 + τ)] = M[AA] = A2.

Предположим теперь, что функция X(t) может быть представлена в форме суммы ее математического ожидания X и составляющей N(t) с нулевым математическим ожиданием так, что X (t) = X + N (t) , тогда

RX (τ) = M{[X + N (t1)][X + N (t1 + τ)]} =

=M[(X )2 + XN(t1) + XN(t1 + τ) + N(t1)N(t1 + τ)] =

=(X )2 + RN (τ),

так как принято, что M[N (t1)] = M[N (t1 + τ)] = 0. Таким образом, и в этом случае RX(τ) содержит постоянную составляющую, равную квадрату математического ожидания (X )2 процесса X(t).

При рассмотрении эргодического случайного процесса значение математического ожидания может быть определено по автокорреля- ционной функции при τ, стремящемся к бесконечности, и при усло- вии, что любыми периодическими составляющими автокорреляци- онной функции в пределе можно пренебречь. Поскольку в результате таких вычислений получается только квадрат математического ожи-

дания X , определение его знака не представляется возможным. Если исследуемый случайный процесс стационарный, но не эргодический, функция RX(τ) может и не содержать никакой информации относи- тельно его математического ожидания. Например, случайный про- цесс X с выборочным значением вида х(t) = А, где А – случайная ве-

личина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2A ,

имеет автокорреляционную функцию RX(τ) для любых τ. Таким обра-

17

зом, автокорреляционная функция при τ = ∞ не обращается в нуль, даже несмотря на то что математическое ожидание процесса X(t) равно нулю. Такой результат является следствием того, что рассмат- риваемый случайный процесс не является эргодическим.

6. Если X(t) – периодический процесс, то RX(τ) также будет перио- дической функцией с таким же периодом. Например, пусть X(t) = = А соs(ωt + θ), где A и ω – постоянные, а θ – случайная величина, равномерно распределенная в диапазоне от 0 до 2π в соответствии с выражением

В более общем случае X(t) = А соs(ωt + θ) + N(t1), где θ и N(t1) – статистически независимые случайные величины для всех значе- ний t1; поэтому можно записать:

RX (τ) = A2 cosω τ + RN (τ). 2

Следовательно, автокорреляционная функция и в этом случае со- держит периодическую составляющую.

Это свойство автокорреляционных функций может быть распро- странено на случайные процессы, содержащие любое количество пе- риодических компонентов. Если случайные процессы, содержащие периодические составляющие, статистически независимы, то авто- корреляционная функция суммы периодических компонент равна просто сумме периодических автокорреляционных функций каждой из этих составляющих. Это утверждение справедливо независимо от того, являются ли составляющие гармонически связанными или нет.

Если каждая реализация х(t) случайного процесса X(t) является периодической функцией и ее можно представить в виде ряда Фурье,

18

результирующая автокорреляционная функция также периодична и также может быть представлена рядом Фурье. Однако этот ряд Фу- рье будет содержать больше членов, чем просто сумма автокорреля- ционных функций отдельных компонентов, если случайные пара- метры, связанные с различными составляющими такого процесса, не являются «статистически независимыми». Например, для случайного процесса, у которого случайным параметром является только слу- чайная задержка каждой реализации, равномерно распределенная по длительности основного периода, принимается, что параметры тако- го процесса не являются независимыми.

7. Форма автокорреляционных функций не может быть произ- вольной. Один из возможных способов определения их формы за- ключается в расчете преобразования Фурье

∞

F[RX (τ)] = ∫ RX (τ) e− jωt dτ

−∞

при F[RX(τ)] ≥ 0 для всех ω.

В связи с рассмотрением автокорреляционных функций следует подчеркнуть еще одно обстоятельство. Хотя знание совместной плотности распределения вероятностей f(х1, х2) случайного процесса X(t) является достаточным для однозначного вычисления автокорре- ляционной функции RX(t1, t2), обратное утверждение не является справедливым. Может существовать множество различных случай- ных процессов с одинаковыми автокорреляционными функциями. Знание корреляционной функции случайного процесса не эквива- лентно знанию плотности распределения вероятностей и является значительно менее информативным, чем знание совместной функции распределения.

8. Пусть x = (x1, ..., xn )′ – любой вещественный неслучайный век-

тор (n – произвольное натуральное число); тогда для любого момента ti справедливо неравенство

n

∑ RX (ti , t j ) xi xj ≥ 0,

i, j=1

т.е. корреляционная функция любого случайного процесса неотрица- тельно определена (это следует из того факта, что при любом наборе t1, ..., tn совокупность значений корреляционной функции

{R(ti , t j )}ni, j=1 образуют корреляционную матрицу Rx случайного

19

вектора = t … t одним из свойств которой как известно

X (X , , X ), ,

1 n

из курса теории вероятностей, является неотрицательная определен- ность.

В связи с этим свойством корреляционной функции заметим, что если существует отличный от нуля вектор x , для которого при неко-

тором t * = (t1* , ..., tn* )′ приведенное выше неравенство превращается в равенство (т.е. корреляционная функция не является положительно

линейной зависимости, т.е. каждое из них точно определяется ос- тальными. Если это имеет место, то случайный процесс называется

предсказуемым (частично предсказуемым). В противном случае (т.е.

при положительной определенности корреляционной функции) про- цесс называется непредсказуемым (по умолчанию это более обычное свойство процесса подразумевается).

9. Из непрерывности корреляционной функции при любом t = t1 = t2 следует ее непрерывность при любых t1 и t2. Это следует из соотноше- ний, в которых используется неравенство Коши – Буняковского:

Нетрудно установить, что это свойство распространяется и на ко- вариационную функцию KX (t1, t2) (для этого в последнем соотноше- нии достаточно заменить центрированные сечения случайного про- цесса на нецентрированные).

20