Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

Ковариационная матрица определяется так:

Λ X = M[(X − X )(X T − X T )],

где X – математическое ожидание матрицы X.

Из определения ковариационной зависимости непосредственно следует, что ковариационная матрица имеет следующий вид:

При построении этой матрицы учтено, что ρi i = 1 при i = 1, 2, ..., N, следовательно, можно записать:

Λ X = RX − X X T .

Если случайный процесс центрирован, то ΛX = RX.

Понятие ковариационной матрицы используется как для стацио- нарных, так и нестационарных случайных процессов. Однако для случайного процесса, стационарного в широком смысле, все диспер- сии и корреляционные коэффициенты на любой диагонали одинако- вы. Следовательно,

Такая матрица называется матрицей Тёплица.

Для иллюстрации построения матрицы рассмотрим некоторый стационарный случайный процесс X(t), автокорреляционная функция которого имеет вид

41

Для упрощения предположим, что следует учитывать три случай- ные величины, разделенные интервалом t = 1, т.е. N = 3, t = 1. Рас- чет автокорреляционной функции по формуле (3.18) для τ = 0, 1, 2 дает значения, необходимые для составления корреляционной мат- рицы. Следовательно, она имеет такой вид:

Поскольку дисперсия этого процесса равна 10, а его математиче- ское ожидание X = ±3 , ковариационная матрица имеет вид

Использование векторных обозначений необходимо в случае, ко- гда случайные величины выбираются из различных случайных про- цессов. При этом вектор, представляющий все указанные величины, может быть записан следующим образом:

Теперь корреляционная матрица определяется так:

где

Ri(τ) = M[Xi(t)Xi(t + τ)];

Rij(τ) = M[Xi(t)Xj(t + τ)].

42

В этом случае элементы корреляционной матрицы представляют собой функции от τ, а не числа, как в случае корреляционной матри- цы, составленной для выборок, взятых из одного и того же случайно- го процесса.

Ковариационные матрицы играют важную роль при определении совместной плотности вероятностей для N случайных величин, при- надлежащих гауссовскому процессу, поскольку гауссовский про- цесс – один из немногих, для которых можно определить совмест- ную плотность распределения вероятностей при любом числе слу- чайных величин. Можно показать, что совместная плотность вероят- ностей определяется соотношением

(2π) 2 | Λ X |

где |ΛX| – детерминант матрицы ΛX ; Λ x – обратная ей матрица.

43

4.СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

4.1.Каноническое разложение случайных процессов. Комплексные случайные функции

При решении практических задач характеристики случайных функций определяются на основании опытных данных. Чаще всего они задаются не аналитически, а таблично. Поэтому находить харак- теристики преобразованных функций весьма сложно. Даже при про- стейшей форме оператора преобразования, например

t t′

Ry (t,t′) = ∫∫ RX (τ,τ ')dτ dτ′,

0 0

интеграл приходится находить численными методами, определяя его как функцию обоих пределов. Это трудоемкая и громоздкая задача. Ес- ли же подынтегральную функцию аппроксимировать аналитически, то зачастую интеграл через известные функции выразить не удается. Та- ким образом, возникают существенные трудности даже при простей- ших преобразованиях. Тем более сложно определить характеристики преобразованных случайных функций, когда функционирование дина- мической системы описывается дифференциальными уравнениями, ре- шение которых невозможно выразить в явной форме. Поэтому естест- венно попытаться выразить случайную функцию через более простые случайные объекты, например через обычные случайные величины.

На практике простейшей формой выражения случайной функции яв- ляется ее представление в виде линейной комбинации некоррелирован- ных случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Таким образом, любую случайную функцию можно представить в виде

Каждое произведение Viϕi называется элементарной случайной функ- цией. Это наиболее простой вид случайной функции. Все возможные

44

реализации элементарной функции можно получить из графика неслу- чайной функции ϕ(t) простым изменением масштаба по оси ординат.

Основное свойство элементарной случайной функции состоит в том, что вся ее случайность определяется коэффициентом, а зависи- мость от времени – неслучайной функцией.

Математическое ожидание элементарной случайной функции можно определить так:

mx(t) = M[Vϕ(t)] = mvϕ(t),

где mv – математическое ожидание случайной величины V. При mv = 0 математическое ожидание элементарной случайной функции тождест- венно равно нулю:

mx(t) ≡ 0.

