Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов. Ч.2. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

№ 433

Кафедра компьютерных информационных и управляющих систем автоматики

Г.Г. Шапкарина

Теория случайных процессов

Преобразование случайных сигналов

Учебное пособие Часть 2

Рекомендовано редакционно&издательским советом университета

Москва Издательский Дом МИСиС 2009

УДК 519.21 Ш23

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. С.Н. Богданов

Шапкарина Г.Г.

Ш23 Теория случайных процессов. Преобразование случайных сигналов: Учеб. пособие. Ч. 2. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. – 124 с.

Является продолжением учебного пособия «Теория случайных процес- сов. Основные понятия и определения теории случайных процессов. Часть 1».

Рассмотрены основные характеристики и методы определения корреля- ционных и спектральных функций случайных процессов. Приведены основ- ные способы временнóго и частотного анализа динамических систем при случайных воздействиях.

Предназначено для студентов специальности 220301.

♥Государственный технологический университет «Московский институт стали и сплавов» (МИСиС), 2009

3

3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Основные свойства корреляционной функции

Описание случайных процессов в рамках теории вероятностей оказывается наиболее полным, так как в нем учитываются все сведе- ния о случайном процессе; в то же время существует множество тех- нических проблем, при разрешении которых подобная полнота не- достижима и, кроме того, в ней нет необходимости. Например, если наиболее важной характеристикой данного случайного процесса яв- ляется его средняя мощность или распределение этой мощности по частотному спектру, то в создании исчерпывающей вероятностной модели такого процесса нет необходимости; если же распределение вероятностей случайных величин заранее неизвестно, использовать вероятностную модель вообще не представляется возможным. В лю- бом из этих двух случаев частичное статистическое описание, осно- ванное на конкретных средних значениях, может оказаться доста- точно приемлемой заменой вероятностного подхода.

Введенное ранее определение корреляции дает представление о корреляции как о некотором числе, так как случайные величины не зависят в обязательном порядке от времени. Однако в практических задачах каждая пара случайных величин может быть охарактеризо- вана разделяющим их временным интервалом, при этом корреляция становится функцией этого интервала. Поэтому для исследования случайных сигналов и их математического представления подходит использование корреляционной функции, аргументом которой явля- ется временной интервал между двумя случайными величинами. Ес- ли эти случайные величины являются выборочными значениями од- ного и того же случайного процесса, то указанная функция называет- ся автокорреляционной (или просто корреляционной) функцией дан- ного процесса, если же они принадлежат различным случайным про- цессам – взаимной корреляционной функцией. Если в качестве двух случайных величин выступают выборки случайного процесса в два различных момента времени, то такое математическое ожидание за- висит от того, насколько быстро эти функции изменяются во време- ни. Случайные величины будут сильно коррелированы, когда момен- ты времени очень близки друг к другу, поскольку случайная величи-

4

на, зависящая от времени, за короткое время не может существенно измениться. В то же время корреляция между двумя выборками, взя- тыми в далеко отстоящие друг от друга моменты времени, скорее всего весьма мала, так как за такое время случайные величины могут претерпеть практически любые изменения. Поскольку корреляция безусловно зависит от того, насколько быстро меняется во времени случайная величина, можно предположить, что она определяется также и тем, каким образом энергия случайного процесса распреде- ляется по частотному спектру. Данное положение подтверждается тем фактом, что у процесса, быстро изменяющегося во времени, вы- сокочастотные составляющие должны обладать достаточной энерги- ей, чтобы обеспечивать его изменения.

Следует напомнить, что корреляционной функцией (к.ф.)

RX (t1, t2 ) случайного процесса X(t) называется неслучайная функ- ция, которая для каждой пары значений аргументов t1 и t2 равна кор- реляционному моменту сечений процесса Xt1 и Xt2 , соответствую-

щих этим значениям аргументов, т.е.

Приведенное определение означает, что для каждой пары различ- ных сечений случайного процесса значение корреляционной функ- ции равно второму смешанному центральному моменту этих сече- ний, т.е. их корреляционному моменту.

