Теория рядов. Учебное пособие

Из всего выше сказанного следует, что функция g t разлагается в ряд Фурье на интервале π,π , т.е. на этом интервале имеет место равенство

или, учитывая, что t πх , имеем:

121

рядом Фурье (3.26), коэффициенты которого находятся по формулам (3.27), (3.28), (3.29).

Если же функция f (x) – нечётная, то её ряд Фурье на интервале l,l содержит только синусы и имеет вид:

§3.9 Приближение функции тригонометрическими многочленами

Напомним, что тригонометрическим многочленом порядка n называют сумму вида

где α0,αk ,βk – действительные числа при k 1,2, . Этот параграф будет посвящен доказательству того, что если ряд Фурье для функции f (x) сходится в некоторой точке х, то функция f (x) в этой точке может быть представлена с любой степенью точности её многочленом Фурье, т.е. частичной суммой Sn x ряда Фурье

следующим образом. Зафиксируем n – порядок тригонометрического

Естественно, что здесь вопрос стоит о приближении на всем интервалеπ,π , а не в какой-то отдельно взятой точке этого интервала. Для такой

122

постановки задачи приближения следует определить, что понимается под словами “наилучшее приближение”.

Если в качестве меры приближения взять разность по абсолютной величине между f (x) и Тn x , т.е. f x Тn x , то эта величина будет иметь различные значения для различных точек х из интервала π,π . Если мы возьмем два различных тригонометрических многочлена Тn 1 x и Тn 2 x , то в общем случае эта разность для одних точек будет меньше для Тn 1 x , а для

других для Тn 2 x , и поэтому мы не можем однозначно сказать, какой из этих тригонометрических многочленов лучше, а какой хуже. Чтобы получить однозначность меры приближения, получаемой для различных тригонометрических многочленов, нужно оценивать эту меру некоторым числом. Такое число, естественно, выбирается далеко неоднозначно.

На то, как выбрать ту или другую оценку меры приближения, обычно влияют не столько принципиальные мотивы, сколько соображения практического характера.

На плоскости или в пространстве степень близости двух точек мы оцениваем расстоянием между ними.

В нашем случае, мы также должны разумным образом определить расстояние между функцией f (x) и тригонометрическим многочленом Тn x . Совершенно очевидно, что это расстояние должно учитывать величину

Преимущество расстояния, определяемого равенством (3.33), перед расстояниями, определяемыми равенствами (3.31), (3.32) – чисто практическое, а именно: для расчетов самого различного рода удобнее иметь дело с квадратами функции, чем с их абсолютными величинами.

123

В дальнейшем расстояние ρ f ,Тn между функцией f (x) и

тригонометрическим полиномом Тn x будем определять по формуле (3.33).

Это означает, что если

ρ f ,Тn 1 ρ f ,Тn 2 ,

то многочлен Тn 1 x дает лучшее приближение функции f (x), чем многочлен

Тn 2 x .

Наилучшее же приближение среди тригонометрических многочленов

подинтегральное выражение в правой части (3.33) в квадрат, тогда величина ρ f ,Тn примет вид:

Из (3.33) с учетом (3.34), (3.35) получаем:

124

но

αk2 2αk ak αk2 2αk ak ak2 ak2 αk ak 2 ak2,

βk2 2βk bk βk bk 2 bk 2 .

Тогда из предыдущего соотношения получаем:

минимизировать третье слагаемое в этом равенстве, т.е. чтобы наименьшее значение получила величина

k 1,2, ,n, и больше нуля во всех остальных случаях. Таким образом, нами установлено, что наилучшее приближение получается тогда, когда в качестве коэффициентов многочлена Тn x выбраны соответствующие коэффициенты ряда Фурье для функции f (x). Отметим, что такое решение имеет место только в том случае, когда расстояние между функцией f (x) и Тn x определяется равенством (3.33). При другом определении расстояния мы получим другие значения αk и βk .

Приближения, в которых расстояния между двумя функциями оценивается как среднее значение квадрата их разности, принято называть приближениями в среднем. Полученный нами результат можно сформулировать в виде утверждения.

Теорема 11. Из всех тригонометрических многочленов порядка n наилучшее приближение в среднем квадратичном для непрерывной функции дает многочлен Фурье

где ak , bk – коэффициенты Фурье функции f (x). При этом

125

Так как ρ f ,Тn 0, то из соотношения (3.38) следует, что при любом n справедливо неравенство

ограничены при любом n, в том числе и при n . Значит ряд (3.40) сходится, тем самым нами установлено нижеследующее.

Следствие. Квадраты коэффициентов Фурье непрерывной функции всегда образуют сходящийся ряд. В частности, отсюда следует, что

lim an limbn 0.

n n

Неравенство (3.39) называют неравенством Бесселя.

§3.10 Сходимость в среднем. Равенство Парсеваля

Рассмотрим равенство (3.38). Совершенно очевидно, что при увеличении числа n средняя квадратичная ошибка может только уменьшаться. Для читателя, решающего прикладные задачи, важно, что коэффициенты ak , bk , полученные при фиксированном n, останутся теми же и при больших значениях n, когда к уже известным добавятся новые. Вопрос, который является центральным в этой проблеме, состоит в следующем: можно ли увеличением n добиться того, чтобы средняя квадратичная ошибка ρ f ,Тn стала как угодно малой? При положительном ответе на этот вопрос должно выполняться равенство

Равенство (3.42) называется равенством Парсеваля. Впервые, приведённые выше результаты, строго доказаны

А.М.Ляпуновым, приведем без доказательства утверждение, носящее его имя.

126

Воспользовавшись формулами (3.7), (3.8), для нахождения аn и bn , имеем:

но числа Cn и C n комплексно сопряженные, т.е. C n Cn an ibn , поэтому формула для Cn получается из формулы (3.46) для Cn , если в ней заменить индекс на n, поэтому имеем

Ряд (3.47), коэффициенты которого находятся по формулам (3.48),

называют рядом Фурье в комплексной форме.

128

Вывод формулы (3.49) аналогичен выводу равенства (3.47), если воспользоваться равенствами (3.27), (3.28), (3.29).