Корреляционная функция элементарной случайной функции оп- ределяется в соответствии с выражением

Rx (t1, t2 ) = M[X (t1)X (t2 )] = ϕ(t1)ϕ(t2 )M[V 2 ] = ϕ(t1)ϕ(t2 )D.

Для любого случайного процесса, непрерывного на интервале [t1, t2], представленного определенной случайной функцией, справед- ливо разложение, называемое каноническим:

В этом выражении Vj – центрированные, взаимно некоррелиро- ванные комплексные случайные величины с единичной дисперсией:

а λj и ϕj(t) – собственные значения и собственные функции инте- грального уравнения

t2

ϕ(t) = λ ∫ KX (t,τ)ϕ(τ)dτ.

t1

Неслучайные функции ϕj(t) (j = 1, 2, …) называют координатными. Если в сумме (4.1) ограничить верхний предел до n, равенство

станет приближенным:

45

но с ограничением интервала [t1, t2] и ростом n разложение (4.2) ста- новится достаточно точным. Автокорреляционная функция процесса, описываемого выражением (4.1), имеет вид

Это равенство называют каноническим разложением автокорре- ляционной функции.

Каноническое разложение случайного процесса часто записывают в следующем виде:

n

X (t) = mX (t) + ∑Vjϕ j (t),

j=1

где Vj – центрированные, взаимно некоррелированные, комплекс- ные случайные величины с дисперсиями Dj:

а ϕj – некоторая полная система линейно независимых, детермини- рованных функций.

Каноническое разложение автоковариационной функции случай- ного процесса при этом имеет вид

0 0 n

KX (t1, t2 ) = M[X (t1), X * (t2 )] = ∑Dj ϕ j (t1)ϕ*j (t1).

j=1

В том случае, когда случайные величины Vj коррелированны, все- гда можно ввести систему n взаимно некоррелированных случайных величин Uj с помощью линейного преобразования

U = AV.

Представление случайных процессов в виде канонических разло- жений облегчает оперирование ими. В частности, дифференцирова- ние случайных процессов в этом случае сводится к дифференциро- ванию или интегрированию координатных функций.

Например, первую производную случайного процесса, описывае- мого выражением (4.2), можно определить по соотношению

46

а ее автоковариационная функция имеет вид

Аналогично можно вычислить интеграл от случайного процесса и автоковариационную функцию интеграла, взаимную автоковариаци- онную функцию процесса и его производной и т.п.

Канонические разложения удобны для выполнения различных действий над случайными функциями. Это объясняется тем, что в разложении зависимость функции от аргумента t выражается через

неслучайные функции ϕi(t), а операции над функцией X(t) сводятся к соответствующим операциям математического анализа над коорди-

натными функциями ϕi(t). Часто при решении практических задач методами теории случайных функций эти функции и их характери- стики удобно записывать в комплексной форме. В связи с этим необ- ходимо определить понятие комплексной случайной величины и комплексного случайного процесса. В качестве координатных функ- ций разложения, как и при анализе детерминированных сигналов, обычно используются гармонические синус-косинусные функции, а в общем случае – комплексные экспоненциальные функции exp(jωt). С учетом этого рассмотрим особенности представления случайных функций в комплексной форме.

Комплекснозначным (комплексным) случайным процессом называет-

ся процесс Z(t) = X(t) + jY(t), реализации которого представляют собой неслучайные комплексные функции z(t) = x(t) + jy(t), где j – мнимая еди- ница, x(t) и y(t) – реализации скалярных вещественных случайных про- цессов X(t) и Y(t), определенных на одном вероятностном пространстве. Задание комплексного случайного процесса равносильно заданию дву- мерного случайного процесса Z (t) = (X (t),Y (t)).

Корреляционная функция комплексного случайного процесса Z(t) = X(t) + jY(r) определяется следующим равенством:

47

4.2. Определение спектральной плотности. Основные свойства

Ввиду широкого использования методов анализа сигналов в частот- ной области необходимо иметь возможность представления случайного процесса его частотными характеристиками. Наиболее естественным представлением неслучайных функций времени в частотной области является преобразование Фурье, благодаря которому вводят понятие частотного спектра. При этом преобразование Фурье некоторой неслу- чайной функции времени f(t) определяется соотношением

∞

F(ω) = ∫ f (t)e− jω t dt.