Наряду с корреляционной функцией используется нормированная корреляционная функция rX (t1, t2 ) , которая для каждой пары аргу-

ментов t1 и t2 равна коэффициенту корреляции сечений X t1 и X t2 :

5

Из равенства Коши – Буняковского следует

| RX (t1, t2 ) |≤ DX (t1)DX (t2 ) и | ρ X (t1, t2 ) |≤ 1.

Корреляционная и нормированная корреляционная функции ха- рактеризуют корреляционную связь между сечениями случайного процесса. Определенное преимущество второй из этих функций со- стоит в ее безразмерности. Для описания центрированных случайных процессов используется ковариационная функция случайного про- цесса:

KX (t1, t2 ) = MXt1 Xt2 = ∫ x1x2dFX (x1, t1; x2 , t2 ) =

На основании очевидных равенств

DX (t) = RX (t, t),

можно сказать, что из рассмотренных выше моментных функций ос- новное внимание следует уделить функции математического ожида- ния mX(t) и корреляционной функции RX(t1, t2).

Таким образом, случайные процессы, обладающие конечной мо- ментной функцией второго порядка (т.е. корреляционной функцией RX(t1, t2)), носят название процессов второго порядка (из существова- ния момента r-го порядка следует существование моментов более низкого порядка; поэтому существование корреляционной функции влечет за собой существование функции математического ожида- ния). Изучение процессов второго порядка является содержанием

6

корреляционной теории случайных процессов, основы которой изла- гаются далее.

Целью корреляционного анализа случайных процессов является исследование математического ожидания, дисперсии и корреляцион- ной функции случайного процесса, так как именно дисперсия и кор- реляционная функция характеризуют собой статистический разброс значений случайного процесса относительно функции математиче- ского ожидания, т.е. относительно его среднего значения.

Для эргодических процессов любую статистическую характеристику можно оценить по одной реализации бесконечной длины. Однако на практике фактически располагают конечным временем реализации, на- пример, отрезком длины 2T для моментов времени – T ≤ t ≤ T. Но часто удобнее рассматривать лишь положительные значения t, поэтому целе- сообразнее выбирать отрезок реализации 0 ≤ t ≤ T.

Основные погрешности результатов корреляционного анализа вы- званы в основном ограниченностью реализации случайного процес- са, поэтому снижение их – одна из важнейших задач использования в анализе численных методов. Корреляционный анализ дает возмож- ность установить в сигналах наличие определенной связи изменения значений сигналов по выбранной независимой переменной, т.е. когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положи- тельная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреля- ция), или значения двух сигналов никак не связаны (нулевая корре- ляция).

Корреляция (correlation) и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация – являются методами анализа сигналов. В функ- циональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, принимает значения от 1 (полное совпадение сигналов) до –1 (полная противоположность), а также не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.

В случае автокорреляции (autocorrelation) аналогично произво- дится определение скалярного произведения сигнала x(t) с собствен- ной копией, «скользящей» по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих значений сиг- нала от предыдущих и последующих значений (так называемый ра- диус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале нали- чие периодически повторяющихся элементов.

7

Особое значение методы корреляции приобретают при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Автокорреляционные функции. Пусть X(t) – некоторый случай-

ный процесс, а случайные величины определяются как

X1 = X (t1), X2 = X (t2 ),

тогда по определению автокорреляционная функция соответствует выражению

∞∞

Это выражение справедливо как для стационарных, так и для не- стационарных процессов. Однако в качестве моделей случайных процессов используются в основном стационарные процессы, для которых допустимо упрощение выражения (3.1). Так как для стацио- нарного в широком смысле случайного процесса любое усреднение по ансамблю не зависит от начала отсчета времени, то можно запи- сать:

RX (t1, t2 ) = RX (t1 + T , t2 + T ) = M[X (t1 + T )X (t2 + T )].

Поскольку это выражение инвариантно по отношению к выбору начала отсчета времени, можно положить T = – t1 и получить

RX (t1, t2 ) = RX (0, t2 − t1) = M[X (0)X (t2 − t1)].