−∞

Если, например, f(t) представляет собой изменяющееся во време- ни напряжение, то F(ω) имеет размерность [В/(рад/с)] и определяет относительные амплитуды и фазы незатухающих гармонических со- ставляющих, суммирование которых позволяет получить исходную функцию f(t). Таким образом, амплитудные соотношения в преобра-

зовании Фурье характеризуют плотность распределения амплитуд

по частоте и поэтому определяют распределение энергии по спектру. Использование преобразования Фурье для определенной реализа-

ции х(t) случайного процесса

∞

FX (ω) = ∫ x(t)e− jω t dt

−∞

в качестве представления случайного процесса в частотной области невозможно по крайней мере по двум причинам:

– во-первых, результат преобразования Фурье оказывается слу- чайной величиной относительно ансамбля реализаций (для любой фиксированной частоты ω, так как преобразование Фурье дает раз- ные значения для каждой из реализаций случайного процесса x(t)); следовательно, преобразование Фурье в таком виде может быть час- тотным представлением не самого случайного процесса, а лишь его отдельных реализаций;

– во-вторых, для стационарных процессов функция Fx(ω) почти никогда не существует, так как для существования преобразования Фурье какой-либо функции времени эта функция должна удовлетво- рять ряду условий, одним из которых является ее абсолютная интег- рируемость, т.е. абсолютная сходимость интеграла

48

Это условие никогда не удовлетворяется для любой не равной нулю реализации стационарного в широком смысле случайного процесса. В этом случае преобразование Фурье в общепринятой форме никогда не будет существовать, хотя в принципе оно может существовать для функций обобщенного вида, в частности для импульсного сигнала.

В связи с этим для использования преобразования Фурье необхо- димо видоизменить представление реализации стационарного слу- чайного процесса таким образом, чтобы это преобразование сущест- вовало для каждой реализации. Есть много способов осуществления такой процедуры, но наиболее простым из них является введение нового процесса ХT ограниченной длительности, определенного на временном интервале |t| ≤ T < ∞:

Следует отметить, что этот усеченный случайный процесс будет удовлетворять условию (4.3) при ограниченном значении Т при ус- ловии, что стационарный процесс X(t), из которого формируется ХТ(t), имеет ограниченную дисперсию. Следовательно, для ХТ(t) бу- дет существовать преобразование Фурье. В действительности ХТ(t) будет удовлетворять более строгому требованию интегрируемости в среднеквадратическом:

∞

∫ | XT (t) |2 dt < ∞.

−∞

Преобразование Фурье для функции ХТ(t) имеет вид

∞

FX (ω) = ∫ XT (t)e− jωt dt, T < ∞.

−∞

Далее переходя к пределу T → ∞ и используя теорему Парсеваля, получаем

(по теореме Парсеваля для функций f(t) и g(t), которые имеют преоб- разования Фурье F(ω) и G(ω) соответственно, выполняется равенство

49

При этом, если |Fx(ω)|2 = Fx(ω)Fx(–ω), то так как Fx(–ω) – величи- на, комплексно-сопряженная с FT(ω) для X(t), она является вещест- венной функцией времени.

Поскольку искомая величина характеризует распределение сред- ней мощности по частоте, необходимо усреднить обе части выраже- ния (4.4) на интервале времени длительностью 2Т. Разделив обе час- ти выражения (4.4) на 2Т, получим

Очевидно, что левая часть выражения (4.5) пропорциональна сред- ней мощности на интервале времени от –Т до Т. Точнее, она представ- ляет собой квадрат эффективного значения функции XT(t). Кроме того, для эргодического процесса при T → ∞ эта величина приближается к значению среднего квадрата случайного процесса X(t).

Теперь, выполнив усреднение обеих частей выражения (4.5), вно- ся при этом знак математического ожидания под знак интеграла и переходя к пределу при T → ∞, получим

Для стационарного случайного процесса усредненный по времени средний квадрат случайной функции равен самомý среднему квадра- ту, поэтому (4.6) можно записать в виде

Подынтегральное выражение в правой части (4.7), которое будем обозначать как S(ω), называется спектральной плотностью случай- ного процесса:

50