Очевидно, что это выражение зависит только от промежутка време- ни (t2 – t1). Вводя обозначение τ = (t2 – t1) и опуская нуль в аргументе RX(0, t2 – t1) можно соотношение (3.1) переписать в следующем виде:

Это выражение для автокорреляционной функции стационарного случайного процесса зависит только от τ и не зависит от значения t2; поскольку выражение для автокорреляционной функции не зависит от конкретного момента t1, в который произведено усреднение по ансамблю, выражение можно представить в виде

RX (τ) = M[X (t)X (t + τ)]. .

8

В тех случаях, когда корреляционные функции описывают неста- ционарные процессы, они оказываются зависящими как от момента времени t, в который было осуществлено усреднение по ансамблю, так и от временнóго интервала τ между реализациями и должны за- писываться как RХ(t1, t2) или RХ(t1, τ).

Временнýю автокорреляционную функцию для отдельной реали-

зации х(t) можно определить так:

Для эргодического процесса x(t)x(t + τ) является неизменной функцией при любой реализации х(t), равной RХ(τ), т.е. для эргодиче- ского процесса справедливо равенство

RХ(τ) = RX(τ).

Предположение об эргодичности (если оно не противоречит усло- вию) часто упрощает расчет корреляционных функций.

Из (3.2) непосредственно следует, что при τ = 0 в силу RХ(0) = = M[X(t1)X(t2)] автокорреляционная функция равна среднему квадра- ту случайного процесса. При τ ≠ 0 автокорреляционная функция RХ(τ) может интерпретироваться как мера подобия случайных про- цессов X(t) и X(t + τ). В случае если X (t) – выборочная функция цен- трированного стационарного случайного процесса, можно образо- вать новую функцию:

Y(t) = X(t) – ρX(t + τ).

Значение ρ, при котором величина среднего квадрата случайного процесса Y(t) минимальна, позволяет получить меру подобия случай- ных процессов X(t + τ) и X(t):

M{[Y (t)]2} = M{X (t) − ρX (t + τ)]2} =

= M{X 2 (t) − 2ρX (t)X (t + τ) + ρ2 X 2 (t + τ)};

9

Из этих выражений следует, что ρ прямо пропорционально RХ(τ) и является коэффициентом корреляции. Коэффициент ρ можно интер- претировать как показатель того, каким образом мощность случайно- го процесса X(t) изменилась по истечении времени τ. Существенны- ми являются следующие факторы:

–величина ρ была определена на основе статистического метода;

–коэффициент ρ является показателем того, насколько сохраняет- ся форма случайного процесса X(t) в среднем по ансамблю, и не от- носится к отдельно взятой выборке (реализации) х(t).

Коэффициент корреляции может принимать значения от + 1 до –1.

Равенство ρ = 1 указывает, что формы выборочных функций х(t) слу- чайного процесса X(t) идентичны, т.е. полностью коррелированны; при ρ = 0 выборочные функции некоррелированы, т. е. не существует какого-либо фрагмента выборки случайного процесса X(t + τ), кото- рый являлся бы частью выборки процесса X(t). Значение ρ = –1 сви- детельствует об идентичности форм выборок и противоположности их знаков, а именно: форма выборки процесса X(t + τ) является зер- кальным отражением формы выборочной функции процесса X(t).

Для эргодического случайного процесса или детерминированных сигналов, приведенных выше, рассуждения применимы не только к средней мощности вместо дисперсии, но и к временнóй корреляци- онной функции вместо функции корреляции по ансамблю.

Поскольку RХ(τ) зависит от коэффициента корреляции ρ и диспер-

сии σ2X случайного процесса X(t), конкретный вид функции RХ(τ)

невозможно определить без знания одной из этих величин. Напри- мер, если случайный процесс имеет нулевое математическое ожида- ние и положительную автокорреляционную функцию, то о случай- ных величинах X(t1) и X(t1 + τ) можно сказать лишь то, что у них, ве- роятно, одинаковые знаки (при симметричности f(x1) относительно оси x1 = 0). Если автокорреляционная функция отрицательна, то ука- занные выше случайные величины скорее всего имеют противопо- ложные знаки. Если же она близка к нулю, эти случайные величины могут иметь как разные, так и одинаковые знаки.

При решении ряда практических задач возникает необходимость определения автокорреляционных функций сигналов.

Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорре-

ляционная функция (correlation function, CF) сигнала x(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой

10